NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

Débutants

Géométrie

CONSTRUCTIONS

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

Constructible

Constructions élémentaires

Bissection

Trisection

Triangles

Carrés dans le triangle

 

Sommaire de cette page

>>> Constructions – Index

>>> CONSTRUCTIBLE: Théorème de Gauss

>>> COMPLÉMENT: Théorème      de Wantzel

>>> SUITE: Théorème                       de Mohr-Mascheroni

>>> Construction des polygones

>>> Types de constructions – Comparaison

 

 

 

 

Constructions – INDEX

Général

Bases

*      Constructibilité

*      Polygones - Index

*      Géométrie Index

*      Pavage

*      Pliages

*      Relation d'Euler

*      Construction par neusis (règle marquée)

*      Les constructions élémentairesIndex

*      Médiatrice

*      Bissectrice

*      Bissection au compas

*      Perpendiculaire

*      Trisectrice

Construction des polygones

Nombres

3

Triangles en général

Triangle – Point de Torricelli

Triangle équilatéral

Triangle quadruple

Triangle quelconque

Triangle rectangle – Jardinier

4

Carrés et couronnes (même aire)

Carré dans le cube

Carré dans le triangle

Carré dans rectangle

Carré doublé

Carré rigide

5

Pentagone

6

Hexagone

7

Heptagone

8

Octogone

9

Ennéagone

10

Décagone

12

Dodécagone

15

Pentadécagone

17

Heptadécagone

/

Cercle – Centre

/

Cercle – Partage

/

Cercle – Quadrature

/

Ellipse – Centre, axes et foyers

*      Angle de 22,5°

*      Angle de 30°

*      Carré d'une longueur donnée

*      Fractions: 1/2, 1/3, 1/4 …

*      Construction de 1/3 avec Descartes

*      Inverse d'une longueur donnée

*      Nombre d'or

*      Nombre d'or au compas

*      Nombres polygonaux

*      Nombres: ½, 1/3, racines, Pi, Phi…

*      Pi approché (Hobbes)

*      Racine carrée

*      Racine carrée d'une longueur donnée

*      Racine de 2

*      Racine de 3

*      Racine de 8

Divers

*      Allumettes - Constructions

*      Bissection du segment

*      Bissection du triangle

*      Constructions – Forces

*      Duplication du cube

*      Édifices

*      Ellipse - Jardinier

*      Fractales – Images

*      Image – Optique

*      Labyrinthe

*      Quadrature de la parabole

*      Quadrature du cercle

*      Shri Yantra

*      Spirale logarithmique

*      Symétrie des frises et tapisseries

*      Tangram

*      Trisection dans un triangle quelconque

*      Trisection de l'angle

*      Trisection du segment

*      Yin Yang

Volumes

*      Cône

*      Cube – Emballage

*      Cube – Patrons

*      Tétraèdre

 

 

 

 

CONSTRUCTIONS

& CONSTRUCTIBILITÉ

 

Peut-on construire rigoureusement une figure géométrique

en utilisant des outils précis:

règle, compas, marques sur la règle … allumettes.

 

Division de la circonférence pas possible pour

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 … 

 

 

CONSTRUCTIBLE: Théorème de Gauss

 

Historique

 

*      Les Grecs connaissaient de nombreuses possibilités de construction.

*      Au Xe siècle, un astronome persan, Abul Wefa, publie un recueil de constructions à la règle et au compas à ouverture fixe.

*      Il a fallu 2000 ans pour que Gauss (1796) démontre le théorème suivant.

 

 

 

Nombre de Fermat (Rappel)

 

*      Les nombres premiers de Fermat sont de la forme: 2p + 1 avec p puissance de 2.

*      On ne connaît que 5 nombres premiers de Fermat, ceux pour
 p = 20, 21, 22, 23, 24

 

 

Théorème de Gauss (1777-1855) - formulation n°1

Il est possible de diviser la circonférence

en un nombre impair de parties égales

si, et seulement si,

le nombre est un

nombre premier de Fermat

comme 3, 5, 17, 257, 65 537.

 

 Théorème de Gauss  - formulation n°2

Le polygone n'est constructible

avec une règle et un compas que si

m étant entier et n premier.

Ou

si n est formé exclusivement de combinaisons d'un nombre premier de Fermat  (comme 3, 5, 17, 257, 65 537) et de puissances de deux.

 

 

Théorème de Gauss - formulation n°3 finale

Un polygone régulier à n côtés

est constructible à la règle et au compas

si n est de la forme 2rp1p2...pk

où les pi sont des nombres premier de Fermat distincts

Contient les cas r = 0 et k= 0

 

 

 

COMPLÉMENT de Wantzel

 

*      Wantzel démontre que seuls les polygones de Gauss sont constructibles.

 

Conséquences

*      n'étant pas algébrique (il est transcendant), la quadrature du cercle est impossible

de même que la duplication du cube

et, en général, la trisection de l'angle.

 

 

Bilan

*      Soit les seules possibilités de diviser la circonférence jusqu'à 51 =>

 

 

Théorème de Pierre Laurent Wantzel (1814 - 1848)

Tout nombre constructible est algébrique

et son degré est une puissance de 2.

 

 

Les nombres constructibles (en jaune)

 

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

 

On ne peut donc pas diviser le cercle par 7, 9, 11, 13...Ni P7 (heptagone), ni P9 (ennéagone) ne sont pas constructibles par règle et compas.

 

 

 

 

SUITE: Théorème de Mohr-Mascheroni

 

*      Le livre de Mohr, pourtant antérieur à Mascheroni n'a été retrouvé et connu qu'en 1928, d'où le nom de Mascheroni.

*      L'abbé italien Mascheroni (1750 -1800), écrit: Géométrie du compas (Geometria del compasso) en 1797.

Il établit que toutes les constructions géométriques réalisables avec règle et compas peuvent être effectuées avec le compas seul. Convention: une droite est déterminée si deux de ses points sont construits.

 

 

Théorème de Mohr (1672) ou de Mascheroni (1797):

 

Toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul

 

 

En latin, compar veut dire égal. Le verbe compassare signifiait: mesurer avec ses pas.

 

 

Voir Bissection au compas / Milieu du segment

 

 

Coin matheux

 

Théorème de Wantzel (1832)

*      L'ensemble des nombres constructibles au compas est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison et racine carrée.

 

 

Théorème de Videla (1997)

L'ensemble des nombres constructibles au compas avec la méthode conique est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison, racine carrée et racine cubique

 

 Voir Quadrature du cercle

 

 

 

CONSTRUCTION DES POLYGONES

 

*      Peut-on diviser un cercle en un nombre quelconque de parts avec une règle et un compas?

*      Si oui, on peut construire le polygone régulier inscrit dans ce cercle.

 

*      Par deux et ses multiples, il suffit de prendre un diamètre

et, prendre le compas à partir des deux points obtenus pour diviser par 2.

*      Par six, on porte le rayon sur la circonférence.

*      Par trois,  on divise par 6 et on prend un point sur deux.

*      Par 12, on trace les bissectrices au compas;

Même chose pour passer à 24 en doublant.

*      Par cinq, la construction est un peu plus compliquée, mais c'est faisable.

Voir construction de l'étoile à 5 branches.

*      On peut doubler pour dix.
On peut combiner 6 et 10 et obtenir 15 parts.

*      Etc.

 

Bilan

 

    On peut diviser en:

3 x 5

3 x      2n

3 x 5 x 2n

*      Plus grand n-gone régulier constructible à la règle et au compas pour n = 4 294 967 295. Le suivant pour n = 1 431 655 765.

*      Au total, seuls 31 polygones réguliers sont connus pour être constructibles.

 Voir constante Pi

 

 

TYPES DE CONSTRUCTIONS

 

Définition

 

Compas

Règle

non graduée

Marque

sur règle

Tiges de

longueur fixe

*       Grecque classique

 

 

 

 

*       Mascheroni

 

 

 

 

*       Steiner

 

 

 

 

*       Neusis

 

 

 

 

*       Dawson

 

 

 

 

 

 

Comparaisons entre les méthodes de construction

 

*       Grecque classique

*      Certaines constructions sont impossibles.

Théorème de Gauss (1796)

*       Mascheroni

*      Toutes les constructions classiques faisables sont faisables avec le compas seul.

Théorème de Mascheroni (1797), énoncé avant lui (1672) par George Mohr.

*       Poncelet
     Steiner

*      Toutes les constructions classiques faisables sont faisables avec la règle seule

à condition de disposer d'un cercle et son centre ou deux cercles qui se coupent sans leur centre ou trois cercles sans intersection.

Théorème de Poncelet-Steiner (1822 et 1833).

*       Neusis

*      Les constructions classiques impossibles le sont en ajoutant une marque sur la règle et en procédant par ajustements.

Voir trisection de l'angle et construction de l'heptagone .

*       Dawson

*      Une figure est constructible si et seulement si elle l'est avec des allumettes identiques mobiles sur une feuille de papier.

Théorème de Dawson

*       Théorie de Galois

*      Théorie de l'extension des corps qui permet de donner une traduction mathématique à "construire à la règle et au compas".

 

 

 

Suite

*       Bissection

Voir

*       Allumettes

*       Construction de racine de 2

*       Centre du cercle

*       Pentagone ou étoile à cinq branches

Autres

*       Cycloïde

*       GéométrieIndex

*       Heptagone

*       Illusions d'optique

*       Médiatrice

*       Neusis (construction-)

*       Pliages et découpages

*       Polyèdres

*       Polygones

*       Quadrature du cercle

*       Triangles

Sites

*       Constructions décoratives

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