NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Exemples

Nombre

Divisibles par 2

Divisibles par 5

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nom

>>> Illustration

>>> Définition

>>> Calculs

>>> Comment constituer une liste

 

 

 

 

 

 

ARRANGEMENT – Introduction

Sélection avec ordre est sans répétitions

 

 

 

But

*    Choix d'individus parmi d'autres,

*    Mise en ordre,

*    Classement …

 

Principe

*    Le premier est choisi et sort.

*    Le deuxième est choisi parmi ceux qui restent (n – 1); il sort.

*    Le troisième ne peut être sélectionné que parmi les n – 2 qui restent.

*    Etc.

 

 

 

 

 

 

Approche

 

L'ordre a son importance.

Un élément choisi, ne peut plus être re-choisi.

C'est un tirage sans remise.

 

 

 

Nom

 

Une telle disposition s'appelle:

*    un arrangement de p objets parmi n,

*    un arrangement de n objets pris p par p,

*    un p-arrangement de n.

Un n-arrangement est aussi appelé permutation.

 

 

 

Illustration

Permutations

Il s'agit de donner un rang 

de 1 à n

à chacun n objets

Arrangements

Il s'agit de donner un rang 

de 1 à p

à p parmi n objets

 

1er

2e

3e

4e

A

 

 

 

 

B

 

 

 

 

C

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

1er

2e

A

 

 

B

 

 

C

 

 

D

 

 

Ici est représentée la permutation

BDCA.

Ici est représenté l'arrangement BD.

 

Note: On remarque que, une fois le premier placé, il y a 3 possibilités pour le deuxième.

 

 

 

Combinaison – Définition

Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier tel que 1  p  n

 

Un arrangement de p éléments de E est une p-liste d'éléments de E deux à deux distincts

 

 

 

Voir Types de dispositions – Tableau complet

 

 

 

 

 

 

 

 

CALCULS

 

Dans la classe de 30 élèves, le mois dernier

*      Gérard était le premier

*      Gilbert le deuxième et

*      Daniel le troisième

 

Chacun a décidé de se battre pour la première place

*      Chacun a ses chances

*      Combien de tiercés sont possibles?

 

-       La classe comporte

30 élèves

 

-       Chaque élève peut être premier

 

30 possibilités

-       La classe, sans le premier, comporte

29 élèves

 

-       Chacun de ceux-là a sa chance d'être deuxième

 

29 possibilités

-       La classe, sans le premier, ni le deuxième, comporte

28 élèves

 

-       Chacun de ceux-là a sa chance d'être deuxième

 

28 possibilités

-       Les choix sont bien indépendants les uns des autres

 

 

-       En vertu du principe multiplicatif,

le total des possibilités est le produit

des possibilités individuelles

A = 30 x 29 x 28

 

 

Arrangements

Arrangements

*    Le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble à n éléments est le nombre noté Apn défini par:

 

Apn = n(n-1)(n-2) …(n-p+1) = n! / (n-p)!

 

*    Il s'agit du produit de p entiers consécutifs

 

Permutations

Permutations simples

*    Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est le nombre noté Pn défini par:

 

Pn = Ann = n(n-1)(n-2) ...2 x 1 = n!

 

*    Il s'agit du produit des n entiers consécutifs, qui n'est autre que factorielle n

Voir Exemple de calculs / Suite

 

Permutations circulaires

*    Le nombre de permutations circulaires d'un ensemble à n éléments est le nombre noté PCn défini par:

 

PCn = (n-1)(n-2) ...2 x 1 = (n-1)!

 

*    Il s'agit du produit des n-1 entiers consécutifs

*    Ici, on peut choisir librement le premier, il reste n-1 possibilité pour le deuxième

 

 

Permutations à répétitions

*    Le nombre de permutations à répétition d'un ensemble à n éléments ayant des éléments qui se répètent k, h … fois est le nombre noté PRn défini par:

 

PRn = n! / (k! . h! …)

 

*    En effet, on trouvera k! arrangements identiques

 

 

 

Comment constituer une liste ?

 

Si vous disposer d'un logiciel comme Maple, la solution est immédiate.

Ces deux instructions with(combinat); permute(5, 3) listent les arrangements de 3 parmi 5 (par exemple):

[[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 3, 2], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 2], [1, 4, 3], [1, 4, 5], [1, 5, 2], [1, 5, 3], [1, 5, 4], [2, 1, 3], [2, 1, 4], [2, 1, 5], [2, 3, 1], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 1], [2, 4, 3], [2, 4, 5], [2, 5, 1], [2, 5, 3], [2, 5, 4], [3, 1, 2], [3, 1, 4], [3, 1, 5], [3, 2, 1], [3, 2, 4], [3, 2, 5], [3, 4, 1], [3, 4, 2], [3, 4, 5], [3, 5, 1], [3, 5, 2], [3, 5, 4], [4, 1, 2], [4, 1, 3], [4, 1, 5], [4, 2, 1], [4, 2, 3], [4, 2, 5], [4, 3, 1], [4, 3, 2], [4, 3, 5], [4, 5, 1], [4, 5, 2], [4, 5, 3], [5, 1, 2], [5, 1, 3], [5, 1, 4], [5, 2, 1], [5, 2, 3], [5, 2, 4], [5, 3, 1], [5, 3, 2], [5, 3, 4], [5, 4, 1], [5, 4, 2], [5, 4, 3]]

Comme exercice vous pouvez programmer cette fonction.

 

Sinon, vous pouvez utiliser le tableur. Un exemple avec les arrangements de 4 parmi 9 (il y en a 3 024) est disponible en List4P9.  Vous trouverez sur cette page Excel la façon de constituer une liste personnalisée. Je vous conseille de mettre votre tableur en route avant le téléchargement.

 

Attention.jpgOn ne mettra jamais suffisamment en garde les utilisateurs qui voudraient utiliser ces listes pour tester toutes les combinassions de cadenas ou autre. En supposant 10 secondes par test, il faudra 9 heures pour balayer tous les cas possibles de 4 chiffres pari 9.

 

 

 

 

 

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