jeux subtils de partage

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/10/2011

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Sommaire de cette page

>>>	0,5	ŒUFS
>>>	7	LIVRES
>>>	17	CHEVAUX
>>>	36	DIAMANTS
>>>	59	POISSONS
>>>	59	ŒUFS
>>>	80	PARTAGE
>>>	301	ŒUFS MODULO
>>>	3 121	NOIX DE COCO

PARTAGES IMPOSSIBLES ?

Au départ, cela semble impossible.

Avec un petit truc ça marche.

Mais lequel?

0,5 – ŒUFS

Énigme

Je vends la moitié de mes œufs et ½ œuf.

Puis la moitié et ½.

Et encore la moitié et ½.

J'ai tout vendu sans casser d'œuf.
Combien d'œufs dans mon panier au départ?

Solution

J'avais 7 œufs dans mon panier.

*Client*	*Panier*	*Vente*	*Reste*
1	7	3 ½ + ½ = 4	3
2	3	1 ½ + ½ = 2	1
3	1	½ + ½ = 1	0

Généralisation

On peut généraliser ce jeu en vendant les mêmes proportions d'œufs à " n " clients.
La quantité au départ est, en fait, 2ⁿ - 1.
Soit: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127...

7 – LIVRES

Énigme

J'ai acheté des livres pour mes enfants.

En rentrant, j'en donne la moitié plus un demi à Isabelle,

puis la moitié de ceux qui me restent plus un demi à Christelle

et le dernier que j'ai dans les mains à Guillaume.

Combien y avait-il de livres?

Solution

Il y avait 7 livres.

	*Partage*	*Reste*	*Calcul*	*Résultat*
Total		N
Isabelle	1/2 N + 1/2	R = N - 1/2 N - 1/2	(1)
Christelle	1/2 R + 1/2	1 = R - 1/2 R - 1/2	(2)
Guillaume	1	0
		(2) =>	1/2 R = 3/2	R = 3
		(1) =>	3 = 1/2 N - 1/2	N = 7

Remarque

On aurait le même résultat en donnant à Guillaume la moitié de ce qui reste plus un demi.

(il restait 1: la moitié de 1 plus 1/2 donne bien 1)

Le même problème peut se poser avec 1/3N + 1/3 ou, en généralisant: 1/p N + 1/p.

17 – CHEVAUX

Énigme

Je lègue mes 17 chevaux à mes trois fils de la manière suivante:

Aîné: 1/2; Puîné: 1/3; Benjamin: 1/9.

Mais c'est impossible. La moitié de 17 c'est 8,5. On ne va tout de même pas découper les chevaux …

Erreur du père ? Non, il y a une solution!

Solution

Il se trouve qu'un sage à cheval passe par là et dénoue l'énigme ;;; grâce à son cheval …

Eh oui! Il y a maintenant 18 chevaux, et le partage se réalise sans problème:

Aîné: 1/2 de 18 = 9

Puîné: 1/3 de 18 = 6

Benjamin: 1/9 de 18 = 2

Somme: 9 + 6 + 2 = 17 chevaux

Le sage reprend son cheval et poursuit son chemin

Explication

La somme des fractions donnée par le légataire ne donne pas 1, mais 17/18 = 1 – 1/18 = 1/2 +1/3 + 1/9 .

In fine, les proportions 1/2, 1/3 et 1/9 ne sont pas exactement respectées. Mais les rapports entre les trois fils le sont:

(1/2)/(1/3) = 3/2;

(1/2)/(1/9) = 9/2;

Soit les rapports respectifs: 1/2, 3/2 et 9/2.

Généralisation

On trouvera la même chose pour toutes les solutions en nombres entiers de l'équation:

Comme

7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8

11/12 = 1/2 + 1/4 + 1/6

Avec ces données, sauriez-vous distribuer 7 moutons à trois personnes selon les parts suivantes: 1/2, 1/3 et 1/8?

Voir Fractions unitaires / Nombre 17

36 - DIAMANTS

Énigme >>>

59 – POISSONS

Énigme

Un commerçant vend ses poissons:

Il vend la moitié de ce qu'il possède plus un demi-poisson.

Puis, le tiers de ce qui reste plus un tiers.

Encore le quart des poissons plus un quart de poisson.

Et un cinquième des poissons et un cinquième de poisson.

Il lui reste 11 poissons.

Quelle est la quantité de départ?

Solution

	*Partage*	*Reste*	*Calcul*	*Résultat*
Départ		N
1/2	1/2 N + 1/2	R2 = N – 1/2 N – 1/2	(1)
1/3	1/3 R2 + 1/3	R3=R2 – 1/3 R2 – 1/3	(2)
1/4	1/4 R3 + 1/4	R4=R3 – 1/4 R3 – 1/4	(3)
1/5	1/5 R4 + 1/5	R5=R4 – 1/5 R4 – 1/5	(4)
Arrivée		R5 = 11
		(4) =>	4/5 R4 = 11 + 1/5	R4 = 14
		(3) =>	3/4 R3 = 14 + 1/4	R3 = 19
		(2) =>	2/3 R2 = 19 + 1/3	R2 = 29
		(1) =>	1/2 N = 29 + 1/2	N = 59

59 – ŒUFS

Énigme

Combien y a-t-il d'œufs dans le panier, en les disposant comme suit:

Par rangées de	Il en reste
2	1
3	2
4	3
5	4

Solution

N = 2a + 1 = 3b + 2 = 4c + 3 = 5d + 4

= 2 x 29 + 1 = 3 x 19 + 2 = 4 x 14 + 3 = 5 x 11 + 4 = 59

Équation – résolution en fonction de d

Quelques solutions

N a b c d

59 14 19 29 11

119 29 39 59 23

179 44 59 89 35

239 59 79 119 47

60k-1 15k-1 20k-1 30k-1 12k-1

Voir Modulo

80 – PARTAGE

Énigme

Trois amis A, B et C décident de faire un repas en commun.
A amène 5 plats; B en amène 3; C n'apporte rien.
Chaque plat à la même valeur.
C verse 80 € aux deux autres. Ils sont d'accords.
Mais comment partager ces 80 € entre A et B?
Est-ce: 50 € à A et 30 € à B ? Non!

Solution

Prix de la part de chacun	80 €
Prix total du festin	3 x 80 = 240 €
Prix de chaque plat	240 / 8 = 30 €
A apporte (en valeur)	30 x 5 = 150
A paye son repas	80 €
En conséquence, A doit recevoir	150 – 80 = 70 €
Même raisonnement pour B	30 x 3 – 80 = 10 €

301 - ŒUFS MODULO
Énigme >>>

3 121 - NOIX DE COCO

Énigme

Cinq hommes et un singe font une provision de noix de coco.

Durant la nuit le premier se lève et prend sa part (1/5); il en reste une qu'il donne au singe.

Le deuxième se lève un peu plus tard et fait la même chose: il prend 1/5 de qui reste et en donne une au singe.

Même chose jusqu'au cinquième.

La troupe se lève au petit matin et décide de faire le partage.

Chacun reçoit sa part et il ne reste pas de noix de coco. Combien de noix de coco au départ?

Solution

Il y en a une infinité de solutions, la plus petite est 3 121.
Le problème n'est pas évident à résoudre. On peut le formuler ainsi:

N1 = premier nombre de noix de coco.

p = part prise la nuit par le premier.

*Formulation*		*Numérique*
N1 = 5p + 1	N2 = N1 - (p + 1)	N1 = 3121	p = 624
N2 = 5d + 1	N3 = N2 - (d + 1)	N2 = 2496	d = 499
N3 = 5t + 1	N4 = N3 - (t + 1)	N3 = 1996	t = 399
N4 = 5q + 1	N5 = N4 - (q + 1)	N4 = 1596	q = 319
N5 = 5c + 1	N6 = N5 - (c + 1)	N5 = 1276	c = 255
N6 = 5e		N6 = 1020	e = 204

Voir

Autres énigmes de partages

Jeux – Index

Auusi

Fraction – Glossaire