NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Propriétés

Tronquées

Produits Carrés

Bhargava

Super-factorielles

Primorielle

Jamais carré

Oscillante

Sous-factorielle

Comporielle

Sommaire de cette page

 

>>> Index

 

>>> Factorielle

>>> Valeurs

>>> Propriétés

>>> Identité

>>> Quantité de facteurs dans les factorielles

>>> Programmation

>>> Nombres de Jordan-Polya

 

 

 

 

FACTORIELLES

Index et introduction

 

La somme des entiers consécutifs conduit aux nombres triangulaires; leur produit aux factorielles.

 

Factorielle n, avec n un entier naturel, est notée n! (1808 – Christian Kramp). Sa valeur est le produit de tous les entiers de 1 à n.

 

n! = 1 x 2 x 3 x … x n

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

 

Extraordinaire:  

40 585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!  

Trouvé en 1964

 

À partir de 2!, tous les nombres factoriels sont pairs.
Et, évidemment n! + 1 est impair, tout comme (n – 1)! + 1 pour n > 2.

 

La quantité  de permutations de n objets est égale  à factorielle n.

 

Il existe de nombreuses variantes impliquant le produit des nombres successifs d'une suite: factorielle de premiers, de Fibonacci

 

Relation fondamentale: 10! = 10 x 9! => n! = n (n – 1)! ou (n + 1)! = (n + 1) n!

 

 

Vocabulaire

Une factorielle (nom féminin): nombre notée n!

Un nombre premier factoriel, une valeur factorielle (adjectif).

Anglais: factorial;  Espagnol: factorial; Italien: fattoriale; Allemand: Facultät.

 

Quelle est la suite ?

Réponse: 120 = 5!.

Chaque nombre est suivi de sa factorielle. Après 4, on trouve 4! = 24.

 

 

INDEX

Factorielles

& ses formes variées

 

 

*    CombinatoireGlossaire

*    Nombres consécutifsIndex

*    Quart de finale et factorielles impaires

Variantes

 

*    Comparaison entre variantes de factorielles.

*    Factorielles   1 = k² : problème de Brocard.

*    Nombres primoriels

Factorielles premières

Les factorielles en question sont en fait les factorielles  1.

 

Forme

Relations

 

Notations

 

 

 

On trouve aussi: la somme cumulée des factorielles, parfois notée !!n

Exemple:  !!4 = 0! + 1! + 2! + 3! = 10.

Note: pour avoir le symbole dièse: Alt étant enfoncé, tapez 9839 et lâchez; pour bémol, idem avec 9836

Valeurs

Calculs

 

 

 

*    Curiosités en sommes et produits de factorielles

*    Sommes minimales impliquant les factorielles

*    Nombre        61

*    Nombre      145

*    Nombre      222

*    Nombre 40 585

*    Nombre          2, 718 = e et les factorielles

*    Factorielles   de 70, 100, 1000 (calculs)

*    Nombres pairs bien placés dans une liste

*    Nombre = somme ou produit des factorielles de ses chiffres

Identités

Propriétés

 

 

*    Factorielles + 1

*    Factorielle – 1 = 1x1! + 2x2! +3x3! +…

*    Factorielle: nième différence d'une puissance n

*    Factorielles divisées

*    Factorielles et grands nombres

*    Factorielles et leurs diviseurs

*    Problème de Brocard (n! + 1 = k²)

*    Factorielles et théorème fondamental de l'arithmétique

*      Identités et factorielles doubles

*      Divisibilité de (p .q)!

 

Applications

 

 

*    Quantité de permutations des nombres

 

 

 

Devinette

Quel est le dernier chiffre du produit suivant:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 … x 257

Solution

 

 

 

Une idée des factorielles

Dans le troisième tableau, les objets noirs rouges et orange ne sont pas répétés.

Ils sont disposés dans l'ordre du représentant figurant dans la première colonne.

Voir Les nombres factoriels par Nathan 8 ans

 

Voir Brève 692

 

 

 

FACTORIELLE – Approche

 

*    Quelle est la quantité de façons de placer trois personnes sur un banc?

*      Je place d'abord l'un des personnages: Lucky Luck ou Tintin ou Donald. Soit trois possibilités.

*      Maintenant que j'ai choisi l'un d'eux, je choisis le suivant parmi les deux qui restent. Soit deux possibilités.

*      Ultime étape, je place le dernier. Étant tout seul, il ne reste plus qu'une seule possibilité.

*      Bilan, il ya 3 x 2 x 1 possibilités.

 

*    Ce produit des nombres successifs jusqu'à 3 est appelé factorielle 3 et noté: 3!


 

 

Quantité de permutations sur un banc: n!

 

 

*    Quelle est la quantité de façons de placer trois personnes autour d'une table ronde?

*      Beaucoup moins  que sur un banc.

*      Une fois le premier personnage positionné, il reste deux possibilités pour les deux autres.

*      À la différence du banc, le premier personnage peut se mettre dans l'une des trois positions sans que cela change le voisinage de chacun.

*      Bilan, il n'y a que deux possibilités. Ce sont les 3 x 2 x 1 possibilités du banc, divisés par les 3 positions indifférentes du premier personnage. Soit 3 x 2 x 1 / 3 = 2 x 1possibilités

 

Quantité de permutations autour d'une table ronde: (n – 1)!

 

 

 

*    Ne pas confondre  attention.png
Il serait différent de trouver le nombre de cas possibles, avec trois personnes qui peuvent être : soit gaies (G), soit tristes (T).

*      C'est le dénombrement de trois objets pouvant prendre deux états.

*      Deux possibilités pour le premier

*      Deux pour le deuxième, et

*      Deux pour le troisième.

*      Bilan: 2 x 2 x 2 = 23 = 8 possibilités.

Voir Dénombrement – vue générale / Problème des places assises autour d'une table

 

Illustration avec choix de quatre fruits

 

Voir Brève de maths - Factorielles

 

  

VALEURS

 

*    Avant les ordinateurs, les factorielles étaient connues jusqu'à 300!, plus quelques autres rares cas.

Exemples de valeurs

*    Avec les trois lettres A, B et C,      il y a 3! =   6 permutations possibles

*    Avec les trois lettres A, B, C et D, il y a 4! = 24 permutations possibles

*    Avec 12 personnes à table midi et soir, la permutation de tous les convives autour de la table prendra 546 siècles pour 11! = 39 916 800 repas.

*    Avec 52 cartes, la quantité de permutations s'élèvent au nombre énorme de 52 ! = 80 658 … un nombre de 68 chiffres.

 

Valeurs de transition en puissances 10


 

*    Limite de calcul de la calculette Windows: 3 248!

Merci à Denis Bertin pour cette remarque

 

*    Factorielles décimales: généralisation des factorielles aux nombres non-entiers via la fonction gamma d'Euler.

 

Suite en Table des factorielles / Calcul des factorielles / Quantité de permutations des nombres /

Nombre 69 / Nombre 449

 

 

Le zéro qui donne 1

Comment montrer logiquement que 0!  = 1

 

Autre méthode: (x + 1)! = (x + 1) x!

       Avec x = 0: (0+1)! = (0 + 1) 0!

                                 1! = (1) 0!

                                 1 = 0!

Voir Nombre 0

 

 

Amusement

 

Amusement avec des factorielles:

 

 

En effet, soustraction de fractions:

 

 

 

Or 100! = 99! x 100:

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Factorielles – Propriétés

*    Rencontre inattendue

*    Identités

*    Chiffres carrés

*    Devinette – Solution et compléments – Quantité de facteurs dans une factorielle

*    Programmation de factorielle n

*    Nombre de Jordan-Polya

 

*    Familiarisation avec les factorielles

*      Super-factorielles

*    Divisibilité des produits de différences

*    Divisibilité de la somme des entiers par des factorielles

*      Nombres pairs bien placés

*      Nombre lui-même présent dans sa factorielle

*    Voir haut de page

 

Voir

*    Compter

*    Débutant et dénombrement

*    Nombres PPCM

DicoNombre

*      Nombre 3 249 (limite de calcul de la calculette Windows)

*    Nombre        5 040

*    Nombre 3 628 800

Site

*    Ensembles finis, dénombrement, ensembles infinis – Géraud Sarrebourse de la Guillonnière – 2014 – pdf 59 pages

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/SixFact.htm