NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Exemple 4 parmi 8

Somme distinctes

 

Sommaire de cette page

>>> Exemple: choix des glaces

>>> Exemples: lettres ou chiffres

>>> Notation des combinaisons

>>> Combinaisons ou arrangements

>>> Sélection ou distribution

>>> Définition

>>> Calculs – Formule

 

 

 

 

 

 

COMBINAISONS – Introduction

Sélection sans ordre est sans répétitions

 

 

 

But

*    Pioche d'objets dans un sac;

*    Choix dans une collection;

*    Part d'une collection;

*    Morceau d'un tout;

*    Sous-ensemble;

*    Partition; etc.

 

Principe

*    On tire p éléments de l'ensemble de départ qui en compte n.

*    On forme ainsi un ensemble plus petit qui représente une part du grand (sous-ensemble).

 

 

 

 

 

Exemple: choix des glaces

 

Il fait chaud. je m'arrête chez le marchand de glace.

Il a cinq parfums par cornets (ou coupe) à deux boules.

Combien de possibilités de cornets avec à chaque fois deux parfums différents?

 

*        Avec la vanille comme première boule, je peux choisir chocolat, fraise, pistache ou myrtille; soit quatre choix.

*        Avec chocolat comme première boule, je peux choisir fraise, pistache ou myrtille; soit trois choix.

*        Avec fraise comme première boule, je peux choisir pistache ou myrtille; soit deux choix.

*        Avec pistache comme première boule, je dois choisir myrtille; soit un choix.

 

Total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10

 

 

Astuce

Truc pratique pour compter vite!

 

*        Je forme une fraction avec même numérateur et dénominateur: le produit de tous les nombres jusqu'à 5.

*        Je ne conserve que les 2 plus grands en haut et les 2 plus petits en bas.

L'astuce est générale.

Deux parfums parmi cinq

 

Trois parfums parmi cinq

 

Quatre parfums parmi dix

 

Voir Autres valeurs

SVP, montrez-moi un autre exemple pratique tout de suite >>>

Sinon, je continue ci-dessous pour les explications théoriques.

 

 

 

Exemples avec lettres ou chiffres

L'ordre n'a pas importance.

 

Un élément choisi, ne peut plus être re-choisi. C'est un tirage sans remise, c'est-à-dire sans répétition.

 

Exemple avec des chiffres

 

2 parmi 2

2 parmi 3

2 parmi 4

2 parmi 5

[1, 2]
[1, 2], [1, 3], [2, 3]

[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]

[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [2, 3], [2, 4], [2, 5], [3, 4], [3, 5], [4, 5]

3 parmi 3

3 parmi 4

3 parmi 5

[1, 2, 3]

[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 4]

[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 5], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 5], [3, 4, 5]

 

 

 

 

Notation

 

Une telle disposition s'appelle:

*    une combinaison de p objets parmi n,

*    une combinaison de n objets pris p par p,

*    une p-combinaison de n.

 

 

Voir explications de la Notation

 

 

 

Combinaisons ou arrangements

 

 

Il existe une relation simple entre les arrangements et les combinaisons

p éléments

bien en ordre

= Choix  en vrac

de p éléments

x toutes les façons

d'ordonner ces p éléments

p–Arrangement

= p–Combinaison

x p–Permutation

 

Pour bien insister!

Combinaisons

Arrangements

abc

abc acb bac bca cab cba

abd

abd adb bad bda dab dba

acd

acd adc cad cda dac dca

bcd

bcd bdc cbd cdb dbc dcb

4 combinaisons  et 4 x 6 arrangements

 

 

 

Sélection ou distribution?

Ne pas confondre deux cas typiques:

*    Je dispose de 5 balles et j'en sélectionne 2: combinaisons

*    Je dispose de 5 balles et je les distribue toutes dans deux paniers >>>

 

 

Combinaison – Définition

 

Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier tel que 0  p  n.

 

Une combinaison de p éléments de E est une partie de E ayant p éléments.

 

 

Voir Types de dispositions – Tableau complet

 

 

 

 

CALCUL – Combinaisons

 

Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments est le nombre défini par:


 

Pour 0  p  n

 

 

Il s'agit du coefficient du binôme. Voir son calcul pratique et astuce.

Je n'y comprends rien avec votre formule, vous n'avez pas plus simple! >>>

 

 

 

 

Exemples de calculs

 

Duels télévisés: avec 10 candidats aux élections, il faudrait 45 duels pour être équitable:

 

 

 

BRIDGE: 52 cartes, 13 par joueurs.
Combien de façons de prendre ces 13 cartes parmi les 52? Ou autrement dit: la quantité de mains au bridge:

 

       

Soit environ 635 milliards de mains.

 

Voir Compter les rectangles

 

 

 

 

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