NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 17/03/2016

Débutants

Général

RUBRIQUE   Analyse

Glossaire

Général

 

Logarithmes & Exponentielles

 

Logarithmes – Débutants

Exponentielles – Débutants

Logarithmes – Introduction

Exponentielles – Introduction

 

Sommaire de cette page

>>> Approche - la méthode Archimède

>>> Grands nombres avec des zéros

>>> Expression des grands nombres

>>> Calcul avec les grands nombres

>>> Règle à calcul

>>> Introduction géométrique

>>> Bilan

>>> Exemple pratique

 

 

 

 

 

Introduction aux LOGARITHMES

 

Nom barbare qui, comme souvent, cache des choses simples

Certes, il est possible de  compliquer à loisir …

Essayons de voir le simple, d'abord!

 

 

Par exemple:               1024 = 210

 

Exprimé en base 2,

le logarithme de 1024 est 10

Le grand nombre 1024 est "condensé" en 10,

une valeur exigeant moins de chiffres.

 

On écrit:              log 2 1024 = 10

 

Je connais déjà un peu tout cela, montrez-moi la conclusion de cette page      >>> 

Pour commencer voir  Échelle des puissances de dix    

 

 

 

APPROCHE – LA MÉTHODE ARCHIMÈDE

 

 

Utilisation en parallèle de DEUX échelles de nombres

 

*      On met en correspondance les nombres (progression Arithmétique);

et les puissances de 2                             (progression Géométrique).

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

G

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

 

*      Pour multiplier deux nombres de la ligne G:

On ajoute les deux nombres parents sur la ligne A;

On cherche le "fiston" correspondant à la somme trouvé.

*      Le tour est joué. Et c'est nettement plus simple.

 

 

Exemple montrant qu'il suffit de lire la table ci-dessus

 

*      Pour effectuer 8 x 16, je prends les valeurs associées
que j'ajoute (3 + 4 = 7).  En face du 7, je lis 128.

 

A

 

 

3

+ 4

 

=

7

 

 

 

G

 

 

8

x 16

 

=

128

 

 

 

 

 

 

Un petit bout de théorie

*      Aujourd'hui, on sait, en effet, que:

2 x .  2 y  = 2 x + y

 

*      Bien sûr, on aurait pu prendre d'autres puissances et obtenir:

a x .  a y  = a x + y

 

 

Voir Archimède  / Progressions / Puissance

 

 

 

GRANDS NOMBRES avec des ZÉROS

 

Observation concernant la multiplication par 10

 

10

x 10

= 100

 1 zéro

 + 1 zéro

= 2 zéros

 

 

 

10

x 100

= 1 000

 1 zéro

 + 2 zéros

= 3 zéros

 

 

 

10

x 1 000

= 10 000

 1 zéro

 + 3 zéros

= 4 zéros

 

 

10

x 10 b

= 10 b+1

 1 zéro

 + b zéros

= b+1 zéros

 

 

Conclusion

 

10 a

x 10 b

= 10 a + b

a zéro

   + b zéros

= a + b zéros

En multipliant deux puissances de 10,

le produit a un nombre de zéros égal à

la somme des quantités de zéros des facteurs.

 

 

Facile la multiplication par 10 …

Il suffit de compter les zéros

10 000

x 1 000 000 000

 

 4 zéro

 + 9 zéros

= 4 + 9 = 13 zéros

 

Résultat

= 10 000 000 000 000

 

 

Voir Notation des grands nombres

 

EXPRESSION DES GRANDS NOMBRES

On peut tirer parti de cette observation

 

*      Pour multiplier les puissances de dix entre-elles, il suffit d'additionner les quantités de zéros.

*      C'est très pratique, car il est plus facile de faire des additions que des multiplications.

*      Est-ce applicable à n'importe quel nombre?

On transforme

une MULTIPLICATION

en ADDITION.

Représentation des puissances de 10

1 000 = 103

10 000 = 104

10… 0 avec n zéros = 10n

L'exposant n

indique la quantité de zéros derrière le 1.

Représentation des grands nombres

1 000 = 103

2 000 = 10 x

10 000 = 104

x existe-t-il ?

Si oui,

x est situé entre 3 et 4.

Logarithme à base 10

2 000 = 10 3,3

3,3 = log (2000)

Le nombre décimal obtenu est le LOGARITHME

Exemples

1 000

= 10 3

3

= log (1000)

2 000

= 10 3,3

3,3

= log (2000)

3 000

= 10 3,5

3,5

= log (3000)

 

 

10 000

= 10 4

4

= log (10 000)

Voir Nombre décimal

 

 

CALCUL AVEC LES GRANDS NOMBRES

Changement de monde

 

 

 

 

Formule savante

Pour   MULTIPLIER

on      ADDITIONNE

les      LOGARITHMES

 

 

log (a . b) = log (a) + log (b)

 

 

Pratique courante

 

*      Le truc du passage dans un autre monde est souvent utilisé en maths. C'est aussi, par exemple, le cas avec les nombres complexes.

 

Le chemin de calcul direct,

la multiplication

est bien trop difficile

 

Celui avec un détour

par l'addition des logarithmes est bien plus facile

Nombres normaux (ordinaires)

 

Nombres

"compressés"

 

 

Morale de l'histoire: je n'y arrive pas directement, alors je me sers d'un outil, d'un "levier" mathématique.

 

 

 

Exemples

1 000

x 1 000

 

 3

 + 3

= 6

 

 

= 1 000 000

 

1 000

x 2 000

 

 3

 + 3,3

= 6,3

 

 

= 2 000 000

 

1 200

x 2 55 000

 

3,07918

 + 5,40654

= 8,48572

 

 

= 306 000 000

 

3

x 4

 

 0,48

 + 0,60

= 1,08

 

 

= 12

 

 

 

 

En pratique

 

*      La règle à calcul, utilisée avant l'avènement des calculatrices,
était basée sur cette propriété additive des logarithmes.

 

regacal709

 

*      Pour des calculs plus précis, on utilisait également des tables de logarithmes.

*      Je possède toujours ma règle à calcul et ma table de log … avec lesquelles j'ai effectué de nombreux calculs dans ma jeunesse (les années 60) ! Soupir nostalgique… mais aucun regret …

 

Allure d'une règle à calcul (ici Log-Log)

Ma propre règle à calcul utilisée par ma petite-fille de 10 ans

 

Un autre type (américaine)

Source: Number Systems & Counting

Voir Machines pour calculer

 

 

 

INTRODUCTION GÉOMÉTRIQUE

À LA FONCTION LOGARITHME

 

*      Calcul des aires des surfaces en jaune:


 

 

Horizontale

Oblique

Parabole

Hyperbole

S (x) =

x – 1

1/2 (x² – 1)

1/3 ( x3 – 1)

Log x

S (2) =

1

3/2

7/3

0, 693 = ln 2

 

Voir Exemple de calcul d'aire

 

 

BILAN et généralisation

 

CE QUE NOUS DEVONS RETENIR

 

*      Les logarithmes permettent de se placer dans un monde plus pratique pour notamment exécuter des calculs compliqués sur des grands nombres:

*    En passant à des nombres moins grands*, plus facilement manipulables; et

*    En donnant la possibilité de transformer des multiplications difficiles en simples additions.

 

* Moins grands pour la partie entière; avec les décimales, la quantité de chiffres peut être tout aussi grande que pour le nombre d'origine (Voir exemple numérique sur illustration ci-dessous)

 

*      En fait, les logarithmes en base 10 (tels que vus ci-dessus) ne sont pas les plus adaptés, on utilise une autre base le nombre e = 2,718. Ces logarithmes sont dits naturels (ou népériens) et sont notés ln (qui équivaut à log e )

 

*       Voici un résumé de ce que nous venons de voir:

 

 

*      Le calcul avec les logarithmes exige cependant de disposer:

*    autrefois: de tables de logarithmes ou d'une règle à calcul;

*    aujourd'hui: d'une calculette ou d'un ordinateur.

 

*      Leur usage s'étend à la représentation des phénomènes physiques qui croissent exponentiellement.

C'est le cas, par exemple, du son dont l'intensité sonore s'exprime en décibel, une forme de logarithme.

Les pas de deux hommes qui marchent ne font pas beaucoup plus de bruits que ceux d'un seul marcheur. Par contre, une troupe qui marche, là oui, il y a une belle différence.

Le phénomène n'est pas simplement additif, mais plutôt multiplicatif, comme dans le monde des logarithmes.

Le fait est que, les lois physiques de ces phénomènes sont formulées par des exponentielles.

 

 

 

*      Les logarithmes sont aussi utiles pour faciliter des représentations graphiques.

 

Échelle normale                                Échelle logarithmique

 

  

*      La représentation logarithmique:

*    favorise  les petits en leur     "relevant"  la tête; et

*    minimise les grands en         "écrasant" leur dynamique.

 

 

 

Exemple pratique

 

*      Voici la superficie comparée de quelques pays du monde.

L'échelle logarithmique (graphique du haut) fait ressortir les nuances des pays les plus petits.

 

Voir Géographie / Les pays (junior)

 

 

 

En forme de bilan: technique opératoire

 

Puissances de 10

Les puissances de 10 sont faciles: elles indiquent la quantité de 0 derrière le 1. Ainsi: 102 = 100 et  103  = 1000 par exemple.

Dans ce monde, pour multiplier on ajoute et pour diviser on soustrait.

 

102 x 103  = 100 x 1000 = 100 000 = 105 = 102 + 3

10a x 10b  = 10a + b

 

103 / 102  = 1000 x 100 = 10 = 101 = 103 – 2

10b / 10a  = 10b – a

 

Un tel monde où les opérations compliquées se transforment en opérations simples est le monde des logarithmes.

C'est un monde où les choses vont en se multipliant par 10.

C'est utile pour traiter les phénomènes comme l'audition. En effet, nos oreilles ne sont pas linéaires, elles sont sensibles dans ce genre de rapport. Par exemple, 2 bels (ou 20 décibels) indique un rapport 100 entre deux puissances sonores. Une puissance sonore qui double équivaut à 3 décibels.

 

 Exemple de calcul avec logarithmes

En présence de très grands nombres, la calculette ne sait plus calculer; avec les logarithmes, on s'en sort.

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Logarithmes – Introduction

*    Exponentielles – Débutants

*    Décibels

*    Balle qui rebondit

Voir

*    Carrés magiques

*    Constantes Mathématiques

*    DébutantsIndex

*    Exponentielle

*    ExposantsIndex

*    Exposants et puissances

*    Nombres

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