NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Énigme des diamants

>>> Illustration

>>> Observation

>>> Généralisation

 

 

 

 

 

 

 

Énigme des diamants

  

Qui débouche sur une propriété générale des carrés.

 

 

 

Énigme des diamants

 

Énigme

*         Un nabab laisse un héritage de diamants à ses enfants:

*       Au premier:     1 diamant   et 1/7 de ce qui reste;

*       Au deuxième: 2 diamants et 1/7 de ce qui reste;

*       Au troisième:  3 diamants et 1/7 de ce qui reste;

*       Etc.

 

*         Combien d'enfants, combien de diamants en héritage, combien à chacun, lequel est favorisé?

 

Solution

*         Il y a 36 diamants pour cet héritage et 6 enfants.

 

 

1er

2è

3è

4è

5è

6è

Part fixe

1

2

3

4

5

6

Il reste

36 – 1 = 35

28

21

14

7

0

Part fractionnaire

35 / 7 = 5

4

3

2

1

0

Total par enfant

6

6

6

6

6

6

Il reste pour le suivant

36 – 6 = 30

24

18

12

6

0

Exemple de calcul: comment obtenir 28?
36 – 1 = 35; 35/7 = 5; 35 – 5 = 30; 30 – 2 = 28.

 

*         Ils ont reçu 6 diamants chacun.

 

 

 

Illustration

 

*         Le tableau se met en équation de la manière suivante:

 

36 = (1 + 5)      + (2 + 4)       + (3 + 3)      + (4 + 2)      + (5 + 1)    + (6 + 0)

     = (1 + 35/7) + (2 + 28/7) + (3 + 21/7) + (4 + 14/7) + (5 + 7/7) + (6 + 0/7)

 

 

 

 

Observation

 

*         Cette illustration nous met une puce à l'oreille: 36 est un carré.

*       La partie fixe (rose) est la somme des nombres de 1 à 6 = 6x7/2 = 21, et

*       La partie variable (bleue) est la somme des nombres de 1 à 5 = 5x6/2 = 15;

*       Total 21 + 15 = 36.

 

Un carré est la somme de deux nombres triangulaires consécutifs.

 

*         Est-ce que cette énigme de partage fonctionnerait si nous choisissions un autre carré? Oui!

 

Exemple avec 25 = 5²

Le premier reçoit: 1 diamant + 1/6 de 25 – 1 = 1/6 de 24 = 4

Total 5 diamants; reste 25 – 5 = 20

Le deuxième: 2 diamants + 1/6 de 20 – 2 = 1/6 de 18 = 3

Total 5 diamants; reste 20 – 5 = 15

Le troisième: 3 diamants + 1/6 de 15 – 3 = 1/6 de 12 = 2

Total 5 diamants; reste 15 – 5 = 10

Le quatrième: 4 diamants + 1/6 de 10 – 4 = 1/6 de 6 = 1

Total 5 diamants; reste 10 – 5 = 5

Le cinquième: 5 diamants + 1/6 de 5 – 5 = 1/6 de 0 = 0

Total 5 diamants; reste 5 – 5 = 0.

 

 

Exemple avec C = c² de 3 à 10,

avec F part fixe, V part variable et R le reste à chaque fois

 

              F       V       R           F       V        R             F       V       R             F       V        R

              1        2        6            1        3        12           1        4        20           1        5        30

              2        1        3            2        2        8             2        3        15           2        4        24

              3        0        0            3        1        4             3        2        10           3        3        18

                                                4        0        0             4        1        5             4        2        12

                                                                                   5        0        0             5        1        6

                                                                                                                       6        0        0

 

              F       V       R             F       V       R            F       V       R            F         V       R

              1        6        42           1       7        56           1       8        72           1         9        90

              2        5        35           2       6        48           2       7        63           2         8        80

              3        4        28           3       5        40           3       6        54           3         7        70

              4        3        21           4       4        32           4       5        45           4         6        60

              5        2        14           5       3        24           5       4        36           5         5        50

              6        1        7             6       2        16           6       3        27           6         4        40

              7        0        0             7       1        8             7       2        18           7         3        30

                                                 8       0        0             8       1        9             8         2        20

                                                                                   9       0        0             9         1        10

                                                                                                                      10       0        0

 

 

 

Généralisation

 

*         Soit un nombre C = c² de diamants.

*         Il s'agit de montrer que le partage en une partie fixe  et une partie variable est toujours faisable. Au rang k, nous avons:

*       Part fixe = k; et

*       Part variable = reste de rang k (Rk) divisé par c+1.

*         Soit donc à démontrer que le reste est toujours divisible par c+1.
L'illustration montre ce résultat.

 

La flèche indique que l'aire sous-jacente vaut: largeur (c-k) fois longueur (c).

 

 

Bilan

Un carré C = c² peut se partitionner en une somme de c termes dont chacun est la somme de deux termes: k et c – k. Au rang k, le reste à partitionner est divisible par c + 1.    

 

 

 

 

 

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