NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Propriétés

Bhargava

Jamais carré

Super-factorielles

Primorielle

Sous-factorielle

Comporielle

Sommaire de cette page

 

>>> Index

 

>>> Factorielle

>>> Valeurs

>>> Propriétés

>>> Identité

>>> Quantité de facteurs dans les factorielles

>>> Programmation

>>> Nombres de Jordan-Polya

 

 

 

 

FACTORIELLES

Index et introduction

 

La somme des entiers consécutifs conduit aux nombres triangulaires; leur produit aux factorielles.

 

Factorielle n, avec n un entier naturel, est notée n! (1808 – Christian Kramp). Sa valeur est le produit de tous les entiers de 1 à n.

 

n! = 1 x 2 x 3 x … x n

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

 

Extraordinaire:  

40 585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!  

Trouvé en 1964

 

À partir de 2!, tous les nombres factoriels sont pairs.
Et, évidemment n! + 1 est impair, tout comme (n – 1)! + 1 pour n > 2.

 

La quantité  de permutations de n objets est égale  à factorielle n.

 

Il existe de nombreuses variantes impliquant le produit des nombres successifs d'une suite: factorielle de premiers, de Fibonacci

 

Relation fondamentale: 10! = 10 x 9! => n! = n (n – 1)! ou (n + 1)! = n + 1) n!

 

 

Vocabulaire

Une factorielle (nom féminin): nombre notée n!

Un nombre premier factoriel, une valeur factorielle (adjectif).

Anglais: factorial;  Espagnol: factorial; Italien: fattoriale; Allemand: Facultät.

 

 

 

INDEX

Factorielles

& ses formes variées

 

 

*    CombinatoireGlossaire

*    Nombres consécutifsIndex

*    Quart de finale et factorielles impaires

Variantes

 

*    Comparaison entre variantes de factorielles.

*    Factorielles   1 = k² : problème de Brocard.

*    Nombres primoriels

Factorielles premières

Les factorielles en question sont en fait les factorielles  1.

 

Forme

Relations

 

Notations

 

 

Note: pour avoir le symbole dièse: Alt étant enfoncé, tapez 9839 et lâchez; pour bémol, idem avec 9836

Valeurs

Calculs

 

 

 

*    Curiosités en sommes et produits de factorielles

*    Nombre        61

*    Nombre      145

*    Nombre      222

*    Nombre 40 585

*    Nombre          2, 718 = e et les factorielles

*    Factorielles   de 70, 100, 1000 (calculs)

*    Nombres pairs bien placés dans une liste

*    Nombre = somme ou produit des factorielles de ses chiffres

Identités

Propriétés

 

 

*    Factorielles + 1

*    Factorielle – 1 = 1x1! + 2x2! +3x3! +…

*    Factorielle: nième différence d'une puissance n

*    Factorielles divisées

*    Factorielles et grands nombres

*    Factorielles et leurs diviseurs

*    Problème de Brocard (n! + 1 = k²)

*    Factorielles et théorème fondamental de l'arithmétique

*      Identités et factorielles doubles

*      Divisibilité de (p .q)!

 

Applications

 

 

*    Quantité de permutations des nombres

 

 

 

Devinette

Quel est le dernier chiffre du produit suivant:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 … x 257

Solution

 

 

 

 

 

FACTORIELLE – Approche

 

*    Quelle est la quantité de façons de placer trois personnes sur un banc?

*      Je place d'abord l'un des personnages: Lucky Luck ou Tintin ou Donald. Soit trois possibilités.

*      Maintenant que j'ai choisi l'un d'eux, je choisis le suivant parmi les deux qui restent. Soit deux possibilités.

*      Ultime étape, je place le dernier. Étant tout seul, il ne reste plus qu'une seule possibilité.

*      Bilan, il ya 3 x 2 x 1 possibilités.

 

*    Ce produit des nombres successifs jusqu'à 3 est appelé factorielle 3 et noté: 3!


 

 

Quantité de permutations sur un banc: n!

 

 

*    Quelle est la quantité de façons de placer trois personnes autour d'une table ronde?

*      Beaucoup moins  que sur un banc.

*      Une fois le premier personnage positionné, il reste deux possibilités pour les deux autres.

*      À la différence du banc, le premier personnage peut se mettre dans l'une des trois positions sans que cela change le voisinage de chacun.

*      Bilan, il n'y a que deux possibilités. Ce sont les 3 x 2 x 1 possibilités du banc, divisés par les 3 positions indifférentes du premier personnage. Soit 3 x 2 x 1 / 3 = 2 x 1possibilités

 

Quantité de permutations autour d'une table ronde: (n – 1)!

 

 

 

*    Ne pas confondre  attention.png
Il serait différent de trouver le nombre de cas possibles, avec trois personnes qui peuvent être : soit gaies (G), soit tristes (T).

*      C'est le dénombrement de trois objets pouvant prendre deux états.

*      Deux possibilités pour le premier

*      Deux pour le deuxième, et

*      Deux pour le troisième.

*      Bilan: 2 x 2 x 2 = 23 = 8 possibilités.

Voir Dénombrement – vue générale / Problème des places assises autour d'une table

 

Illustration avec choix de quatre fruits

 

Voir Brève de maths - Factorielles

 

  

VALEURS

 

*    Avant les ordinateurs, les factorielles étaient connues jusqu'à 300!, plus quelques autres rares cas.

Exemples de valeurs

*    Avec les trois lettres A, B et C,      il y a 3! =   6 permutations possibles

*    Avec les trois lettres A, B, C et D, il y a 4! = 24 permutations possibles

*    Avec 12 personnes à table midi et soir, la permutation de tous les convives autour de la table prendra 546 siècles pour 11! = 39 916 800 repas.

*    Avec 52 cartes, la quantité de permutations s'élèvent au nombre énorme de 52 ! = 80 658 … un nombre de 68 chiffres.

 

Valeurs de transition en puissances 10


 

*    Limite de calcul de la calculette Windows: 3 248!

Merci à Denis Bertin pour cette remarque

 

*    Factorielles décimales: généralisation des factorielles aux nombres non-entiers via la fonction gamma d'Euler.

 

Suite en Table des factorielles / Calcul des factorielles / Quantité de permutations des nombres /

Nombre 69 / Nombre 449

 

 

Le zéro qui donne 1

Comment montrer logiquement que 0!  = 1

 

Autre méthode: (x + 1)! = (x + 1) x!

       Avec x = 0: (0+1)! = (0 + 1) 0!

                                 1! = (1) 0!

                                 1 = 0!

Voir Nombre 0

 

 

Amusement

 

Amusement avec des factorielles:

 

 

En effet, soustraction de fractions:

 

 

 

Or 100! = 99! x 100:

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Factorielles – Propriétés

*    Rencontre inattendue

*    Identités

*    Chiffres carrés

*    Devinette – Solution et compléments – Quantité de facteurs dans une factorielle

*    Programmation de factorielle n

*    Nombre de Jordan-Polya

 

*    Familiarisation avec les factorielles

*      Super-factorielles

*    Divisibilité des produits de différences

*      Nombres pairs bien placés

*    Voir haut de page

 

Voir

*    Compter

*    Débutant et dénombrement

*    Nombres PPCM

DicoNombre

*      Nombre 3 249 (limite de calcul de la calculette Windows)

*    Nombre        5 040

*    Nombre 3 628 800

Site

*    Ensembles finis, dénombrement, ensembles infinis – Géraud Sarrebourse de la Guillonnière – 2014 – pdf 59 pages

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/SixFact.htm