NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Base des logarithmes naturels

>>> Valeur de "e"

>>> Formule pour "e"

 

 

 

 

BASE des LOGARITHMES NATURELS

 

Pourquoi "e" est la base des logarithmes naturels?

Cela ne semble pourtant pas si naturel que cela !

Voici un itinéraire, il y en a d'autres.

 

 

 

Étape 1 - Log naturels ?

 

*    Pourquoi la base "e = 2, 718…" pour les logarithmes et, en plus, les baptiser de naturels ?

*    Pourquoi ne pas rester avec 10?

 

 

C'est une question de vitesse de croissance

Avec 10, ça va trop vite

Avec 2 c'est mieux

Avec 1 pas possible

Alors quoi ?

Un peu plus de 1

Oui, c'est la bonne piste …

 

 

 

Étape 2 - Observations

 

*    En observant le tableau ci-contre et en prenant l'exemple de log 3 et log 4.

 

*    L'écart entre ces deux valeurs décroît lorsque la base du logarithme décroît

 

 

 

Lecture du tableau

  log 3 81 = 4

Exemple de décroissance

  En base 10 on passe de 10 000 à 1000

  En base   2 on passe de         16 à        8

 

 

 

Étape 3 – Cherchons encore …

 

*    Si on veut gagner en densité, la lecture du tableau nous incite à descendre le plus près de la base 1, sans l'atteindre.

 

*    Ça marche, quelle densité ! Ça se bouscule du côté du 1.

*    On peut même augmenter encore la quantité de 0 de la base.

*    Mais, enfin, les valeurs sont alors très proches les unes des autres et du 1.

 

 

 

Étape 4 – Dans l'autre sens

 

*    Pour mieux voir,  on va chercher non pas (tableau ci-dessus).

log 1,01 1, 030301 = 3

X dans la colonne et N dans le tableau.

 

*    Mais, on inverse le tableau (tableau ci-contre).

log 1,01 2 = 70

N dans la colonne et X dans le tableau.

log 1,01 2 = 70

log 1,001 2 = 693

 

 

 

Étape 5 – Encore un pas

 

*    Sur le tableau précédent, les nombres s'étalent de 7 à 160 945.

*    On peut essayer de ramener tous les chiffres du tableau dans le même ordre de grandeur

*    Il faut diviser par 10, puis 100, 1000, etc.

*    Cela revient à changer la base comme indiqué.

 

 

 

Étape 6 – Pour conclure (enfin!)

 

*    Effectivement, maintenant, tous les nombres sont voisins de 1.

*    Calculons la valeur des bases utilisées

1,110  = 2, 593742460

etc.

*    Après cette expédition, on retrouve la valeur de "e", base des logarithmes naturels.

 

 

 

Étape 7 – Et une formule, une!

 

*    Exprimons ces valeurs sous la forme de fractions et de puissances de 10:

 

1,1 = 1 + 1/10

1,01 = 1 + 1/100

etc.

*    On retrouve notre chère formule.

 

 

 

 

Suite

*    Fractions exprimant "e"

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*    Constantes

*    Courbes élémentaires

*    Courbe de charge d'un condensateur

*    Exposants et puissances

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*    Logarithmes

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*    Pi

*    Théorie des nombres

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