NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 10/04/2012

-Ý- Rubrique: COMPTER - Combinatoire Factorielles
Introduction	Généralisées		Sous-factorielle
Stirling	Tronquées		Primorielle
Wilson	Somme		Arr./Permut./Combin.
Valeur de 1 à 50	Pairs et impairs
Sommaire de cette page >>> Factorielle >>> Valeurs >>> Propriétés >>> Produit de factorielles >>> Sommes et différences de factorielles >>> Division de sommes de factorielles >>> Factorielle Impaire >>> Multifactiorielle >>> Hyperfactorielle >>> Factorielle plus un >>> Factorielles géantes		Pages voisines Débutant et dénombrement Programmer factorielle "Factorielle" première Factorielles et somme des entiers Compter n! + 1 = a² Loto Nombre 61 Nombre 145 Nombre 222 Théorie des nombres

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FACTORIELLES

La suite des nombres consécutifs présente de l'intérêt:

soit en sommes: les nombres triangulaires

soit en produits : les factorielles

1 = 1! 1 x 2 = 2! 1 x 2 x 3 = 3!	3!	=	3
	2!

Vocabulaire Une factorielle: Nom féminin Factorielle n Anglais: Factorial

Extraordinaire 40 585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5! Trouvé en 1964

Pour se familiariser, voir Débutant - factorielle / Nombre 40 585

-Ý- FACTORIELLE

Introduction

§ Nombre de façons pour placer 3 personnes sur un banc

Illustration

Banc et table ronde

Banc	Table ronde
§ C'est le nombre de permutations: 3! = 1 x 2 x 3 = 6 (Figure gauche)	§ Autour d'une table ronde, le nombre serait: (n-1)! soit ici 2!= 2 (Figure droite)

Ne pas confondre

§ Il serait différent de trouver le nombre de cas possibles, avec trois personnes qui peuvent être :

ü soit gaies (G)

ü soit tristes (T)

G	G	G	ou	1	1	1
G	G	T		1	1	0
G	T	G		1	0	1
G	T	T		1	0	0
T	G	G		0	1	1
T	G	T		0	1	0
T	T	G		0	0	1
T	T	T		0	0	0

§ C'est le dénombrement utilisé en informatique:

Oui	Non
Vrai	Faux
Actif	Passif
1	0

-Ý- VALEURS

Valeurs des factorielles

1	=	0!
1	=	1!
2	=	2!
6	=	3!
24	=	4!
120	=	5!
720	=	6!
5 040	=	7!
40 320	=	8!
362 880	=	9!
3 628 800	=	10!
39 916 800	=	11!
479 001 600	=	12!
6 227 020 800	=	13!
87 178 291 200	=	14!
1 307 674 368 000	=	15!
20 922 789 888 000	=	16!
355 687 428 096 000	=	17!
6 402 373 705 728 000	=	18!
121 645 100 408 832 000	=	19!
2 432 902 008 176 640 000	=	20!

20 ! = 70 ! = 100 ! = 1000 ! = 10 000 ! = 100 000 ! = 1 000 000 ! =

10 ^18 environ 10 ^100 " 10 ^158 " 10 ^2 568 " 10 ^35 659 " 10 ^456 573 " 10 ^5 565 709 "

Voir 145 / Factorielles divisées / Grands nombres à trois chiffres

Factorielle de factorielle

n	n !	(n !) !
1	1	1
2	2	2
3	6	700
4	24	6 10^23
5	120	7 10^198
6	720	3 10^1 746
7	5 120	5 10^16 473

Historique

§ Avant les ordinateurs,

on n'avait calculé les factorielles que jusqu'à 300!

§ Et quelques rares autres au-delà.

Exemples d'utilisation

3 lettres A B C	ABC ACB BAC BCA CAB CBA	6 permutations = 3!
4 chiffres	1234 1243 1324 1342 2134 2143 etc.	24 nombres = 4!
12 personnes à table, midi et soir	Pour occuper toutes les places	39 916 800 repas = 11! => 546 siècles
15 chevaux	au PMU	1 307 674 368 000 = 15!
52 cartes	nombres de tas différents	52! = 80 658 1.... (68 chiffres)

-Ý- PROPRIÉTÉS

Valeur de 0!

§ Par convention, et pour que les formules avec les factorielles soient toujours valables, on donne

0! = 1! = 1

§ Rappelons-nous la propriété générale des factorielles

n! = n (n-1)!

§ Pour n = 1, cela reste valable:

1! = 1 x 0!

Divisibles par 5, 9, 11 ...

Chaque factorielle est évidemment divisible par les facteurs qui la composent.

A partir de 6!

Il comporte le produit 3 x 6, il est donc divisible par 9.

On peut à partir de ce nombre exclure tous les nombres qui ne satisfont pas la preuve par neuf.

Et même, restituer un chiffre manquant (x).

Exemple:

16! = 20 922 789 8x8 000

Preuve par 9

x = 8

A partir de 11!

Ils sont divisibles par 11, soit:

la somme des chiffres de rang pair

doit être égale à la somme des chiffres de rang impair modulo 11.

Exemple:

17! = 355 687 428 x 96 000.

Preuve par 9

x = 0 ou 9

Preuve par 11

x= 0

A partir de 5!

A partir de factorielle	5	10	15	20
Ils sont terminé par	0	00	000	0000	Etc.

(n + 1)! = (n + 1) n!

(n + 1)! = (n + 1) n (n – 1)! = (n² + n) (n – 1)!

Quantité de zéros

La quantité de zéro en fin de factorielle résulte d'un facteur 10 ou d'un produit de 2 par 5. Ainsi 5! = 120 ou 10! = 3628800. Suite en valeurs des factorielles.

Somme des chiffres

Il n'est pas rare de voir deux ou trois factorielles de suite dont la somme des chiffres est la même. Exemple avec la somme 9:

Rencontre inattendue

La différence nième entre puissance nième des nombres successifs est égale à factorielle n.

Suite >>>

-Ý- PRODUIT de FACTORIELLES

Produit de 2 factorielles

Cas général des nombres eux-mêmes des factorielles

Prenons 6 qui est une factorielle 6 = 3! Sa factorielle 6! = 6 x 5 x 4 … = 6 x 5! Ou encore 6! = 3! x 5! Cette remarque s'applique à toutes les factorielles
6 !	= 6 x 5 !	= 3 ! x 5 !
24 !	= 24 x 23 !	= 4 ! x 23 !
120 !	= 120 x 119 !	= 5 ! x 119 !
720 !	= 720 x 719 !	= 6 ! x 719 !

Etc.

Cas particulier

10 !	= 6 ! x 7 !	=	3 628 800	=	720	x	5 040
	= 3 ! x 5 ! x 7 !
Seul cas de factorielle, produit de deux factorielles consécutives

Produit de 3 factorielles

4 !	= 3 ! x 2 ! x 2!	=	24 = 6 x 2 x 2
6 !	= 5 ! x 3 ! x 1!	=	720 = 120 x 6 x 1
10 !	= 7 ! x 5 ! x 3 !	=	3 628 800 = 5 040 x 120 x 6
10 !	= 7 ! x 5 ! x 1 !	=	3 628 800 = 5 040 x 720 x 1
12 !	= 11 ! x 3 ! x 2 !	=	479 001 600 = 39 916 800 x 6 x 2
16 !	= 14 ! x 5 ! x 2 !
24 !	= 23 ! x 4 ! x 1 !
36 !	= 35 ! x 3 ! x 3 !
48 !	= 47 ! x 4 ! x 2 !
120 !	= 119 ! x 5 ! x 1 !

Etc.

Produit de 4 factorielles

Hors termes en 1! qui sont les cas indiqués ci-dessus

8 !	= 7! x 2! x 2! x 2!	=	40 320 = 5 040 x 2 x 2 x 2
9 !	= 7! x 3! x 3! x 2!	=	362 880 = 40 320 x 6 x 6 x 2
24 !	= 23! x 3! x 2! x 2!
72 !	= 71! x 3! x 3! x 2!
96 !	= 95! x 4! x 3! x 2!

Etc.

Toutes les valeurs jusqu'à 120!

Sommes et différences de factorielles proches
(n + 1)! + n! = (n + 1) n! + n! = (n + 2) n!	2 + 1 = 3 = 3 x 1 6 + 2 = 8 = 4 x 2 24 + 6 = 30 = 5 x 6 120 + 24 = 144 = 6 x 24 720 + 120 = 840 = 7 x 120
(n + 2)! + n! = (n + 2) (n + 1) n! + n! = (n² + 3n + 3) n!	6 + 1 = 7 = 7 x 1 24 + 2 = 26 = 13 x 2 120 + 6 = 126 = 21 x 6 720 + 24 = 744 = 31 x 24 5 040 + 120 = 5 160 = 43 x 120
(n + 1)! – n! = (n + 1) n! – n! = n. n!	2 – 1 = 1 6 – 2 = 4 = 2 x 2 24 – 6 = 18 = 3 x 6 120 – 24 = 96 = 4 x 24 720 – 120 = 600 = 5 x 120
(n + 2)! – n! = (n + 2) (n + 1) n! – n! = (n² + 3n + 1) n!	6 - 1 = 5 = 5 x 1 24 – 2 = 22 = 11 x 2 120 – 6 = 114 = 19 x 6 720 – 24 = 696 = 29 x 24 5 040 – 120 = 4 920 = 41 x 120
Somme ou différence entre deux factorielles	(n + k)! + n! = (A + 1) . n! (n + k)! – n! = (A – 1) . n! avec

Division de sommes de factorielles
Somme de deux factorielles divisée par l'une d'elle. Soit un nombre entier égal à un produit de nombres consécutifs plus un. Si k = 1 Si k = 2 Tableau des premières valeurs Notez la présence de 13 et de son retourné 61. Liste des valeurs successives Divisions à noter

Voir Jeux des quatre 4 / Factorielle divisée

Factorielle double ou factorielle impaire
Le produit des nombres impairs successifs est appelé (bizarrement) factorielle double (notée !!) – Double factorial.

-Ý- MULTI-FACTORIELLE

MULTI-FACTORIELLE
n ! = (n)(n-1)(n-2)…(1)	7! = 5040
n!! = (n)(n-2)(n-4)…(1 ou 2)	7!! = 105
n!!! = (n)(n-3)(n-6)…(1,2 ou 3) le dernier chiffre de la parenthèse est 1,2 ou 3 selon la valeur de n	7!!! = 28 7!!!! = 21 7!!!!! = 14

MULTI - "FACTORIELLE"

PREMIÈRE

Ils sont de la forme :

M = n !...! ± 1

-Ý- HYPERFACTORIELLE

§ Produit des puissances successives des nombres consécutifs

Ø Exemple: 0⁰ x 1¹ x 2² x 3³ = 1 x 1 x 4 x 27 = 108

Valeur pour 1 à 10

n	n^n	Hyperfactorielle (n)
1	1	1
2	4	4
3	27	108
4	256	27 648
5	3 125	86 400 000	= 0,8 10 ^8
6	46 656	4 031 078 400 000	= 0,4 10 ^13
7	823 543	3 319 766 398 771 200 000	= 0,3 10 ^19
8	16 777 216	55 696 437 941 726 556 979 200 000	= 0,5 10 ^26
9	387 420 489	21 577 941 222 941 856 209 168 026 828 800 000	= 0,2 10 ^35
10	10 000 000 000	21 577 941 222 9418 562 091 680 268 288 000 000 000 000 000	= 0,2 10 ^45

FACTORIELLE 1
Premiers 3! – 1 = 5 4! – 1 = 23 6! – 1 = 719 7! – 1 = 5 039	1 ! + 1 = 2 2 ! + 1 = 3 3 ! + 1 = 7 11 ! + 1 = 39 916 801
Carrés 1! – 1 = 0² 2! – 1 = 1² Exploration 1! – 2 = i² 2! – 2 = 0² 3! – 2 = 2² 2! – 3 = i²	4! + 1 = 5² = 25 5! + 1 = 11² = 121 7! + 1 = 71² = 5 041 2! + 2 = 2² 1! + 3 = 2² 3! + 3 = 3²

Suite en Premiers factoriels

Factorielles géantes ...

Produit-factorielle (nom ?) n$ = produit des factorielles de 1 à n 2$ = 1! x 2! = 1 x 2 = 2 3$ = 1! x 2! x 3! = 2 x 3! = 2 x 6 = 12 4$ = 1! x 2! x 3! x 4! = 12 x 24 = 288 5$ = 1! x 2! x 3! x 4! x 5! = 288 x 120 = 34 560 Notion introduite par Sloane and Plouffe Superfactorielles Superfactorielle de n = n^! = factorielle de n à la puissance n! et cela n! fois 2^! = 2^2^2 = 2^4 = 16 3^! = 6^6^6^6^6^6^6 = 6^6^6^6^6^46656 = 6^6^6^6^2659… avec le dernier exposant égal à 0,26 10^36306; 6 puissance ce nombre dépasse la capacité de calcul des logiciels spécialisés n^! 2 = superfactorielle n à la puissance superfactorielle de n et cela superfactorielle n fois. Nombre au-delà de l'imagination! L'indice 2 peut passer à 3, 4 … Voici ce qu'en dit un l'auteur de cette notation(Sanchez): Three standard arithmetic symbols, 9^! 9, is all we need to define a finite number so large that the standard writing of its precise sequence of digits would surely require a volume of paper much more greater than the volume of the visible universe. (Pour écrire ce nombre, le volume de papier dépasserait largement la taille de l'Univers). Notion introduite par C.A.Pickover et Antonio L. Sánchez

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Voir	Compter Débutant et dénombrement Factorielle: nième différence d'une puissance n Factorielles divisées Factorielles et grands nombres Factorielles et leurs diviseurs Factorielles impaires Formule de Stirling Programmer la fonction factorielle Théorème de Wilson