NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Général

 

 

INDEX

Analyse

 

Racine

Racine carrée

Racine de 2, 3 …

Racine cubique

Racine treizième

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres à 1 chiffre

>>> Nombres à 2 chiffres

>>> Nombres à 3 chiffres – Exemple 1

>>> Nombres à 3 chiffres – Exemple 2

 

 

 

 

RACINE CUBIQUE

Calcul mental

 

Comment calculer une racine cubique rapidement pour des nombres jusqu'à 1 milliard.

On donne un nombre au cube, retrouvez ce nombre.

Comme nous allons le constater, ce problème est relativement plus simple que le fait de calculer le cube. La méthode d'applique naturellement à d'autres types de racines.

Voir Racine cubique à la main

 

 

 

Nombres à 1 chiffre

 

*    L'extraction de la racine cubique d'un nombre à n chiffre est particulièrement simple. D'abord, il s'agit d'un nombre inférieur à 1000 = 103.

 

*    Comme tous les nombres en 4k – 1

 

Les chiffres des unités sont identiques sauf pour 2, 3, 7 et 8 pour lesquels c'est le complément à 10.

 

Exemples de calcul de racine

216 = > chiffre des unités 6 => 216 = 63

512 = > chiffre des unités 2,
complément à 10 = 8 => 512 = 83

 


 

 

 

Nombres à 2 chiffres

 

Méthode la plus simple

 

On lit dans la table proposée, ou on apprend cette table par cœur.

 

 

Unité:

*    Comme pour un seul chiffre.

3  => 7

 

Dizaine:

*    Prendre les milliers

*    Lire le cube immédiatement inférieur dans la table.

50  => 27 => 3

 

La racine cubique de 50 653 est 37.

 

 

Pourquoi ça marche?

Mettons le nombre de deux chiffres sous sa forme développée et calculons son cube.

Les unités du cube sont celles de u3

 

 

 

Quelle que soit la quantité de chiffres, les dizaines étant séparées (facteur 10), les unités du cube sont celles de u3.

 

Pour les dizaines on procède par encadrement. On introduit d en ajoutant 10d partout.

Puis division par 10.

Avec le cube.

 

Finalement en remarquant que 10d + u = n.

 

 

 

 

 

 

Les milliers d'un cube d'un nombre à deux chiffres est juste plus grand que ses dizaines.

 

Curiosité

En utilisant cette mème technique de développement, on peut montrer que

Un nombre au cube diminué de ses unités au cube est divisible par 10 fois ses dizaines.

 

Exemple

23453 – 53 = 12 895 213 500

                       12 895 213 500 / 2340 = 5 510 775

 

Autres méthodes sans table (pour information)

 

*    Selon la règle exprimée ci-dessus, le cas des unités est réglé; Reste à trouver les dizaines.

*    Le plus grand est 993 = 970 299, disons inférieur à 1 million.

 

 

Méthode 1 – Ordre de grandeur

*      Cette méthode est facilitée par la connaissance des cubes des nombres de 1 à 9.

 

 

Méthode 2 – Preuve par 11

*    La preuve  par 11 permet de retrouver un chiffre manquant dans une opération.

*    La racine numérique avec 11 est égale à la différence entre la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair.

*    On transpose l'égalité N = R3 en égalité des racines numériques (monde du modulo 11).

*    Trouvez un nombre au cube qui donne 0 en mod 11 n'est pas immédiat.

*    On calcule la table une fois pour toute (les calculateurs prodiges la mémorise).

*    Pour un cube égal à o, le tableau donne 0 et c'est la seule possibilité.

*    On déduit la valeur de d le chiffre des dizaines.

 

Exemples méthode 1

1331

Unité: 1

Ordre de grandeur <203 = 8 000

Dizaine: 1

Racine cubique: 11

97 336

Unité: 6

Ordre de grandeur < 503 = 125 000

Dizaine: 4

Racine cubique: 46

 

704 969

Unité: 9

Ordre de grandeur < 903 = 729 000

Dizaine: 8

Racine cubique: 89

 

Exemples méthode 2

N = 166 375

R = sa racine cubique

Unité de R: 5

RacN = (6+3+5) – (1+6+7) = 0

RacR = 5 – d

RacN = RacR3

0 = (5 – d)3   (mod 11)

5 – d = 0

d = 5

Racine cubique: 55

 

N = 778 688

Unité: 2

RacN = (7+6+8) – (7+8+8)

          = – 2 = 11 – 2 = 9 mod 11

RacR = 2 – d

RacN = RacR3

9 = (2 – d)3   (mod 11)

2 – d = 4

d = -2 = 11-2 = 9 mod 11

Racine cubique: 92

 

N = 19 683

Unité: 7

RacN = (1+6+3) – (9+8)

          = – 7 = 11 – 7 = 4 mod 11

RacR = 7 – d

RacN = RacR3

4 = (7 – d)3   (mod 11)

7 – d = 5

d = 2

Racine cubique: 27

 

 

Suite pour trois chiffres

Pour trouver la racine cubique à trois chiffres, nous allons utiliser les méthodes employées ci-dessus:

*    Unité: selon la règle des unités,

*    Centaine: évaluée par la méthode de l'ordre de grandeur, et

*    Dizaine: par la méthode de la preuve par 11.

 

 

Nombres à 3 chiffres – Exemple 1

*    Cherchez la racine cubique de 

N =

R =

24 137 569

*    Ordre de grandeur

2003 =

3003 =

   8 000 000

27 000 000

*    Quantité de chiffre de R

Premier chiffre de N

R =

c =

 (3chiffres)

2

*    Unité

u =

 

9

(en effet 93 = 729)

*    Preuve par 9
La preuve par 9 n'est pas suffisante. C'est pourquoi elle n'est pas utilisée)

RacN =

RacR =

(11 + d)3 =

11 + d =

d =

1

2 + d + 9 = 11 + d

1 mod 9

1 ou 4 ou 7 mod 9

8 ou 2 ou 5

*    Preuve par 11

Les chiffres de rang impairs moins ceux de rang pair.

RacN =

=

RacR =

RacR3 =

=

(4+3+5+9)– (2+1+7+6)

21 – 16 = 5

(c+u) – d = (2+9) – d

(11 – d)3   mod 11

                 5 mod 11

*    Recherche du chiffre central

(11 – d)3 =

11 – d =

d =

5 mod 11

3 (car 3x3x3 = 27 = 5 mod 11)

11 – 3 = 8

*    Bilan

R =

289

 

 

Nombres à 3 chiffres – Exemple 2

*    Cherchez la racine cubique de 

N =

R =

1 860 867

*    Ordre de grandeur

1003 =

2003 =

   1 000 000

   8 000 000

*    Quantité de chiffre de R

*    Premier chiffre de N

R =

c =

 (3chiffres)

1

*    Unité

u =

 

10 – 7 = 3

 (en effet 33 = 27)

*    Preuve par 11

RacN =

=

RacR =

RacR3 =

=

(1+6+8+7)-(8+0+6)

22 – 14 = 8

(c+u) – d = (1+3) – d

(4 – d)3 mod 11

            8 mod 11

*    Recherche du chiffre central

(4 – d)3 =

4 – d =

d =

8 mod 11

2 (car 2x2x2 = 8  mod 11)

4 – 2 = 2

*    Bilan

R =

123

 

 

 

 

Suite

*    Racine de deux

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*    Calculs avec des racines cubiques

*    Racine cubique à la main

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