NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Super-factorielles

Primorielle

Jamais carré

Sous-factorielle

Comporielle

Sommaire de cette page

>>> Index

>>> Factorielle

>>> Valeurs

>>> Propriétés

>>> Identité

>>> Quantité de facteurs dans les factorielles

>>> Programmation

>>> Nombres de Jordan-Polya

 

 

 

 

FACTORIELLES

 

La somme des entiers consécutifs conduit aux nombres triangulaires; leur produit aux factorielles.

 

Factorielle n, avec n un entier naturel, est notée n! (1808 – Christian Kramp). Sa valeur est le produit de tous les entiers de 1 à n.

 

n! = 1 x 2 x 3 x … x n

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

 

Extraordinaire:  

40 585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!  

Trouvé en 1964

 

La quantité  de permutations de n objets est égale  à factorielle n.

 

Il existe de nombreuses variantes impliquant le produit des nombres successifs d'une suite: factorielle de premiers, de Fibonacci

 

 

Vocabulaire

Une factorielle (nom féminin): nombre notée n!

Un nombre premier factoriel, une valeur factorielle (adjectif).

Anglais: factorial;  Espagnol: factorial; Italien: fattoriale; Allemand: Facultät.

 

 

 

INDEX

Factorielles

& ses formes variées

 

 

*    CombinatoireGlossaire

*    Nombres consécutifsIndex

*    Quart de finale et factorielles impaires

Variantes

 

*    Comparaison entre variantes de factorielles.

*    Factorielles   1 = k² : problème de Brocard.

*    Nombres primoriels

Factorielles premières

Les factorielles en question sont en fait les factorielles  1.

 

Forme

Relations

 

Notations

 

 

Note: pour avoir le symbole dièse: Alt étant enfoncé, tapez 9839 et lâchez; pour bémol, idem avec 9836

Valeurs

Calculs

 

 

 

*    Curiosités en sommes et produits de factorielles

*    Nombre        61

*    Nombre      145

*    Nombre      222

*    Nombre 40 585

*    Nombre          2, 718 = e et les factorielles

*    Factorielles   de 70, 100, 1000 (calculs)

Identités

Propriétés

 

 

*    Factorielles + 1

*    Factorielle – 1 = 1x1! + 2x2! +3x3! +…

*    Factorielle: nième différence d'une puissance n

*    Factorielles divisées

*    Factorielles et grands nombres

*    Factorielles et leurs diviseurs

*    Problème de Brocard (n! + 1 = k²)

*    Factorielles et théorème fondamental de l'arithmétique

*      Identités et factorielles doubles

*      Divisibilité de (p .q)!

 

Applications

 

 

*    Quantité de permutations des nombres

 

 

 

Devinette

Quel est le dernier chiffre du produit suivant:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 … x 257

Solution

 

 

 

 

 

FACTORIELLE – Approche

 

*    Quelle est la quantité de façons de placer trois personnes sur un banc?

*      Je place d'abord l'un des personnages: Lucky Luck ou Tintin ou Donald. Soit trois possibilités.

*      Maintenant que j'ai choisi l'un d'eux, je choisis le suivant parmi les deux qui restent. Soit deux possibilités.

*      Ultime étape, je place le dernier. Étant tout seul, il ne reste plus qu'une seule possibilité.

*      Bilan, il ya 3 x 2 x 1 possibilités.

 

*    Ce produit des nombres successifs jusqu'à 3 est appelé factorielle 3 et noté: 3!


 

 

Quantité de permutations sur un banc: n!

 

 

*    Quelle est la quantité de façons de placer trois personnes autour d'une table ronde?

*      Beaucoup moins  que sur un banc.

*      Une fois le premier personnage positionné, il reste deux possibilités pour les deux autres.

*      À la différence du banc, le premier personnage peut se mettre dans l'une des trois positions sans que cela change le voisinage de chacun.

*      Bilan, il n'y a que deux possibilités. Ce sont les 3 x 2 x 1 possibilités du banc, divisés par les 3 positions indifférentes du premier personnage. Soit 3 x 2 x 1 / 3 = 2 x 1possibilités

 

Quantité de permutations autour d'une table ronde: (n – 1)!

 

 

 

*    Ne pas confondre  attention.png
Il serait différent de trouver le nombre de cas possibles, avec trois personnes qui peuvent être : soit gaies (G), soit tristes (T).

*      C'est le dénombrement de trois objets pouvant prendre deux états.

*      Deux possibilités pour le premier

*      Deux pour le deuxième, et

*      Deux pour le troisième.

*      Bilan: 2 x 2 x 2 = 23 = 8 possibilités.

Voir Dénombrement – vue générale

 

 

 

VALEURS

 

*    Avant les ordinateurs, les factorielles étaient connues jusqu'à 300!, plus quelques autres rares cas.

Exemples de valeurs

*    Avec les trois lettres A, B et C,      il y a 3! =   6 permutations possibles

*    Avec les trois lettres A, B, C et D, il y a 4! = 24 permutations possibles

*    Avec 12 personnes à table midi et soir, la permutation de tous les convives autour de la table prendra 546 siècles pour 11! = 39 916 800 repas.

*    Avec 52 cartes, la quantité de permutations s'élèvent au nombre énorme de 52 ! = 80 658 … un nombre de 68 chiffres.

Suite en Table des factorielles / Calcul des factorielles / Quantité de permutations des nombres

 

Amusement

 

Amusement avec des factorielles:

 

 

En effet, soustraction de fractions:

 

 

 

Or 100! = 99! x 100:

 

 

 

 

 

 

 

 

PROPRIÉTÉS

 

Formulation (deux possibilités)


Propriété générale (récursivité)

 

La factorielle n s'obtient en multipliant la factorielle précédente par n: n! = (n – 1)! . n

Ex: 3! = 2! x 3 = 1 x 2 x 3

Voir Programmtion

 

Factorielle n + 1 et n – 1

(n + 1)! = (n + 1) n!

(n + 1)! = (n + 1) n (n – 1)!

(n + 1)! = (n² + n) (n – 1)!

 

Ex: 5! = 3!  x (4² + 4) = 6 x 20 = 120

 

 

 

Valeur de 0!

*    Par convention, et pour que les formules avec les factorielles soient toujours valables, on pose

*    Propriété générale des factorielles  

*    Pour n = 1, cela reste valable, alors

 

 

 

 

0! = 1

 

n! = n (n – 1)!

1! = 1 x 0!

 

 

Divisibles par 5, 9, 11 ...

 

*    Chaque factorielle est évidemment divisible par les facteurs qui la composent. Ex: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 est divisible par 2, 3 et 4.

 

A partir de 6!

*      Il comporte le produit 3 x 6, il est donc divisible par 9. On peut à partir de ce nombre exclure tous les nombres qui ne satisfont pas la preuve par neuf.

*      Et même, le cas échéant, restituer un chiffre manquant (x).

Ex:  16! = 20 922 789 8x8 000
Application de la preuve par 9 qui donne x = 8.

 

*      Conséquence: la somme des chiffres des factorielles est égale à un multiple e 9 à partir de 6!  Voir Table

 

A partir de 11!

*      Ils sont divisibles par 11, alors la somme des chiffres de rang pair doit être égale à la somme des chiffres de rang impair modulo 11.

Ex: 17! = 355 687 428 x 96 000.
Preuve par 9: x = 0 ou 9
Preuve par 11: x = 0.


A partir de 5! Quelle est la quantité de zéros

  5!          elles sont terminées par            0

10!            "                                                 00

15!            "                                                 000

20!            "                                                 0000

Etc.

 

*      La quantité de zéro en fin de factorielle résulte d'un facteur 10 ou d'un produit de 2 par 5. Ainsi 5! = 120 ou 10! = 3628800. Suite en valeurs des factorielles.

 

 

 

 

Rencontre inattendue

*    La différence nième entre puissance nième des nombres successifs est égale à factorielle n.

Suite >>>

 

Somme des inverses

*    La somme des inverses des factorielles est égale à e = 2, 718…

Suite >>>

 

*    Les inverses des factorielles sont les coefficients du développement limité de la fonction exponentielle. Pour x = 1, on retrouve la formule ci-dessus.

 

 

 

IDENTITÉS

Propriété

= 1 x 3 x 5 … (2n – 1) x 2n

 

= (2n – 1)!!   x 2n

Démonstration

(2n)!

= 2n (2n–1)(2n–2) … 4 x 3 x 2 x 1

= {2n (2n–2)(2n–4) … 4 x 2} {(2n–1)(2n–3) … 3 x 1}

= 2n {n (n–1)(n–2) … 2 x 1} {1 x 3x … (2n–1)}

= 2n {n !} {1 x 3x … (2n–1)}

= 2n {1 x 3x … (2n–1)}                CQFD

Exemple

= 26 {1 x 3x … x11}               

= 64 x 10 395 = 665 280

Voir Factorielles impaires / Identités somme / Identités produits

 

 

IDENTITÉS (suite)

Propriété

 

Exemple

(n + 1)! – 1 = 1.1! + 2.2! + 3.3! +…+ n.n!

 

5! – 1 = 120 – 1 = 1 + 4 + 18 + 96 = 119

Démonstration par induction

Vrai pour 1

2! – 1 = 1 = 1.1! = 1

Supposons

1.1! + 2.2! + 3.3! +…+ k.k!  = (k + 1)! – 1

En ajoutant le terme suivant

1.1! + 2.2! + 3.3! +…+ k.k! + (k+1)(k+1)!

Avec notre hypothèse

(k + 1)! – 1  + (k+1)(k+1)!

= (k + 1)!  (k + 2) – 1

= (k + 2)! – 1

Conclusion

Nous obtenons l'égalité pour k + 1 en supposons l'identité vrais pour k, or l'identité est vraie pour 1, elle vraie pour tout n. 

 

 

 

 

CHIFFRES CARRÉS

 

*    Il existe des nombres factoriels dont la quantité de chiffres est un carré

Il en existe 20 jusqu'à 1 000!
On note N = quantité de chiffres de n!
 

 

*    On peut écrire ces nombres particuliers sous la forme de pyramides: 

 

 

 

Devinette – Solution et compléments

Quantité de facteurs dans une factorielle

 

Dernier chiffre


 
Quel est le dernier chiffre du produit suivant:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 … x 10 x …x 257

 

Dans le produit se trouvent 2 x 5 = 10. Tous les produits à partir de là vont se terminer par un 0. Le 10 qui suit va en apporte un deuxième: 10! = 3 628 800.

En fait 100! comporte vingt-quatre 0. Pour 257! , c'est soixante-trois 0.

Retour

 

Calcul

La quantité de zéros finaux (trailing zeros) dans n! est donnée par cette formule, avec 5k  n:

 

Exemples (on ne conserve que les parties entières des divisions)

 

Du même ordre: quantité de puissances d'un premier dans un nombre factoriel

 

 

Exemples

Etc.

Or 10! = 28 x 34 x 52 x 7

 

Comment trouver combien de fois un certain nombre dans une factorielle?

Prendre la factorisation du nombre et chercher combien de fois on y trouve chaque facteur.

Exemple: combien de fois 900 dans 50!

 

900 = 22 x 32 x 52

 

50! = 247 x 322 x 512 x k   = 212 x 312 x 512 x 235 x 310 x k 

                                         =       (900)6        x k'        

Soit 900 présent six fois dans 50!.

 

 

 

 

Programmation de factorielle n

Description détaillée pour novices

 

Algorithme

 

 

 

Initialisation

Le premier pas de l'algorithme consiste à entrer la valeur de n.

L'initialisation va placer 1 dans la case mémoire nommée F, valeur de initiale de la factorielle.

Puis 1 dans la case nommée i, un index qui va aller de 1 à n.

 

Boucle de calcul

On commence par tester si notre index i a atteint la valeur de n. Dans le cas où n = 1, on sort immédiatement vers l'impression de la valeur F = 1, valeur donnée à l'initialisation.

Si i n'est pas encore égal à n, alors on multiplie la valeur courante de F par la valeur de i. Puis on passe à la valeur suivante de i. Tant que i n'est pas égal à n, on va multiplier F par 1, ce qui est bien la définition de la factorielle.

Lorsque l'index  i a atteint la valeur de n, alors on sort de la boucle pour aller à l'impression de F.

 

 

Programmation Maple

 

 

Pour calculer 10!, par exemple, on donne à n la valeur 10. Cette opération est indiquée par le signe ":="; ceci, pour bien indiquer qu'il s'agit d'une attribution (d'une affectation) et non d'une égalité. Affectation également de 1 à F.

Test si n = 0 ou si n = 1, auxquels cas, la valeur de la factorielle sera 1.

Boucle avec l'index i qui va de 2 à n et qui calcule successivement F fois i et place le résultat dans F.

Fin de boucle (do à l'envers) et de test (if à l'envers).

Impression de n et de F.

Résultat du traitement du programme (en bleu):

10! = 3 628 800.

Voir Programmation / Maple

 

 

 

Programmation avec récursivité

 

Définition de factorielle(n)

Si n = 0

Alors   fact(n) = 1

Sinon  fact(n) = n x fact(n – 1)

Retourner fact(n)

 

 

 

Programmation Scheme

 

 

 

Définition d'une fonction factorielle qui pourra être appelée par d'autres programmes. (On dit aussi procédure)

Si n = 0 retourner la valeur 1, sinon faire le produit de n par la factorielle de n-1, celle-ci refaisant appel à la fonction elle-même avec la valeur n-1. C'est le mode "magique" de la  récursivité.

 

Scheme est un langage de programmation fonctionnel dérivé du LISP. Langage adapté à la logique et à la récursivité.

 

Définition d'une fonction factorielle.

Les opérateurs sont en tête, suivi des arguments. Ainsi if (= n 0) vaut si n = 0.

Donc, si n = 0 retourner la valeur 1, sinon faire le produit(*) de n par la factorielle de n-1, celle-ci refaisant appel à la fonction elle-même avec la valeur n-1.

Toutes les parenthèses finales ferment les parenthèses ouvertes préalablement.

 Voir Même programme (récursif) en Maple

 

 

 

Programme listant les factorielles (Maple)

 

 

 

On place la valeur de a(n) = n! dans a.

Puis, l'instruction seq  (pour séquence) calcule a(n) pour toutes les valeurs de n de 0 à 10.

Entre crochets [n, a(n)] signifie que l'on crée une suite de doublets comportant n et n!.

Le point-virgule final indique que les valeurs doivent être affichées.

 

Voir Calcul des sous-factorielles

 

 

 

 

Nombre de Jordan-Polya

 

Définition

 

Nombres qui peuvent s'écrire comme produit de factorielles.

 

Exemples 

2! x 3! = 2 x 6 = 12

2!2 x 3! = 22 x 6 = 24

2!15 x 3!2 = 1 179 648

2!2 x 3!3 x 4!4 = 286 654 464

 

Curiosité de forme

786 432 = 218 . 3 = 2!15 . 4!

               = 1024 x 768

 

Applications

Combinatoire: soit k ensembles de nk objets. La quantité de permutations de la somme de ces objets, en maintenant adjacents les objets d'un même groupe est un nombre de J-P = k! x (produit des factorielles des nk).

 

 

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 120, 128, 144, 192, 216, 240, 256, 288, 384, 432, 480, 512, 576, 720, 768, 864, 960, 1024, 1152, 1296, 1440, 1536, 1728, 1920, 2048, 2304, 2592, 2880, 3072, 3456, 3840, 4096, 4320, 4608, 5040, 5184, 5760, 6144, 6912, 7680, 7776, 8192, 8640, 9216, 10080, 10368, 11520, 12288, 13824, 14400, 15360, 15552, 16384, 17280, 18432, 20160, 20736, 23040, 24576, 25920, 27648, 28800, 30240, 30720, 31104, 32768, 34560, 36864, 40320, 41472, 46080, 46656, 49152, 51840, 55296, 57600, 60480, 61440, 62208, 65536, 69120, 73728, 80640, 82944, 86400, 92160, 93312, 98304, 103680, 110592, 115200, 120960, 122880, 124416, 131072, 138240, 147456, 155520, 161280, 165888, 172800, 181440, 184320, 186624, 196608, 207360, 221184, 230400, 241920, 245760, 248832, 262144, 276480, 279936, 294912, 311040, 322560, 331776, 345600, 362880, 368640, 373248, 393216, 414720, 442368, 460800, 483840, 491520, 497664, 518400, 524288, 552960, 559872, 589824, 604800, 622080, 645120, 663552, 691200, 725760, 737280, 746496, 786432, 829440, 884736, 921600, 933120, 967680, 983040, 995328, 1036800, 1048576, 1088640, 1105920, 1119744, 1179648, …

 

Exemple de multi-configuration

 DicoNombre 192

 

 

Programmation

 

 

Commentaires

Programmation "bestiale" en faisant tourner autant de boucles que nécessaire de manière à analyser tous les cas de figure.

Pour cet affichage, on se limite aux nombres de Jordan-Polya inférieur à 1000.

La seule astuce qui simplifia grandement la vie consiste à utiliser  les ensembles, notés {…}. Chaque nouveau nombre N y prend place s'il n'y est pas encore et dans l'ordre.

Avec une exploration jusqu’à amx = 10, on trouve tous les nombres du tableau ci-dessus.

 

Affichage du résultat

Pour cet exemple d'affichage, on se limite aux nombres de Jordan-Polya inférieur à 1000, avec amx  = 5. Le dernier est 960 = 26.3.5.

Voir Variantes /  Programmation avec Maple / Noms des nombres

 

 

 

 

 

Suite

*    Familiarisation avec les factorielles

*   Super-factorielles

*   Divisibilité des produits de différences

*    Voir haut de page

 

Voir

*    Compter

*    Débutant et dénombrement

*    Nombres PPCM

DicoNombre

*    Nombre        5 040

*    Nombre 3 628 800

Site

*    Ensembles finis, dénombrement, ensembles infinis – Géraud Sarrebourse de la Guillonnière – 2014 – pdf 59 pages

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/SixFact.htm