NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Principe

>>> Retenue

>>> Soustraction

>>> Historique

>>> Plus vite – Leibniz

 

 

 

 

 

 

Humour

Le douanier à un automobiliste qui ne semble pas clair:

- Quelque chose à déclarer ? – Non, rien.

– Et dans le coffre ? – Des calculettes uniquement.

– Combien ? – Quatre ou cinq.

– Le douanier s'étonne et demande à voir le coffre!

Surprise, dans le coffre se trouve toute une artillerie.

– Des calculettes, ça ? – Oui, c’est avec ça que je règle mes comptes !

Voir Pensées & humour

 

 

 

MACHINE à CALCULER de PASCAL

PASCALINE

1642

 

C'est une machine à additionner dont le principe est très simple. Mais il fallait le trouver et surtout le mettre en œuvre!

 

 

La machine d'arithmétique fait des effets qui approchent plus de la pensée que tout ce que font les animaux. Mais elle ne fait rien qui puisse faire dire qu'elle a de la volonté, comme les animaux.

Pascal

Voir Pensées et humour

 

 

APPROCHE – Les éléments essentiels

Machine

à calculer

ENTRÉES

SORTIES

D'aujourd'hui

*  Un clavier numérique.

*  Un écran d'affichage numérique.

PASCALINE

*  Une série de cadrans type téléphone d'hier,



sur lesquels on compose les chiffres.

*  Une fenêtre de lecture faite de petites lucarnes,

 

chacune laissant apparaître un chiffre du résultat.

MÉCANISME

 

Engrenages couplant les entrées et les sorties.

 

Cadran et fenêtre visibles

*    Interface Homme -Machine – IHM.

 

 

Principe du mécanisme interne

*    Le cadran est solidaire d'une roue horizontale à picots.

*    Qui entraîne une autre roue verticale à picots.

*    Laquelle est solidaire du tambour d'affichage.

*    Sa partie supérieure est visible à travers une lucarne.

BILAN

 

Telle que constituée pour le moment, chaque cadran étant relié au tambour,

on obtient une machine qui affiche simplement le nombre que je compose sur les cadrans.

Il s'agit d'un répéteur de données.

Si je compose 5 puis 1 puis 8 et enfin 2 sur les cadrans successifs

Les tambours vont tourner pour finalement afficher l'un le 5, le suivant le 1, puis le 8 et enfin le 2.

Bon, tout cela pour si peu! Patience …

C'est maintenant que nous allons voir en action l'astuce de Pascal.

 

 

Principe de l'addition avec la Pascaline

 

Astuce 1

*  Je vous ai mis la puce à l'oreille en parlant de cadran de téléphone.

*  Rappelez-vous cet équipement, aujourd'hui, presque disparu!

Les chiffres étaient marqués sur un la partie fixe du téléphone

Seul le cadran tournait.

 

Addition

*  Je compose 4 sur le cadran:

Je place mon index dans le trou en face du 4 et mon index fait tourner le cadran jusqu'à atteindre le blocage en face du zéro.

Le cadran aura tourné de 4 crans.

-      La lucarne montre 4.

 

*  Que se passe-t-il si je compose 2 sur le même cadran?

Le cadran va tourner de 2 crans.

-      Le tambour progresse de deux crans et montre 6 (= 4 + 2).

 

*  Aussi simple que cela!

-      le tambour fonctionne en PLUS par rapport à ce qu'il affiche.

Exemple

*  Je compose 1 2 3 4 sur les cadrans successifs.

-      La fenêtre affiche 1 2 3 4

 

*  Je veux y ajouter 5 4 3 2.

*  Je compose simplement ces nouveaux chiffres sur les cadrans.

-      La fenêtre affiche 6 6 6 6

 

Facile

*  Pour additionner deux nombres.

*  Composez successivement ces deux nombres sur les cadrans.

-      Eh! Pas vrai

-      Si je fais 4 + 7 je trouve 1

-      Ah, oui! Il faut traiter la retenue

 

 

 

RETENUE

 

Compteur de voiture

*  Après le cadran du téléphone, je vais vous demander de vous souvenir du mécanisme du compteur des kilomètres de votre voiture.

Après 9 km et pour passer à 10,

le tambour des unités montre 0 et

celui des dizaines grimpe d'un cran.

 

Ergot et fourche

*  Le tambour des unités est simplement muni d'un ergot à gauche.

*  Celui des dizaines d'une petite fourche à droite.

À chaque tour l'ergot enclenche la fourche

qui alors progresse d'un cran.

Réalisation de Pascal

*  Elle nécessitait la mise en œuvre d'un étage d'engrenage en plus.

Pascalinedetail

 

 

 

MULTIPLICATION

Un chiffre

*  Multiplier un nombre par un autre de 1 seul chiffre

consiste à répéter l'addition autant de fois que la valeur du chiffre.

Deux chiffres

*  On commence par effectuer la multiplication avec le chiffre des unités.

*  Puis à réaliser celle des dizaines de la même manière mais en se déplaçant d'un cadran vers la gauche.

*  En effet:

23 x 45 = (3 + 20) x 45 = 3 x 45 + 20 x 45

Etc.

*  Un et cætera un peu fastidieux dans la pratique!

 

 

 

SOUSTRACTION

Double numérotation

*  Observez le tambour sur l'illustration plus haut.

Il comporte deux séries de chiffres.

La somme verticale des chiffres est toujours 9.

Astuce 2

*  Grâce à une réglette mobile,

Pascal fait apparaître le résultat du calcul comme étant

soit les chiffres du bas       ADDITION,

soit les chiffres du haut      SOUSTRACTION.

Propriété

*  Comment transformer une soustraction en addition?
Exemple 7 – 3.

*    Équation outil

(1)

9 – 0

= 9

*    Soustraction

(2)

7 – 3

= 4

*    Addition

(1) – (2)

2 + 3

= 5

 

*  Observez l'addition obtenue et ses chiffres.

*  Observez les complémentarités à 9 par rapport aux chiffres de la soustraction (par construction, en fait).

*  Exemple avec plusieurs chiffres.

 

*    Équation outil

(1)

99 –   0

= 99

*    Soustraction

(2)

47 – 23

= 24

*    Addition

(1) – (2)

52 + 23

= 75

Comment opérer

*  Exemple avec 47 – 23.

 

*  Placer la réglette.

Pour masquer les chiffres du bas

Position: Soustraction.

9

9

0

0

 

 

 

*  Afficher en haut le premier terme de la soustraction.

Tourner les cadrans jusqu'à obtenir ces chiffres.

4

7

5

2

 

 

*  Ajouter 23.

Composer 3 sur les unités et le 2 sur les dizaines.

C'est en fait l'addition cachée qui s'opère 52 + 23 = 75

En face visible, magie! C'est le résultat de la soustraction qui apparaît: 47 – 23 = 24.

2

4

7

5

 

 

HISTORIQUE

Biographie

Blaise Pascal (1623-1662) >>>

1623

*  Wilhelm Schickard (1592-1635), professeur d'astronomie, a inventé la première machine à calculer.

*  Blaise Pascal n'en a pas eu connaissance.

1642

1645

*  Pascal a 19 ans lorsqu'il conçoit sa machine à calculer.

*  Première machine fonctionnelle.

Impôts

*  Son père, Étienne, est adjoint à l'Intendant de Normandie.

*  Commissaire pour la levée des impôts.

*  Blaise, son fils, avec cette invention, visait à réduire la charge de calcul de son père et surtout les vérifications fastidieuses.

Emploi

*  La Pascaline était sans doute bien adaptée à cet emploi de totalisation de factures.

*  Même si elle permet multiplications, divisions, règles de trois et racine carrées, elle est lourde d'emploi pour les calculs plus scientifiques.

*  Pascal a aussi adapté la machine aux opérations monétaires non décimales (denier, sol sous).

Commercialisation

*  Pascal tente de commercialiser sa Pascaline.

*  Il obtient une sorte de brevet protégeant sa fabrication et l'idée de calcul mécanique.

*  Seuls quelques exemplaires ont été fabriqués.

 

 

 

PLUS VITE

*  Avec la Pascaline, la multiplication consiste à additionner le multiplicande un nombre de fois égal au multiplicateur.

Fastidieux!

*  Avec la machine de Leibniz (1673), une astuce permet d'opérer cette répétition automatiquement.

L'astuce est un dispositif qui s'appelle l'entraîneur.

Des cylindres munis de cannelures de longueurs représentant chacun ces chiffres.

Une manivelle permet d'actionner le tout.

Pour les moins jeunes, vous avez sans doute vu ce type de machine dans les bureaux des années 70. Il s'agissait de la mise en œuvre de ce même principe.

Leibniz's Step Reckoner

MecanismeLiebniz

 

Voici un exemple de machine  (avec son certificat d'authenticité)

(que je possède – cadeau de mes collègues de travail)

 

machine a calculer.jpg

Voir description plus détaillée sur le site Évolution des machines à calculer - par Alexandre Faribault

 

 

Autres nom de machines à calculer

*        Comptometer  de Dorr Eugene Felt en 1885.

*        Arithmometer de William S. Burroughen 1888.

 

 

 

 

Voir

*    Pascal

*    Addition

*    Histoire de l'électronique

*    Machine de Babbage

*    Machine de Carissan

*    Multiplicatrice de Leibniz

*    Ordinateurs et MultimédiaIndex

Sites

*    La Pascaline – description, principe, historique, photos

*    Machines mathématiques

*    Pascaline – photos

*    Pascaline

*    Pascal's Adder - About Pascaline

*    Une histoire du calcul artificiel et de ses concepts

*    Évolution des machines à calculer

*    History of Mechanical Calculators

*    Calculating Machines

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Pascalin.htm