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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 20/02/2011

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Général

RUBRIQUE PAVAGE

Glossaire Topologie

CARRÉS PARFAITS

"QUADRATURE du CARRÉ"

Présentation de cette page		Sommaire de cette page
Est-il possible de remplir un carré avec des carrés tous de taille différente?		>>> APPROCHE >>> Les TYPES de QUADRATURE >>> CARRE PARFAIT >>> CARRE COMPOSÉ >>> RECTANGLE >>> PRESQUE CARRÉ PARFAIT >>> HISTORIQUE

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Approche

-Ý-

Carré parfait § Prendre un carré et le décomposer en carrés ü Sans problème si les carrés sont identiques § Plus difficile si on impose que tous les carrés soient différents ü C'est : la quadrature du carré la recherche du carré parfait Ordre du carré § Une quadrature est caractérisée par la taille du carré initial ainsi disséqué et aussi, et principalement, par le nombre de carrés élémentaires nécessaires ü C'est l'ordre du carré Utile ou futile ? § Les carrés parfaits sont utilisés dans la théorie de Kirchhoff sur la distribution des intensités électriques dans un réseau. § Réciproquement, les lois sur les réseaux de connexion électriques ont beaucoup servi à résoudre la quadrature du carré

Les types de quadratures

-Ý-

Carrés et rectangles

§ On peut s'intéresser aux rectangles comme aux carrés

ü Il faut que tous les carrés élémentaires soient différents

§ On peut ajouter une contrainte:

ü qu'il n'y ait pas formation de rectangles internes;
autrement dit: aucun groupe de carrés ne forme un rectangle

Cas de quadrature

Figure à disséquer	RECTANGLE		CARRÉ
Éléments de pavage	CARRÉS tous différents
Contrainte		Longueur = Largeur + 1		Pas de rectangle interne
Nom	Quadrature du rectangle		Quadrature du carré composé	Quadrature du carré simple
Autre nom	Rectangle carrelé	Carré presque -parfait	Carré composé	Carré parfait

Il existe aussi le cas d'un rectangle découpé en rectangles différents.

Voir Rectangles incomparables

Records (la plus petite figure connue)

Nom	Rectangle carrelé	Carré presque -parfait	Carré composé	Carré parfait
Ordre	9	9	24	21
Quantité	2	1	1	1

Quantité de carrés parfaits

Ordre	Composé	Simple
21	0	1
22	0	?
23	0	?
24	1	8
25	2	28
26	13	…
27	…

CARRÉ PARFAIT 112 x 112 – Ordre 21

-Ý-

112² =>

§ Carré formé par la somme de 21 carrés différents ü Plus petit carré divisible en carrés plus petits et tous différents. ü Et sans formation de rectangles internes

Illustration

Recensement des carrés

La figure comprend 21 carrés dont voici les longueurs des côtés
2	4	6	7	8	9
11	15	16	17	18	19
24	25	27	29
33	35	37
42
50

CARRÉ COMPOSÉ 175 x 175 – Ordre 24

-Ý-

175² =>

§ Carré formé par la somme de 24 carrés différents ü Plus petit carré divisible en carrés plus petits et tous différents. ü Avec formation d'un rectangle interne

La figure comprend 24 carrés dont voici les longueurs des côtés
1	2	3	4	5	8	9
14	16	18
20	29
30	31	33	35	38	39
43	51	55	56
64	81

RECTANGLE 32 x 33 – Ordre 9

-Ý-

32 x 33 =>

§ Rectangle formé par la somme de 9 carrés différents ü Plus petit rectangle divisible en carrés plus petits et tous différents. ü Sans formation d'un rectangle interne § C'est le plus petit rectangle carrelé ü Il est aussi presque-parfait (Long = larg + 1)

Rectangle 47 x 65 - Ordre 10

47 x 65 =>

§ Rectangle formé par la somme de 10 carrés différents

Quantité de rectangles carrelés

Ordre	Composé
9	2
10	6
11	22
12	67
13	213
14	744
15	2 609
16	9 016
17	31 427
18	110 384

PRESQUE CARRÉS PARFAITS	-Ý-
Rectangle 32 x 33 - Ordre 9 Pavage d'un presque carré de 176 x 177 par 9 carrés Voir ci-dessus Rectangle 176 x 177 - Ordre 11 Pavage d'un presque carré de 176 x 177 par 11 carrés

HISTORIQUE

-Ý-

Année	Événements	Rectangle	Carré composé	Carré parfait
1900	§ Sam Lloyd - Réalise quelques quadratures mais sans la contrainte que tous les carrés soient inégaux
1925	§ Rectangles- Deux solutions sont publiées: 32 x 33 ordre 9 et 47 x 65 ordre 10	£ 9
1930	§ Lusin (Moscou) conjecture que la quadrature du carré est impossible			Impossible
1938	§ Université de Cambridge - trouve une quadrature du carré d'ordre 69			£ 69
1939	§ Allemagne - une autre d'ordre 55			£ 55
	§ Le plus petit rectangle carrelé est d'ordre 9 et il en existe que 2	Min 9 Qté 2
	§ Le plus petit carré parfait est d'ordre supérieur à 9			³ 10
1940	§ On connaît tous les rectangles carrelés jusqu'à l'ordre 13	® 13
1948	§ Willcocks (Bristol GB), mathématicien amateur, trouve un carré composé d'ordre 24		£ 24
1960	§ Hollande avec les ordinateurs	® 15
1962	§ On continue les recherches; on est aux limites des puissances de calcul de l'époque	® 19
1963	§ Nouvelle méthode dite des carrés pseudo-carrelés: 20 nouveaux carrés § On sait désormais fabriquer des carrés parfaits d'ordre élevé § Il en existe plus de 2 000 jusqu'à l'ordre 33		25 à 29
1967	§ Wilson (Ontario É.-U.) utilise une méthode générale de recherche des carrés parfaits: il en trouve 5 d'ordre 25 et 24 d'ordre 26		25, 26
	§ État des recherches	® 19	24 qté 1 25 qté 2 26 qté 13	< 25 ? 25 qté 8 26 qté 28
1978	§ Duijvestijn (Ensched NL) utilise un programme très élaboré et explore tous les rectangle d'ordre 21 § Parmi eux: un carré !	® 21		Min 21
1982	§ Il n'existe qu'un carré composé; c'est celui déjà trouvé d'ordre 24		Min 24

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Voir	Découpe du carre en 5 Pavage avec polygones Quadrature du cercle Pentominos
Aussi	Carrés magiques Conjecture de Poincaré Dissections Géométrie Hilbert Jeux Pavage de l'échiquier Pavage mystérieux du triangle Rectangles incomparables
Livres	Malcolm E. Lines Ian Stewart Martin Gardner dans Scientific American Book of mathematical Puzzles and Diversions
Sites	Maths forum - squaring the square Chonomaths - quadrature en général To construct a square equal to a given rectilinear figure