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	· Constructible	· Bissection
Sommaire de cette page >>> CONSTRUCTIBLE: Théorème de Gauss >>> COMPLÉMENT: Théorème de Wantzel >>> SUITE: Théorème de Mohr-Mascheroni >>> CONSTRUCTION DES POLYGONES >>> TYPES DE CONSTRUCTIONS - Comparaison

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CONSTRUCTIONS

& CONSTRUCTIBILITÉ

Peut-on construire rigoureusement une figure géométrique

en utilisant des outils précis:

règle, compas, marques sur la règle … allumettes.

Division de la circonférence pas possible pour

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 …

CONSTRUCTIBLE: Théorème de Gauss
Historique Les Grecs connaissaient de nombreuses possibilités de construction. Au Xe siècle, un astronome persan, Abul Wefa, publie un recueil de constructions à la règle et au compas à ouverture fixe. Il a fallu 2000 ans pour que Gauss (1796) démontre le théorème suivant. Nombre de Fermat (Rappel) Les nombres premiers de Fermat sont de la forme: 2^p + 1 avec p puissance de 2. On ne connaît que 5 nombres premiers de Fermat, ceux pour p = 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4	Théorème de Gauss (1777-1855) - formulation n°1 Il est possible de diviser la circonférence en un nombre impair de parties égales si, et seulement si, le nombre est un nombre premier de Fermat comme 3, 5, 17, 257, 65 537. Théorème de Gauss - formulation n°2 Le polygone n'est constructible avec une règle et un compas que si m étant entier et n premier. Ou si n est formé exclusivement de combinaisons d'un nombre premier de Fermat (comme 3, 5, 17, 257, 65 537) et de puissances de deux. Théorème de Gauss - formulation n°3 finale Un polygone régulier à n côtés est constructible à la règle et au compas si n est de la forme 2^rp1p2...pk où les pi sont des nombres premier de Fermat distincts Contient les cas r = 0 et k= 0

COMPLÉMENT de Wantzel

Wantzel démontre que seuls les polygones de Gauss sont constructibles.

Conséquences

n'étant pas algébrique (il est transcendant), la quadrature du cercle est impossible

de même que la duplication du cube

et la trisection de l'angle.

Bilan

Soit les seules possibilités de diviser la circonférence jusqu'à 51 =>

Théorème de Pierre Laurent Wantzel (1814 - 1848)

Tout nombre constructible est algébrique

et son degré est une puissance de 2.

Les nombres constructibles (en jaune)

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
32	33	34	35	36	37	38	39	40	41
42	43	44	45	46	47	48	49	50	51

On ne peut donc pas diviser le cercle par 7, 9, 11, 13...Ni P7 (heptagone), ni P9 (ennéagone) ne sont pas constructibles par règle et compas.

SUITE: Théorème de Mohr-Mascheroni
Le livre de Mohr, pourtant antérieur à Mascheroni n'a été retrouvé et connu qu'en 1928, d'où le nom de Mascheroni. L'abbé italien Mascheroni (1750 -1800), écrit: Géométrie du compas (Geometria del compasso) en 1797. Il établit que toutes les constructions géométriques réalisables avec règle et compas peuvent être effectuées avec le compas seul. Convention: une droite est déterminée si deux de ses points sont construits.	Théorème de Mohr (1672) ou de Mascheroni (1797): Toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul En latin, compar veut dire égal. Le verbe compassare signifiait: mesurer avec ses pas.

Voir Bissection au compas / Milieu du segment

Coin matheux
Théorème de Wantzel (1832) L'ensemble des nombres constructibles au compas est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison et racine carrée.	Théorème de Videla (1997) L'ensemble des nombres constructibles au compas avec la méthode conique est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison, racine carrée et racine cubique

Voir Quadrature du cercle

CONSTRUCTION DES POLYGONES
Peut-on diviser un cercle en un nombre quelconque de parts avec une règle et un compas? Si oui, on peut construire le polygone régulier inscrit dans ce cercle. Par deux et ses multiples, il suffit de prendre un diamètre et, prendre le compas à partir des deux points obtenus pour diviser par 2. Par six, on porte le rayon sur la circonférence.
Par trois, on divise par 6 et on prend un point sur deux. Par 12, on trace les bissectrices au compas; Même chose pour passer à 24 en doublant. Par cinq, la construction est un peu plus compliquée, mais c'est faisable. Voir construction de l'étoile à 5 branches. On peut doubler pour dix. On peut combiner 6 et 10 et obtenir 15 parts. Etc.	Bilan On peut diviser en: 3 x 5 3 x 2^n 3 x 5 x 2^n

Voir constante Pi

TYPES DE CONSTRUCTIONS

Définition

	Compas	Règle non graduée	Marque sur règle	Tiges de longueur fixe
Grecque classique
Mascheroni
Steiner
Neusis
Dawson

Comparaisons entre les méthodes de construction

Grecque classique	Certaines constructions sont impossibles. Théorème de Gauss (1796)
Mascheroni	Toutes les constructions classiques faisables sont faisables avec le compas seul. Théorème de Mascheroni (1797), énoncé avant lui (1672) par George Mohr.
Poncelet Steiner	Toutes les constructions classiques faisables sont faisables avec la règle seule à condition de disposer d'un cercle et son centre ou deux cercles qui se coupent sans leur centre ou trois cercles sans intersection. Théorème de Poncelet-Steiner (1822 et 1833).
Neusis	Les constructions classiques impossibles le sont en ajoutant une marque sur la règle. Voir construction de l'heptagone .
Dawson	Une figure est constructible si et seulement si elle l'est avec des allumettes identiques mobiles sur une feuille de papier. Théorème de Dawson
Théorie de Galois	Théorie de l'extension des corps qui permet de donner une traduction mathématique à "construire à la règle et au compas".

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Voir	Allumettes Construction de racine de 2 Centre du cercle Pentagone ou étoile à cinq branches
Autres	Cycloïde Géométrie Heptagone Illusions d'optique Médiatrice Pliages et découpages Polyèdres Polygones Quadrature du cercle Triangles