NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER

 

Débutants

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FAQ

Spécial DÉBUTANTS

 

Glossaire

Compter

 

 

INDEX

COMBINATOIRE

Débutants

Outils

Types

 

Sommaire de cette page

>>> Louise & Clément

>>> Et Théo

>>> Les cousins sont là

 

 

>>> Arrangez-vous!

>>> Bilan

>>> Football

>>> Compteur

 

 

 

Le plus ancien dénombrement de l'humanité

Moïse fit le dénombrement sur l'ordre de l'Éternel, en se conformant à l'ordre qui lui fut donné.     Le Livre des nombres – Bible

Voir Pensées & humour

 

COMPTEZ - DÉNOMBRER

 

Trouver la quantité d'objets: les compter un à un ou trouvez une méthode pour les recenser globalement ?

 

*      On apprend à compter en classe

-        Combien de bonbons,

-        Combien d'élèves,

-        Combien de voiture sur la route en une heure,

-        Combien de votes à l'élection,

-        Etc.

 

*    Ici, il s'agit de compter lorsque les choses sont un peu moins évidentes. On dit alors que l'on dénombre.

 

Domaines

 

Dés

Cartes

Équipes

 

Loto

 

 

Autour

d'une table

 

Roulette

Anagrammes

 

Emploi

du temps

 

 

Codes

 

Tiercé

Etc.

 

 

 

 

 

 

 

LOUISE & CLÉMENT

 

*    Louise et Clément, réveillés de bonne heure, se glissent dans la bibliothèque et y découvrent les ordinateurs des parents: le portable de Papa et le fixe de maman.

 

*    Je prends celui de maman, dit Louise!

 

portable

Ordin

 

*    D'accord, mais tu me laisseras l'essayer tout de même, dit Clément.

*    Si tu veux …

portable

Ordin

 

*    Et nos deux bambins s'initient à l'informatique ou …aux jeux avec informatique.

 

Conclusion

*    Si on dispose de deux places pour jouer.

Jeux 1

Jeux 2

*    Avec deux joueurs, il y a deux possibilités de jeu.

Jeux 1

Jeux 2

1

Louise

Clément

2

Clément

Louise

*    On peut intervertir les deux joueurs.

*    On peut les permuter.

Permutation

entre deux personnes

 

 

 

 

ET THÉO

 

*    C'était sans compter avec Théo, le petit dernier qui arrive avec sa Game Boy.

*    Lui aussi voudrait tapoter sur le clavier des grands

 

 

portable

Ordin

gameboy

*    Théo survient avec sa Game Boy.

Louise

Clément1

Théo

*    Il arrive à séduire sa sœur. Que ne ferait-elle pas pour son petit frère!

Théo

Clément1

Louise

*    Clément ferait bien un peu de Game Boy pour lui rappeler sa jeune enfance.

Théo

Louise

Clément2

*    Louise a tout fait mais Théo se roule par terre pour avoir le gros ordinateur de papa.

Louise

Théo

Clément2

*    Clément en profite pour convaincre Louise de l'intérêt de jouer sur Game Boy.

Clément3

Théo

Louise

*    Théo s'intéresse deux minutes à l'ordinateur et revient vite à son jeu favori.

Clément3

Louise

Théo

*    Chacun constate ravi, qu'il a essayé toutes les machines.

 

 

 

 

 

Conclusion

*    Lorsque Clément était à l'ordinateur de papa, Louise et Théo ont permuté

 

Clément1

 => 2 cas

 

*    Lorsque Clément était à la Game Boy, Louise et Théo ont permuté

 

 

Clément2

=> 2 cas

*    Lorsque Clément était sur le portable, Louise et Théo ont permuté

Clément3

=> 2 cas

 

 

*    Au total, il y a 3 x 2
= 6 possibilités

2 cas

2 cas

2 cas

Ne soit pas jalouse Louise, on aurait pu faire le même raisonnement avec toi ou avec Théo

 

 

 

 

LES COUSINS SONT LÀ

 

*    Les cousin et cousine Alex et Justine sont là pour la journée.

*    Ils sont désormais 5 enfants: Alex, Clément, Justine, Louise et Théo (A C J L T).

*    Attention les enfants, dit maman,  vous pouvez jouer avec les ordinateurs, mais à tour de rôle.

 

 

*    Trois des 5 enfants se retrouvent dans la pièce et s'installent comme ils veulent sur les machines

Salle des ordinateurs

portable

gameboy

Ordin

Extérieur

 

 

 

*    Première équipe de 3 =>

A C J

L T

*    Deuxième équipe de 3 =>

A C L

J T

*    Ainsi de suite …

A L T

C J

*    Combien peu-t-on former d'équipes de 3?

*    Combien de situations?

*    Combien de combinaisons?

*    On apprendra à les compter; il y a en fait =>

10 combinaisons

 

 

 

 

 

ARRANGEZ-VOUS!

 

*    Papa, un peu matheux, se met à calculer:

*    Si chaque équipe passe une demi-heure dans la salle des ordinateurs.

*    Combien faut-il de temps pour toutes les équipes y passent?

*    Il est possible de former

*    Chacune reste

*    Pour faire passer toutes les équipes, il faut disposer de

10 équipes

1/2 heure

10 x 1/2 = 5 heures

*    Papa n'en reste pas là, j'ai bien dit qu'il est matheux.

*    Il se demande ce qui se passe dans la salle des ordinateurs avec une équipe de 3 enfants.

*    Eh, bien, croyez-le ou pas, ces gamins s'organisent pour explorer toutes les possibilités.

*    Ils sont trois, et permutent leur rôle sur chaque machine.

*    On a vu dans le cas de Clément, Louise et Théo qu'il y a 6 possibilités, on dit 6 permutations.

*    Et, papa de calculer.

 

*    OK, on a la quantité de possibilités.

*    On sait que cette équipe reste 30 minutes dans la pièce.

*    Pour donner le même temps à chacun, au bout de combien de temps faut-il permuter?

6 permutations

30 minutes

30 / 6 = 5 minutes par permutation

 

 

 

 

BILAN

 

Papa souhaite en tirer une conclusion!

 

*    S'ils jouent pendant 5 heures, les 5 cousins pourront tous passer dans la salle de l'ordinateur par équipes de 3 distinctes.

*    Il y aura 10 équipes et chacune restera dans la salle durant 30 minutes.

*    Durant cette demi-heure de jeu d'une équipe de 3 enfants, ceux-ci vont permuter sur chacune des  machines pour tester toutes les possibilités.

*    Il y aura 6 permutations chacune de 5 minutes.

 

Au total,

*    Les machines verront passer des équipes de 3 enfants toutes les 5 minutes, et ce durant 5 heures.

*    Il y aura une équipe ordonnée toute les 5 minutes pendant 5 heures (= 300 minutes).

*    Soit: 300 / 5 = 60 équipes ordonnées au total.

 

 

 

 

 

FOOTBALL

 

*    Ce club dispose de 22 joueurs.

*    Un match nécessite 11 joueurs.

*    Chaque jouer a la capacité d'occuper un poste quelconque (imaginons).

 

 

Comparaison qui donne le vertige:

*    En formant une équipe toute les minutes.

*    En sachant qu'il y a 525 600 minutes dans une année, nuit et jour.

*    Pour explorer toutes les combinaisons:

*    toutes les équipes distinctes de 11 joueurs à partir des 22 du club

*    il faudrait 1,3 année.

*    Une équipe de 11 joueurs étant formée

*    on fait passer tout le monde à des postes différents par permutations

*    il faudrait 76 ans.

*    Pour explorer tous les arrangements

*    toutes les équipes ordonnées possibles

*    il faudrait 50 000 millénaires !

 

Voir Football / Quart de finale

 

 

 

Cas du compteur – Attention aux situations

 

Carré

 

*    Compter les sommets du carré: 4

*    Numéroter les sommets avec deux chiffres (0,0) (0,1) (1,0) (1,1).

 

*    Autre façon de voir: deux réglettes coulissantes et une fenêtre d'observation

*    Il y a bien quatre façons de positionner les réglettes: 00, 01, 10, 11.

 

Avec deux chiffres binaires, on peut écrire quatre nombres

 

 

 

 

 

Cube

 

*    Compter les sommets du cube: 8

*    Numéroter les sommets avec deux chiffres (0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1), (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1).

 

*    Il y a bien huit façons de positionner les réglettes: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

*        Deux possibilités pour chaque réglette.

*        En ajoutant une réglette, il y a deux fois plus de possibilités.

*        Soit: 2 x 2 x 2 = 23 = 8

 

Avec trois chiffres binaires, on peut écrire huit nombres

 

 

 

 

 

 

Compteur

 

*    Cette fois, chaque réglette comporte dix chiffres.

*    Nous avons un choix de 10 possibilités pour la première, dix pour la suivante et dix pour la dernière

*    Soit: 10 x 10 x 10 = 103 = 1 000 possibilités

*    Nous pouvons écrire 1000 nombres avec trois chiffres (de 0 à 999). C'est bien ce que nous savons tous.

 

 

Notez qu'en enroulant les réglettes sur elle-même,

nous réalisons un compteur classique.

 

 

Avec trois chiffres décimaux,

on peut écrire mille nombres.

 

 

 

 

 

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