NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Le coffre de Dudeney

>>> Les types de quadrature

>>> Carre parfait

>>> Carre composé

>>> Rectangle

>>> Presque carré parfait

>>> Pavage du rectangle par des rectangles incomparables

>>> Pavage du CARRÉ avec sept rectangles

>>> Historique

 

 

 

 

 

 

CARRÉS PARFAITS

"QUADRATURE du CARRÉ"

Est-il possible de remplir un carré avec des carrés tous de taille différente?

 

Anglais: Tilling rectangle with rectangles

 

Devinette

Nous souhaitons recouvrir le sol d'une pièce carrée de 4 x 4 avec de la moquette tout en respectant les carreaux. Nous disposons de cette pièce trouée

Est-ce possible? Si oui, comment minimiser la découpe.

Solution

 

 

 

Approche

 

Carré parfait

 

Prendre un carré et le décomposer en carrés;
Sans problème si les carrés sont identiques.

 

Plus difficile si on impose que tous les carrés soient différents.
C'est :  la quadrature du carré ou la recherche du carré parfait.

 

Ordre du carré

 

Une quadrature est caractérisée par la taille du carré initial ainsi disséqué
et aussi, et principalement, par le nombre de carrés élémentaires nécessaires.
C'est l'ordre du carré.

 

Utile ou futile ?

 

Les carrés parfaits sont utilisés dans la théorie de Kirchhoff sur la distribution des intensités électriques dans un réseau.

Réciproquement, les lois sur les réseaux de connexion électriques ont beaucoup servi à résoudre la quadrature du carré.

 

 

 

 

Le coffre de Dudeney – Carré presque parfait

 

Lady Isabel possède une coffre. Son couvercle est marqueté avec une bande dorée de 10 cm x ¼ cm et des carrés de tailles différentes telles que l'ensemble forme un grand carré. Trouvez les dimensions du couvercle.

 

Find the dimension of the top of the box from these facts alone: that there was a rectangular strip of gold, ten inches by ¼ inch; and the rest of the surface was exactly inlaid with pieces of wood, each piece being a perfect square, and no two pieces of the same size.

The Canterbury Puzzles – Dudeney - 1910

 

 

Solution telle que donnée par Dudeney

 

Sans en donner l'explication, Dudeney affirme que cette solution est unique. La taille finale dépend de celle de la bande dorée. Le carré n'est que presque-parfait du fait de la présence de la bande.

 

 

 

Les types de quadratures

 

Carrés et rectangles

 

On peut s'intéresser aux rectangles comme aux carrés.
Il faut que tous les carrés élémentaires soient différents.

On peut ajouter une contrainte:
qu'il n'y ait pas formation de rectangles internes;
autrement dit: aucun groupe de carrés ne forme un rectangle.

 

Cas de quadrature

 

 

Il existe aussi le cas d'un rectangle découpé en rectangles différents.

Voir Rectangles incomparables

 

Records (la plus petite figure connue)

 

Nom

Rectangle

carrelé

Carré

presque

-parfait

Carré

composé

Carré

parfait

Ordre

9

9

24

21

Quantité

2

1

1

1

 

Quantité de carrés parfaits

 

Ordre

Composé

Simple

21

0

1

22

0

?

23

0

?

24

1

8

25

2

28

26

13

27

 

 

 

 

 

 

CARRÉ PARFAIT 112 x 112 – Ordre 21

 

Carré formé par la somme de 21 carrés différents (aire  = 112²).
Plus petit carré divisible en carrés plus petits et tous différents.
Et sans formation de rectangles internes.

 

Illustration

Recensement des carrés

La figure comprend 21 carrés

dont voici les longueurs des côtés

2

4

6

7

8

9

11

15

16

17

18

19

24

25

27

29

 

 

33

35

37

 

 

 

42

 

 

 

 

 

50

 

 

 

 

 

 

Somme des aires

 

  

 

 

 

CARRÉ COMPOSÉ  175 x 175 – Ordre 24

 

Carré formé par la somme de 24 carrés différents (aire =175²).
Plus petit carré divisible en carrés plus petits et tous différents.
Avec formation d'un rectangle interne

 

La figure comprend 24 carrés dont voici les longueurs des côtés

1

2

3

4

5

8

9

14

16

18

 

 

 

 

20

29

 

 

 

 

 

30

31

33

35

38

39

 

43

51

55

56

 

 

 

64

81

 

 

 

 

 

  

 

 

 

RECTANGLE  32 x 33 – Ordre 9

 

32 x 33 =>

Rectangle formé par la somme de 9 carrés différents.
Plus petit rectangle divisible en carrés plus petits et tous différents.
Sans formation d'un rectangle interne.
C'est le plus petit rectangle carrelé.
Il est aussi presque-parfait (Long = larg + 1)

 

 

 

 

 

Rectangle 47 x 65 - Ordre 10

 

47 x 65 =>

Rectangle formé par la somme de 10 carrés différents.

 

 

Quantité de rectangles carrelés

 

Ordre

Composé

9

2

10

6

11

22

12

67

13

213

14

744

15

2 609

16

9 016

17

31 427

18

110 384

 

 

 

 

PRESQUE CARRÉS PARFAITS

 

 

Rectangle 32 x 33 – Ordre 9


Pavage d'un presque carré de 176 x 177 par 9 carrés.      Voir ci-dessus

 

Rectangle 176 x 177 – Ordre 11

 

Pavage d'un presque carré de 176 x 177 par 11 carrés

 

 

 

 

 

 

 

Pavage du rectangle

par des rectangles incomparables

 

 

Division du rectangle en rectangles plus petits, aucun ne pouvant rentrer à l'intérieur d'un autre. Ces rectangles formant le pavage sont dits incomparables. Les rectangles, éventuellement carrés, sont disposés droits dans le rectangles initial; les côtés sont parallèles.

Le plus petit réalisable est un rectangle de 22 x 13 dont la figure montre le pavage. Notez qu'il faut sept pièces et qu'un carré 7 x 7 s'est glissé vers le centre.

 

 

Sans la contrainte d'être incomparables, il faut un minimum de sept rectangles de même aire mais de forme différente pour paver un rectangle ou un carré.

 

 

 

Pavage du CARRÉ avec sept rectangles

 

Diviser un carré en 2, engendre deux moitiés identiques.

Une découpe en 3, 4, 5 ou 6 engendrera nécessairement deux pièces identiques.

Avec un partage en sept, alors tous les rectangles peuvent être différents.

 

 

Dimensions exactes

*       

 

 

 

 

 

 

HISTORIQUE

Année

Événements

Rectangle

Carré composé

Carré parfait

1900

*    Sam Lloyd – Réalise quelques quadratures mais sans la contrainte que tous les carrés soient inégaux.

 

 

 

1902

*    Dudeney propose le puzzle du coffre de Lady Isabel pour la première fois  dans un magazine et repris dans le livre cité en 1910.

 

 

 

1925

*    Rectangles – Deux solutions sont publiées: 32 x 33, ordre 9 et 47 x 65, ordre 10.

*    Le rectangle 32 x 33  a été trouvé en 1925 par Moron. Reichert et Toepkin ont prouvé en 1940 qu'il s'agissait du plus petit rectangle divisé en carrés différents.

£ 9

 

 

1930

*    Lusin (Moscou) conjecture que la quadrature du carré est impossible.

 

 

Impossible

1937

*    Vers 1937, C.A.B. Smith utilise un graphe électrique pour chercher les solutions.

 

 

1938

*    Université de Cambridge – Trouve une quadrature du carré d'ordre 69.

 

 

£ 69

1939

*    Allemagne – Une autre d'ordre 55.

 

 

£ 55

 

*    Le plus petit rectangle carrelé est d'ordre 9 et il en existe que 2.

Min 9

Qté 2

 

 

 

*    Le plus petit carré parfait est d'ordre supérieur à 9.

 

 

³ 10

1940

*    On connaît tous les rectangles carrelés jusqu'à l'ordre 13.

® 13

 

 

1948

*    Willcocks (Bristol GB), mathématicien amateur, trouve un carré composé d'ordre 24.

 

£ 24

 

1960

*    Hollande avec les ordinateurs.

® 15

 

 

1962

*    On continue les recherches; on est aux limites des puissances de calcul de l'époque.

® 19

 

 

1963

*    Nouvelle méthode dite des carrés pseudo-carrelés: 20 nouveaux carrés.

*    On sait désormais fabriquer des carrés parfaits d'ordre élevé.

*    Il en existe plus de 2 000 jusqu'à l'ordre 33.

 

25 à 29

 

1967

*    Wilson (Ontario É.-U.) utilise une méthode générale de recherche des carrés parfaits: il en trouve 5 d'ordre 25 et 24 d'ordre 26..

 

25, 26

 

 

*    État des recherches.

® 19

24 qté 1

25 qté 2

26 qté 13

< 25 ?

25 qté 8

26 qté 28

1978

*    Duijvestijn (Ensched NL) utilise un programme très élaboré et explore tous les rectangles d'ordre 21.

*    Parmi eux: un carré !

® 21

 

Min 21

1982

*    Il n'existe qu'un carré composé; c'est celui déjà trouvé d'ordre 24.

 

Min 24

 

 

 

Devinette – Solution

C'est faisable car la moquette comporte les 16 carrés nécessaire pour former un carré de 4 x 4. Les carreaux élémentaires ne seront pas partagés. La découpe ne nécessite que deux coups de cutter selon les lignes marquées en rouge.

Retour

 

 

 

 

 

 

Voir

*       Découpe du carre en 5

*       Pavage avec polygones

*       Quadrature du cercle

*       Pentominos

Aussi

*       Carrés magiques

*       Conjecture de Poincaré

*    Dissection du carré en décagone

*    Dissection du carré en triangles

*       Géométrie

*       Hilbert

*       Jeux

*       Pavage de l'échiquier

*       Pavage mystérieux du triangle

*       Rectangles incomparables

*       Tangram

Livres

*       Malcolm E. Lines

*       Ian Stewart

*       Martin Gardner dans Scientific American Book
of mathematical Puzzles and Diversions

Sites

*       Tiling the square – Énorme! Exhaustif!

*       Maths forum - squaring the square

*       Chonomaths - quadrature en général

*       To construct a square equal to a given rectilinear figure

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