NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres Géométriques

 

Débutants

Nombres géométriques

Nombres Triangulaires

 

Glossaire

Nombres géométriques

 

 

INDEX

Nombres géométriques

 

Définition

Propriétés

Particularités

Palindrome

Caractérisation

Racines triangulaires

 Centrés

Relation de Fermat

 

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés

>>> n = T + T + T

>>> Unités et dizaines

>>> Carrés

>>> Racine triangulaire d'un nombre

>>> Cubes

>>> Puissance 4

>>> Puissance de triangulaires

 

 

 

 

 

PROPRIÉTÉS

n

Tn =  ½ n ( n + 1 )

T10 =  ½   10 (10+1)

      = 5 x 11 = 55

*      Un nombre triangulaire est égal au demi-produit de son rang par son successeur.

n

n+1

Tn =  Tn–1  + n

T11 =  55 + 11

          = 66

*        Un nombre triangulaire est égal au précédent additionné de son rang (par définition).

2n

T2n    =  3Tn + Tn–1
T2n +1 =  3Tn + Tn+1

T6 =  3 x T3 + T2

        = 3 x 6 + 3

        = 21

 

*      Un nombre triangulaire est égal à la somme de 4 nombres triangulaires.

 

 

 

 

Démonstration

2 { 3Tn + Tn-1 } = 3n (n + 1) + (n – 1)n

= 3n² + 3n + n² – n  = 4n² + 2n  = 2n (2n+1) = T2n

 

 

N

N = Ta +  Tb +  Tc

  5 =   3 +   1 +   1

12 = 10 +   1 +   1

83 = 45 + 28 + 10

*      Tout nombre est la somme d'au plus 3 nombres triangulaires.

 

Voir Partition en sommes de puissances

Pascal

*        Les nombres triangulaires se trouvent dans la 3e diagonale du Triangle de Pascal

 

Unité

 

*        Les nombres triangulaires se terminent par 0, 1, 3, 5, 6 ou 8.

 

Quantité de fois l'unité selon la puissance de 10

 

Exemple: parmi tous les nombres triangulaires pour n de 0 à 100, il y en a 20 qui se terminent par 1.

Dizaine

 

*      Si  l'unité est 3, le nombre triangulaire se termine par 03 ou 53.

*      Si  l'unité est 8, le nombre triangulaire se termine par 28 ou 78.

 

Quantité de fois la dizaine selon l'unité

pour n de 0 à 10 000

 

Exemple: parmi tous les nombres triangulaires pour n de 0 à 10 000, il y en a 500 qui se terminent par 35 et 500 par 03.

PUISSANCES

N2

N² = Tn +  Tn-1

1 +   3 =   4 = 2²

3 +   6 =   9 = 3²

6 + 10 = 16 = 4²

 

*      Nombres triangulaires carrés:
0, 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179, 271669860, 1583407981, 9228778026, 53789260175, 313506783024 …

Voir Nombres triangulaires carrés

*        Le triangulaire 36 est le seul carré d'un triangulaire:
6 = 1 + 2 + 3 et 6² = 36 = 1 + 2 + 3 + … + 8.
Pas de triangulaire comme cube d'un triangulaire (à ma connaissance).

 

*      Compte tenu du théorème de Catalan (32 – 23 = 1 sont les seules puissances avec une différence unité), il n'existe aucun nombre triangulaire cubique.  On aurait:
      ½ n(n + 1) = m3 => (2n + 1)² – (2m)3 = 1
      => impossible sauf pour n = m = 1.


*      La somme de deux nombres triangulaires successifs est un carré.

&

*      Tout carré est la somme de deux nombres triangulaires successifs.

 

Démonstration

Tn + Tn-1= ½ n (n + 1)     +   ½ (n – 1)

              = ½ (n² + n + n² – n)  = 2 n² / 2 = n²

 

Exemples de partition d'un carré

100  = 10 ²  = T10 + T9   = 55 + 45

144  = 12 ²  = T12 + T11  = 78 + 66

 

Illustration géométrique

16 = 4² = T4 + T3   = 10 + 6

 

Voir Énigme des diamants basée sur cette propriété

 

N2

N² = 8 T + 1

(2n + 1)² = 8Tn + 1

8 x 1 + 1 =   9 = 3²

8 x 3 + 1 = 25 = 5²

8 x 6 + 1 = 49 = 7² 

 

*      Huit fois un nombre triangulaire plus 1 donne un carré.

 

Illustration

*      Ces figures montrent bien les huit triangles et le petit carré du milieu et, elle forme manifestement un grand carré.

 

 

 

Racine triangulaire d'un nombre

 

 

 

N2

(2n + 1)² = 8Tn + 1

                = Tn-1 + 6Tn + Tn+1

7² = (2x3+1)²

     = 8x6 – 1 = 49 

     = 3 + 6x6 + 10 = 49

 

N3

N3 = Tn²    Tn-1²

  3² – 1² =   8 = 23

  6² – 3² = 27 = 33

10² – 6² = 64 = 43

 

*      La différence entre deux nombres triangulaires successifs au carré est un cube.
&

*      Un cube est la différence entre les carrés de deux nombres triangulaires successifs.

 

Démonstration

Tn² - Tn-1²  = [ 1/2 n (n+1)]² [ 1/2 (n-1) n]²

                 = 1/4 n² [(n+1)² (n-1)²]

                 = 1/4 n² x 4n

                 = n3

Exemples

 

 

Note: seules quelques Ti² – Tj² avec i et j non consécutifs sont des cubes:

 

 

N3

Nn3 - Nn-13  = 6 Tn-1 + 1

83 – 73 = 512 – 343

= 6 x T7 + 1

= 6 x 28 + 1 =168 + 1

= 169

 

*      La différence entre deux cubes successifs est égale à 6 fois le triangulaire de rang le plus faible plus un.

 

Démonstration

Nn 3Nn-1 3  = N3 (N 1)3

                      = N3 – (N3 – 3N² + 3N – 1)

                      = 3N² – 3N + 1

                      = 3 (N²  – N) + 1

                      =  6Tn + 1

 

 

N4

N4  = TN (N – 1) – 1  + TN (N + 1) – 1

44 = 256

    = T4x3 - 1 + T4x5 -1

    = T11 + T19

     = 66 + 190

     = 256

 

*      La puissance 4e de tout nombre est la somme de nombres triangulaires.

 

Exemples

 

 

PUISSANCES de triangulaires

Tn2 +  Tn-12 = T

  6² + 3² = 45

10² + 6² = 136

Tn+12    Tn2 = (n + 1)3

10² – 6²  = 64 = 43

 

 

 

Bilan

Un nombre triangulaire est le demi-produit de deux nombres consécutifs. Ils sont tous dans la deuxième colonne du triangle de Pascal. Ils sont toujours terminés par 0, 1, 3, 5, 6 ou 8.

Les nombres triangulaires, du fait de leur "géométrie", se prêtent à de nombreuses combinaisons. On retiendra:

*    Tout nombre est la somme de trois triangulaires.

*    Tout carré se partitionne en somme de huit triangulaires dont six identiques (N2 = Tn-1 + 6 Tn + Tn+1).

 

 

 

 

 

Suite

Nombres triangles

*    Particularités (suite)

*    Nomenclature

*    TABLE – Triangulaires

*    TABLE – Triangulaires centrés

Voir Nombres géométriques

*    Introduction

Voir

*    Méthode de Newton

*    Partition & Addition

*    Raisonnement par récurrence

*    Somme des cubes des entiers

*    Somme des triangulaires

*    Sommes des entiers, carrés, inverses …

*    TrianglesIndex

DicoNombre

*     Nombre 10

Sites

*    Square triangular number – Wolfram MathWorld

*    Cubic triangular number – Wolfram MathWorld

*    OEIS A001109 – a(n)^2 is a triangular number:

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