NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ARRANGEMENTS

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Combinatoire

Général

 Exemples

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Programme

>>> Arrangements

>>> Bilan

>>> Table

 

 

 

 

ARRANGEMENTS - Exemples

 

Comment produire toutes les permutations avec un logiciel et en déduire les permutations de p parmi n.

 

Approche

 

*    Nous souhaitons lister toutes les permutations des nombres 1, 2, 3, 4, 5 représentant cinq objets à permuter.

*    Nous avons que la quantité de permutations est égale à 5! = 120.

*    Remarquons, pour bien faire la différence, que nous souhaitons des permutations: les cinq nombres sont différents (2, 1, 4, 3, 5 par exemple).

*    Si nous avions autorisé les répétions de chiffres (comme 1, 1, 2, 2, 5)  nous aurions: 55 = 3 125 lignes dans la p-liste.

*    Comment reconnaître les cas de répétition des nombres.

*      Un critère nécessaire est que la somme des termes de la liste soit égale à: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

*      Ce n'est pas suffisant du fait que 1 + 2 + 2 + 5 + 5 = 15 ou 1 + 1 + 3 + 5 + 5 = 15. Il faut éliminer ces cas. Un moyen consiste à exiger que la liste comporte au mois un 1 et un 2 et un trois.
 

 

 

Programme

 

*    Voici le programme commenté et le résultat de son éxecution:


 

 

Arrangements

 

*    La quantité de permutations est bien 120 comme le montre la valeur du compteur.

*    La liste permet d'identifier, que les arrangements de trois parmi 5, par exemple, sont systématiquement présents deux fois dans la liste: comme 12345 et 12354. Leur quantité est égale à 120 / 2 = 60.

*    Ce que nous confirmons par le calcul:


 

 

Bilan

Avec cinq nombres (ou cinq objets), il existe:

 

*    3 125 listes de tous les nombres, y compris répétitions

(ex: 11225);

*       120 permutations de ces cinq nombres

(ex: 12345 et 12354);

*         60 arrangements de trois de ces nombres parmi les cinq

 (ex: 12345 ou 12354).

*         10 combinaisons de trois de ces nombres parmi les cinq

(ex: 12345, 12435)

 

 

Table des 120 permutations

 

*    La quantité de permutations commençant par 1 est égale à

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

*    La quantité de permutations commençant par 12 est égale à

3! = 3 x 2 x 1 = 6

   

 

 

 

 

Suite

*         Arrangements

*         Willow – Énigme

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*         Factorielles

*         ProgrammationIndex

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