NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 26/02/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

JEUX

 

Débutants

Général

PARTAGES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Jeux

 

Classiques

Bakhshali

Poèmes

Pascal

Princes de Möbius

Dédommagement

 Gains à partager

 

Sommaire de cette page

>>>

0,5

Œufs

>>>

7

Livres

>>>

17

Chevaux

>>>

31

Villas

>>>

36

Diamants

>>>

59

Poissons

>>>

59

Œufs

>>>

80

Partage

>>>

301

Œufs modulo

>>>

3 121

Noix de coco

 

 

 

 

PARTAGES IMPOSSIBLES ?

 

Au départ, cela semble impossible.

Avec un petit truc ça marche.

Mais lequel?

 

 

0,5 – ŒUFS

 

Énigme

*         Je vends la moitié de mes œufs et ½  œuf.

Puis la moitié et ½.

Et encore la moitié et ½.

J'ai tout vendu sans casser d'œuf.
Combien d'œufs dans mon panier au départ?

 

Solution

*         J'avais 7 œufs dans mon panier.

 

Client

Panier

Vente

Reste

1

7

3 ½  + ½  = 4

3

2

3

1 ½  + ½  = 2

1

3

1

½  + ½  = 1

0

 

Généralisation

 

*         On peut généraliser ce jeu en vendant les mêmes proportions d'œufs à " n " clients.
La quantité au départ est, en fait,
2n - 1.
Soit: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127...

 

 

Incroyable!

Un œuf non fécondé n'est en fait qu'une seule cellule géante! Du moins c'est le cas du jaune d'œuf. Le blanc, la membrane et la coquille sont des enveloppes supplémentaires.

 

 

7 – LIVRES

 

Énigme

*         J'ai acheté des livres pour mes enfants.

En rentrant, j'en donne la moitié plus un demi à Isabelle,

puis la moitié de ceux qui me restent plus un demi à Christelle

et le dernier que j'ai dans les mains à Guillaume.

Combien y avait-il de livres?

 

Solution

Il y avait 7 livres.

Partage

Reste

Calcul

Résultat

Total

 

N

 

 

Isabelle

1/2 N + 1/2

R = N - 1/2 N - 1/2

(1)

 

Christelle

1/2 R + 1/2

1 = R - 1/2 R - 1/2

(2)

 

Guillaume

1

0

 

 

 

 

(2) =>

1/2 R = 3/2

R = 3

 

 

(1) =>

3 = 1/2 N - 1/2

N = 7


Remarque

*         On aurait le même résultat en donnant à Guillaume la moitié de ce qui reste plus un demi.

(il restait 1: la moitié de 1 plus 1/2 donne bien 1)

*          Le même problème peut se poser avec 1/3N + 1/3 ou, en généralisant: 1/p N + 1/p.

 

 

 

17 – CHEVAUX

 

Énigme

*         Je lègue mes 17 chevaux à mes trois fils de la manière suivante:

Aîné: 1/2; Puîné: 1/3; Benjamin: 1/9.

Mais c'est impossible. La moitié de 17 c'est 8,5. On ne va tout de même pas découper les chevaux …

Erreur du père ? Non, il y a une solution!

 

Solution

*         Il se trouve qu'un sage à cheval passe par là et dénoue l'énigme ;;; grâce à son cheval …

*         Eh oui! Il y a maintenant 18 chevaux, et le partage se réalise sans problème:

*       Aîné:          1/2 de 18 = 9

*       Puîné:        1/3 de 18 = 6

*       Benjamin:  1/9 de 18 = 2

*       Somme: 9 + 6 + 2 = 17 chevaux

*         Le sage reprend son cheval et poursuit son chemin

 

Explication

*         La somme des fractions donnée par le légataire ne donne pas 1, mais

*         In fine, les proportions 1/2, 1/3 et 1/9 ne sont pas exactement respectées. Mais les rapports entre les trois fils le sont:

*       (1/2)/(1/3) = 3/2;

*       (1/2)/(1/9) = 9/2;

*       Soit les rapports respectifs: 1/2, 3/2 et 9/2.

 

Généralisation

*         On trouvera la même chose pour toutes les solutions en nombres entiers de l'équation:

*         Comme

*          7/8  = 1/2 + 1/4 + 1/8

*       11/12 = 1/2 + 1/4 + 1/6      Voir Énigme du partage des 11 bonbons

*         Avec ces données, sauriez-vous distribuer 7 moutons à trois personnes selon les parts suivantes: 1/2, 1/3 et 1/8?

 

Voir Fractions unitaires / Nombre 17

 

31 – VILLAS

 

Énigme

Un promoteur vend les cinq villas du lotissement. Les prix sont variés selon la superficie et la taille des villas

*      Villa A: moitié du prix du lotissement plus 0,5 million d'euros;

*      Villa B: moitié du prix restant plus 0,5 million d'euros;

*      Villa C: moitié du prix restant plus 0,5 million d'euros;

*      Villa D: moitié du prix restant plus 0,5 million d'euros; et

*      Villa E: moitié du prix restant plus 0,5 million d'euros.

 

Solution

 

Prix

Restant

T = 31

A = 16; B = 8: C = 4; D = 2  et E = 1

 

Généralisation  

Si nous prenons 1/k au lieu de ½, la solution est:

Exemples: k = 3/2, alors T = 242; k  5/4; alors T = 3 124; etc.

T est un nombre entier pour k = (p + 1) / p et alors:

 

  

36 -  DIAMANTS

 

Énigme    >>>

 

 

 

59 – POISSONS

 

Énigme

*         Un commerçant vend ses poissons:

Il vend la moitié de ce qu'il possède plus un demi-poisson.

Puis, le tiers de ce qui reste plus un tiers.

Encore le quart des poissons plus un quart de poisson.

Et un cinquième des poissons et un cinquième de poisson.

Il lui reste 11 poissons.

Quelle est la quantité de départ?

 

 

Solution

 

 

Partage

Reste

Calcul

Résultat

Départ

 

N

 

 

1/2

1/2 N + 1/2

R2  =  N – 1/2 N – 1/2

(1)

 

1/3

1/3 R2 + 1/3

R3=R2 – 1/3 R2 – 1/3

(2)

 

1/4

1/4 R3 + 1/4

R4=R3 – 1/4 R3 – 1/4

(3)

 

1/5

1/5 R4 + 1/5

R5=R4 – 1/5 R4 – 1/5

(4)

 

Arrivée

 

R5 = 11

 

 

 

 

(4) =>

4/5 R4 = 11 + 1/5

R4 = 14

 

 

(3) =>

3/4 R3 = 14 + 1/4

R3 = 19

 

 

(2) =>

2/3 R2 = 19 + 1/3

R2 = 29

 

 

(1) =>

1/2   N = 29 + 1/2

N  = 59

  

 

 

59 – ŒUFS

 

Énigme

*         Combien y a-t-il d'œufs dans le panier, en les disposant comme suit:

 

Par rangées de

Il en reste

2

1

3

2

4

3

5

4

 

Solution

 

N = 2a + 1 = 3b + 2 = 4c + 3 = 5d + 4

= 2 x 29 + 1 = 3 x 19 + 2 = 4 x 14 + 3 = 5 x 11 + 4 = 59

 

Équation – résolution en fonction de d

 

 

Quelques solutions

                                      N                a                b                c                d

                                     59                14              19              29             11

                                   119                29              39              59             23

                                   179                44              59              89             35

                                   239                59              79              119           47

                                   60k-1            15k-1        20k-1        30k-1         12k-1

 

Voir Modulo / Énigme du défilé

 

 

80 – PARTAGE

 

Énigme

*         Trois amis A, B et C décident de faire un repas en commun.
A amène 5 plats; B en amène 3; C n'apporte rien.
Chaque plat à la même valeur.
C verse 80 € aux deux autres. Ils sont d'accords.
Mais comment partager ces 80 €  entre A et B?
Est-ce: 50 € à A et 30 € à B ? Non!

 

Solution

Prix de la part de chacun

80 €

Prix total du festin

3 x 80 = 240 €

Prix de chaque plat

240 / 8 = 30 €

A apporte (en valeur)

30 x 5 = 150

A paye son repas

80

En conséquence, A doit recevoir

150 – 80 = 70 €

Même raisonnement pour B

30 x 3 – 80 = 10 €

 

 

 

 

301 - ŒUFS  MODULO

Énigme    >>>

 

 

3 121 - NOIX DE COCO

 

Énigme

*         Cinq hommes et un singe font une provision de noix de coco.

Durant la nuit le premier se lève et prend sa part (1/5); il en reste une qu'il donne au singe.

Le deuxième se lève un peu plus tard et fait la même chose: il prend 1/5 de qui reste et en donne une au singe.

Même chose jusqu'au cinquième.

La troupe se lève au petit matin et décide de faire le partage.

Chacun reçoit sa part et il ne reste pas de noix de coco. Combien de noix de coco au départ?

 

Solution

*         Il y en a une infinité de solutions, la plus petite est 3 121.
Le problème n'est pas évident à résoudre. On peut le formuler ainsi:

*    N1 = premier nombre de noix de coco.

*    p = part prise la nuit par le premier.

 

Formulation

Numérique

N1 = 5p + 1

N2 = N1 - (p + 1)

N1 = 3121

p = 624

N2 = 5d + 1

N3 = N2 - (d + 1)

N2 = 2496

d = 499

N3 = 5t + 1

N4 = N3 - (t + 1)

N3 = 1996

t = 399

N4 = 5q + 1

N5 = N4 - (q + 1)

N4 = 1596

q = 319

N5 = 5c + 1

N6 = N5 - (c + 1)

N5 = 1276

c = 255

N6 = 5e

 

N6 = 1020

e = 204

 

 

 

 

 

Voir

*    Autres énigmes de partages

*    JeuxIndex

*    Poèmes et partages

Auusi

*    Allumettes

*    Dix - jeux

*    Douze - jeux

*    FractionGlossaire

*    Fraction - problèmes

*    Suites

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/Partage.htm