NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Géométrie

 

Débutants

Géométrie

CONSTRUCTIONS

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

Constructible

Constructions élémentaires

Longueurs a, 1/a et rac(ab)

Bissection

Trisection

Triangles

Carrés dans le triangle

 

Sommaire de cette page

 

>>> Constructions – Index

>>> CONSTRUCTIBLE: Théorème de Gauss

>>> COMPLÉMENT: Théorème      de Wantzel

>>> SUITE: Théorème                       de Mohr-Mascheroni

>>> Construction des polygones

>>> Types de constructions – Comparaison

 

 

 

À voir aussi …

 

DESSINS GÉOMÉTRIQUES   Guillaume Villemin

Alliance de la géométrie et de l'art.

Un travail d'imagination et de patience !

 

 

Sur les pages de ce site

Constructions – INDEX

Général

Bases

*      Centre de gravité

*      Constructibilité

*      Constructions impossibles

*      Polygones - Index

*      Géométrie Index

*      Pavage

*      Pliages

*      Relation d'Euler

*      Construction par neusis (règle marquée)

*      Les constructions élémentairesIndex

*      Longueurs a, 1/a et racine(ab)

*      Médiatrice

*      Bissectrice

*      Bissection au compas

*      Perpendiculaire

*      Tangentes avec ou sans le centre du cercle

*      Trisectrice

Construction des polygones

Nombres

3

Triangles en général

Triangles quelconque

Triangle – Point de Torricelli

Triangle équilatéral

Triangle équilatéral circonscrit

Triangle quadruple

Triangle quelconque

Triangle rectangle – Jardinier

Triangle et son orthocentre

Triangle équilatéral sur 3 parallèles

4

Carré avec points milieux

Carrés et couronnes (même aire)

Carré dans le cube

Carré dans le triangle

Carré dans rectangle

Carré doublé

Carré rigide

Carré par quatre points

Losange dans rectangle

Losange à 45°

Quadrilatères

5

Pentagone – Diverses méthodes

6

Hexagone

7

Heptagone        Neusis

8

Octogone

Octogone – Arabesques

9

Ennéagone (Neusis et approximations)

10

Décagone

12

Dodécagone

15

Pentadécagone

17

Heptadécagone

/

Cercle et trois entités (P, D, C)

Les dix problèmes d'Apollonius

/

Cercle – Centre

/

Cercle – Sans centre

/

Cercle – Partage

/

Cercle – Partage Bion

/

Cercle – Quadrature

/

Cercles – Cordes égales

/

Cercles et triangles équilatéraux

/

Sangakus

/

Ellipse – Centre, axes et foyers

3 à 10

Polygones gigognes

*    Angle 10° (en fait: 9,59°)

*    Angle 20° par neusis

*    Angle 20° (en fait: 20,01°)

*    Angle de 22,5°

*    Angle de 30° et de 60°

*    Angle de 45°

*    Angle 70° par neusis

*    Angle triple

*    Carré d'une longueur donnée

*    Fractions: 1/2, 1/3, 1/4 …

*    Fractions quelconques

*    Fractions par division d'un segment

*    Construction de 1/3 avec Descartes

*    Inverse d'une longueur donnée

*    Nombre d'or - Phi

*    Nombre d'or au compas

*    Nombre d'or – Construction remarquable (Euclide)

*    Nombres polygonaux

*    Nombres: 1/2, 1/3, racines, Pi, Phi…

*    Pi approché (Hobbes, Kochanski, Dickson ..) – Quadrature approchée du cercle

*    Racine carrée

*    Racine carrée d'une longueur donnée

*    Racine de 2

*    Racine de 3

*    Racine de 5

*    Racine de 2, de 3, de 5 et de Phi

*    Racine de 8

*    Racine de n – Méthode générale et autres

Divers

*    Allumettes – Constructions

*    Angles 30°, 60° et autres

*    Angle dupliqué

*    Billard d'Alhazen

*    Bissection du segment

*    Bissection du triangle

*    Bissectrice d'un angle droit

*    Carré et triangles dans une feuille A4

*    Cercle inscrit dans le losange

*    Cercle inscrit dans le quart d'ellipse

*    Construction d'un rectangle de même aire qu'un carré

*    Constructions – Forces

*    Duplication du cube

*    Édifices

*    Ellipse - Jardinier

*    Fractales – Images

*    Fractions

*    Image – Optique

*    Inversion – Constructions avec -

*    Labyrinthe

*    Partage du cercle en k parts égales

*    Partage du rectangle en deux parts égales

*    Partage du triangle en k parts égales

*    Perpendiculaire sans compas

*    Pi approché

*    Sangakus (règle graduée)

*    Sangakus (règle non graduée)

*    Shri Yantra

*    Spirale logarithmique

*    Symétrie des frises et tapisseries

*    Tangente à deux cercles

*    Tangram

*    Trisection dans un triangle quelconque

*    Trisection de l'angle

*    Trisection de l'angle de 90°

*    Trisection du segment

*    Trisection du rectangle

*    Yin Yang

Volumes

*      Cône

*      Cube – Emballage

*      Cube – Patrons

*      Tétraèdre

Quadratures

*      Cercle en carré

*      Parabole en carré

*      Polygone en carré

*      Rectangle en carré

*      Triangle en carré

*      Triangle en rectangle

 

 

 

 

 

 

 

CONSTRUCTIONS

& CONSTRUCTIBILITÉ

 

Peut-on construire rigoureusement une figure géométrique

en utilisant des outils précis:

règle, compas, marques sur la règle … allumettes.

 

Division de la circonférence pas possible pour

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 … 

Possible pour

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048, 2056, 2176, 2560, 2570, 2720, 3072, 3084, 3264, 3840, 3855, 4080, 4096, 4112, 4352, 4369, 5120, 5140, 5440, 6144, 6168, 6528, 7680, 7710, 8160, 8192, 8224, 8704, 8738, 10240, …

 

 

CONSTRUCTIBLE: Théorème de Gauss

 

Historique

 

*      Les Grecs connaissaient de nombreuses possibilités de construction.

*      Au Xe siècle, un astronome persan, Abul Wefa, publie un recueil de constructions à la règle et au compas à ouverture fixe.

*      Il a fallu 2000 ans pour que Gauss (1796) démontre le théorème suivant.

 

 

 

Nombre de Fermat (Rappel)

 

*      Les nombres premiers de Fermat sont de la forme: 2p + 1 avec p puissance de 2.

*      On ne connaît que 5 nombres premiers de Fermat, ceux pour
 p = 20, 21, 22, 23, 24

 

 

Théorème de Gauss (1777-1855) - formulation n°1

Il est possible de diviser la circonférence

en un nombre impair de parties égales

si, et seulement si,

le nombre est un

nombre premier de Fermat

comme 3, 5, 17, 257, 65 537.

 

 Théorème de Gauss  - formulation n°2

 

Le polygone régulier n'est constructible

avec une règle et un compas que si

m étant entier et n premier.

Ou

si n est formé exclusivement de combinaisons d'un nombre premier de Fermat  (comme 3, 5, 17, 257, 65 537) et de puissances de deux.

 

 

Théorème de Gauss - formulation n°3 finale

Un polygone régulier à n côtés

est constructible à la règle et au compas

si n est de la forme 2rp1p2...pk

où les pi sont des nombres premier de Fermat distincts

Contient les cas r = 0 et k= 0

 

 

Voir Brève 54-1069

 

 

 

COMPLÉMENT de Wantzel

 

*      Wantzel démontre que seuls les polygones de Gauss sont constructibles.

 

Conséquences

*      n'étant pas algébrique (il est transcendant), la quadrature du cercle est impossible

de même que la duplication du cube

et, en général, la trisection de l'angle.

 

 

Bilan

*      Soit les seules possibilités de diviser la circonférence jusqu'à 51 =>

 

 

Théorème de Pierre Laurent Wantzel (1814 - 1848)

Tout nombre constructible est algébrique

et son degré est une puissance de 2.

 

 

Les nombres constructibles (en jaune)

 

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

 

On ne peut donc pas diviser le cercle par 7, 9, 11, 13...Ni P7 (heptagone), ni P9 (ennéagone) ne sont pas constructibles par règle et compas.

 

 

 

 

SUITE: Théorème de Mohr-Mascheroni

 

*      Le livre de Mohr, pourtant antérieur à Mascheroni n'a été retrouvé et connu qu'en 1928, d'où le nom de Mascheroni.

*      L'abbé italien Mascheroni (1750 -1800), écrit: Géométrie du compas (Geometria del compasso) en 1797.

Il établit que toutes les constructions géométriques réalisables avec règle et compas peuvent être effectuées avec le compas seul. Convention: une droite est déterminée si deux de ses points sont construits.

 

 

 

Théorème de Mohr (1672) ou de Mascheroni (1797):

 

Toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul

 

 

En latin, compar veut dire égal. Le verbe compassare signifiait: mesurer avec ses pas.

 

 

Théorème de la construction à la règle seule

Théorème de Poncelet-Steiner (1822 et 1833).

Toute construction à la règle et au compas peut être réalisée avec la règle seulement, à condition de diposer d'un cercle.

         

 

Voir Bissection au compas / Milieu du segment / Perpendiculaire avec règle et sans compas

 

 

Coin matheux

 

Théorème de Wantzel (1832)

*      L'ensemble des nombres constructibles au compas est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison et racine carrée.

 

 

Théorème de Videla (1997)

L'ensemble des nombres constructibles au compas avec la méthode conique est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison, racine carrée et racine cubique

 

 Voir Quadrature du cercle

 

 

 

CONSTRUCTION DES POLYGONES

 

*      Peut-on diviser un cercle en un nombre quelconque de parts avec une règle et un compas?

*      Si oui, on peut construire le polygone régulier inscrit dans ce cercle.

 

*      Par deux et ses multiples, il suffit de prendre un diamètre

et, prendre le compas à partir des deux points obtenus pour diviser par 2.

*      Par six, on porte le rayon sur la circonférence.

*      Par trois,  on divise par 6 et on prend un point sur deux.

*      Par 12, on trace les bissectrices au compas;

Même chose pour passer à 24 en doublant.

*      Par cinq, la construction est un peu plus compliquée, mais c'est faisable.

Voir construction de l'étoile à 5 branches.

*      On peut doubler pour dix.
On peut combiner 6 et 10 et obtenir 15 parts.

*      Etc.

 

Bilan

 

    On peut diviser en:

3 x 5

3 x      2n

3 x 5 x 2n

*      Plus grand n-gone régulier constructible à la règle et au compas pour n = 4 294 967 295. Le suivant pour n = 1 431 655 765.

*      Au total, seuls 31 polygones réguliers sont connus pour être constructibles.

 Voir constante Pi

 

 

TYPES DE CONSTRUCTIONS

 

Définition

 

Compas

Règle

non graduée

Marque

sur règle

Tiges de

longueur fixe

*       Grecque classique

 

 

 

 

*       Mascheroni

 

 

 

 

*       Steiner

 

 

 

 

*       Neusis

 

 

 

 

*       Dawson

 

 

 

 

 

 

Comparaisons entre les méthodes de construction

 

*       Grecque classique

*      Certaines constructions sont impossibles.

Théorème de Gauss (1796)

*       Mascheroni

*      Toutes les constructions classiques faisables sont faisables avec le compas seul.

Théorème de Mascheroni (1797), énoncé avant lui (1672) par George Mohr.

*       Poncelet
     Steiner

*      Toutes les constructions classiques faisables sont faisables avec la règle seule

à condition de disposer d'un cercle et son centre ou deux cercles qui se coupent sans leur centre ou trois cercles sans intersection.

Théorème de Poncelet-Steiner (1822 et 1833).

*       Neusis

*      Les constructions classiques impossibles le sont en ajoutant une marque sur la règle et en procédant par ajustements.

Voir trisection de l'angle et construction de l'heptagone .

*       Dawson

*      Une figure est constructible si et seulement si elle l'est avec des allumettes identiques mobiles sur une feuille de papier.

Théorème de Dawson

*       Théorie de Galois

*      Théorie de l'extension des corps qui permet de donner une traduction mathématique à "construire à la règle et au compas".

 

 

 Recensement des constructions géométriques

Nicolas Bion (1652-1733)  est un ingénieur et cosmographe français, constructeur d'instruments de mathématiques pour Louis XIV.

Il est l'auteur de: Traité de la construction et des principaux usages des instrumens (sans t) de mathématiques (1709).

Il y décrit notamment une méthode générale des polygones: la méthode Bion.

 

 

 

Suite

*       Bissection

Voir

*       Allumettes

*       Construction de racine de 2

*       Centre du cercle

*       Pentagone ou étoile à cinq branches

Autres

*       Cycloïde

*       GéométrieIndex

*       Heptagone

*       Illusions d'optique

*       Médiatrice

*       Neusis (construction-)

*       Pliages et découpages

*       Polyèdres

*       Polygones

*       Quadrature du cercle

*       Triangles

Document

*       Construction approchée de polygones réguliers – Jean-Louis Breuil

Sites

*       Constructions décoratives

*       Geogebra est un logiciel mathématique gratuit réalisant toutes ces constructions et bien plus …

*       Euclidea – The Largest Collection of Interactive Geometric Puzzles – Jeux avec énigmes consistant à trouver la construction géométrique d'une figure.   

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