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Géométrie

 

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Constructions

 

Cercle

 

Géométrie

 

Élémentaires

Triangles

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Yin Yang

Cercle sans centre

 

Sommaire de cette page

>>> Classiques – Cercle et ellipses du jardinier

>>> Utilisation d'un gabarit

>>> Méthode de l'écart à la corde

>>> Méthode de la progression pas à pas

>>> Méthode de l'angle intercepté

>>> Méthode du carré inscrit

>>> Méthode des sécantes

 

 

 

 

 

Construction du cercle

sans le centre

 

Comment construire un cercle ou un arc de cercle sans accès au centre. Ce cas intervient dans le bâtiment ou les jardins lorsque le centre est inaccessible (présence d'une fontaine, d'un édicule, d'un mur …)

Pas de solution simple ! Pour ces cas pratiques, on se contentera souvent d'un tracé approximatif. L'utilisation d'un gabarit est souvent le plus simple.

   

 

 

Classiques – Cercle et ellipses du jardinier

Pour tracer un cercle au sol en ayant accès au centre, il suffit de planter un piquet au centre, de tendre une ficelle de longueur égale au rayon souhaité.

Avec un plantoir, un clou ou une craie, marquer le sol en tournant autour du piquet, ficelle bien tendue.

Pour tracer une ellipse au sol en ayant accès aux deux foyers, planter deux piquets aux foyers et tendre une corde fixée à ces deux piquets.

Avec un clou ou une craie, tendre la ficelle et marquer le sol en tournant autour des piquets, ficelle bien tendue.

Voir Ellipse du jardinier

Image associée

Brève 370

 Voir Constructions géométriquesIndex

 

 

 

Utilisation d'un gabarit

 

But

Tracer un arc de cercle de petite taille (quelques mètres max) sans accès au centre, devant un édifice, par exemple.

 

Principe

L'idée est de construire la figure sur un terrain libre et de relever la courbe sur un carton, une feuille  de plastique ou encore des baguettes assemblées à la façon d'un mètre pliant.

 

Préparation

Les deux points A, B sont les points par lesquels doit passer le cercle. Reporter la longueur de la corde AB sur un terrain libre. 

Partager la corde AB en deux parties égales et tracer la perpendiculaire en H à AB. Positionner le point C selon la courbure que vous désirez.

 

Centre et rayon

Pour trouver le centre et mesurer le rayon, tracer un point D quelconque sur le cercle. La médiatrice de AD coupe la droite CH au centre du cercle O.

 

Tracé du cercle

Mettre un piquet en O. Y attacher une ficelle. La tendre jusqu'en C et y placer un clou ou une craie.

Corde tendue, dessiner l'arc de cercle. 

Construire votre gabarit sur cette courbe.

 

 

Arc de cercle en face d'un obstacle

 

Calculs

Le rayon est donné par la formule indiquée. Par exemple pour une corde de L = 10 m et une hauteur du segment de cercle de h = 2 m, le rayon du cercle vaut r = 7,25 m.

 

 

Voir Segment de cercle

Idée de réalisation

 

 

Méthode de l'écart à la corde

 

Principe

Sur la corde, dessiner les perpendiculaires à intervalles réguliers et mesurer la distance à l'intersection avec l'arc.

 

Tracé de l'arc de cercle

Reporter ces distances in situ.

 

Illustration avec 5 valeurs

Calcul de x en fonction de d

 

Dans le triangle rectangle jaune (Pythagore):

qui conduit à l'équation du deuxième degré:
   
x² + 2(R – h) x + d² + (r – h)² – R² = 0

La résolution est fastidieuse sans outil logiciel.

 

Il est plus pratique de dessiner le cercle et de mesurer ces longueurs.

 

Exemple de calcul ci-contre avec L = 10, h = 2

et donc R = 7,25 (cf. ci-dessus).

 

Tableau avec 20 valeurs

 

 

Méthode de la progression pas à pas

 

But

Tracer un cercle en évitant un obstacle central.

 

Principe

Avancer d'une longueur et tourner d'un angle donné. Recommencer jusqu'à fermer le polygone approximant le cercle.

 Voir Programmation du cercle.

 

Méthode

Construire un gabarit représentant deux côtés et le superposer de proche en proche

 

Angle

Choisir la quantité de côtés du polygone (ici : n = 24). L'angle vaut 360 / n = 15°

 

Coté

Connaissant le rayon R du cercle à former, la longueur du côté se calcule avec la formule:

 

Exemple pour R = 10 m et angle de 15° (n = 24):

c = 20 x sin (7,5°) = 20 x 0,1305 … = 2,610 … m

 

 

Cercle approximé par un polygone 24 côtés

 

Gabarit de construction

 

 

Méthode de l'angle intercepté

 

But

Tracé un arc de cercle en évitant un obstacle central.

 

Méthode

Choisir les trois points A, B et C.

Construire le gabarit ACB avec deux liteaux, un troisième en travers maintiendra l'ouverture de l'angle constante. 

Tous les points C tels que ce gabarit vise les points A et B sont sur le cercle.

 

En pratique

Planter des piquets en A et B. Prolonger suffisamment les segments CA et CB. Placer une pointe ou une craie en C.

Faire pivoter le gabarit tout en le maintenant en contact avec les piquets en A et B.

Le point C décrit le cercle désiré.

 

 

Principe

L'angle qui intercepte la corde AB est invariant quel que soit le point C sur le cercle (en restant du même côté).

Voir Angles interceptant une corde

 

Exemple d'arc de cercle à tracer

 

 

Outillages

Un large triangle en bois passant par ABC

Deux piquets en A et B; un clou en C (ou autre instrument de marquage).

Déplacer le triangle en se servant des deux piquets comme guide. Le point C décrit un arc de cercle.

 

 

 

 

Variante

avec triangle plein

 

 

 

Méthode du carré inscrit

 

But

Tracé un cercle en évitant un obstacle central. Approximation avec un octogone.

 

Méthode

Tracer un carré autour de l'obstacle central. Si l'objet central est symétrique, prendre les mesures à partir de ses bords.

Sur chacun des côtés, tracer la perpendiculaire HC à AB, en son milieu. Marquer le point C à la distance calculée avec la formule indiquée.

 

Calcul et exemple avec AB = 10 m

Rayon du cercle

 

 

 

Méthode des sécantes

Tracer l'arc rouge sans accès au centre du cercle

Méthode

*    Corde AB et son milieu H.

*    Perpendiculaires à AB en A, H et B.

*    Choix du point C; cordes AC et BC; parallèle en C à AB.

*    Perpendiculaire à ces cordes en A et B; intersections G et H.

*    Partager en n parts égales AH, HB, GC, CH, AI et BJ.
Plus n est grand et plus l'arc sera précis.

*    Segments joignant ces points comme indiqué sur la figure.
Seule la partie de droite à été dessinée.

*    Les intersections sont sur l'arc de cercle désiré.

 

 

Merci à Patrice Bonsignour pour l'idée de cette page

 

 

 

Suite

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*           Triangle de Calabi

Logiciel

*         Geogebra est un logiciel mathématique gratuit réalisant toutes ces constructions et bien plus … 

Site

*           How to create circles and or sections of a circle when the centre is inaccessible – Mathematics Stack Exchange – Pour d'autres idées …

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