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		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Nom >>> Illustration >>> Définition >>> Calculs >>> Comment constituer une liste

ARRANGEMENT – Introduction

Sélection avec ordre et sans répétitions

But Choix d'individus parmi d'autres, Mise en ordre, Classement … Principe Le premier est choisi et sort. Le deuxième est choisi parmi ceux qui restent (n – 1); il sort. Le troisième ne peut être sélectionné que parmi les n – 2 qui restent. Etc.

Approche
L'ordre a son importance. Un élément choisi, ne peut plus être re-choisi. C'est un tirage sans remise.

Nom
Une telle disposition s'appelle: un arrangement de p objets parmi n, un arrangement de n objets pris p par p, un p-arrangement de n.
Un n-arrangement est aussi appelé permutation.

Illustration

Permutations

Il s'agit de donner un rang

de 1 à n

à chacun n objets

Arrangements

Il s'agit de donner un rang

de 1 à p

à p parmi n objets

	1^er	2^e	3^e	4^e
A
B
C
D

	1^er	2^e
A
B
C
D

Ici est représentée la permutation

BDCA.

Ici est représenté l'arrangement BD.

Note: On remarque que, une fois le premier placé, il y a 3 possibilités pour le deuxième.

Arrangement – Définition
Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier tel que 1 p n Un arrangement de p éléments de E est une p-liste d'éléments de E deux à deux distincts	Voir Types de dispositions – Tableau complet

CALCULS

Dans la classe de 30 élèves, le mois dernier

Gérard était le premier

Gilbert le deuxième et

Daniel le troisième

Chacun a décidé de se battre pour la première place

Chacun a ses chances

Combien de tiercés sont possibles?

- La classe comporte	30 élèves
- Chaque élève peut être premier		30 possibilités
- La classe, sans le premier, comporte	29 élèves
- Chacun de ceux-là a sa chance d'être deuxième		29 possibilités
- La classe, sans le premier, ni le deuxième, comporte	28 élèves
- Chacun de ceux-là a sa chance d'être deuxième		28 possibilités
- Les choix sont bien indépendants les uns des autres
- En vertu du principe multiplicatif, le total des possibilités est le produit des possibilités individuelles	A = 30 x 29 x 28

Arrangements

Arrangements

Le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble à n éléments est le nombre noté A^p_n défini par:

A^p_n = n(n-1)(n-2) …(n-p+1) = n! / (n-p)!

Il s'agit du produit de p entiers consécutifs

Permutations

Permutations simples

Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est le nombre noté P_n défini par:

P_n = Aⁿ_n = n(n-1)(n-2) ...2 x 1 = n!

Il s'agit du produit des n entiers consécutifs, qui n'est autre que factorielle n

Voir Exemple de calculs / Suite

Permutations circulaires

Le nombre de permutations circulaires d'un ensemble à n éléments est le nombre noté PC_n défini par:

PC_n = (n-1)(n-2) ...2 x 1 = (n-1)!

Il s'agit du produit des n-1 entiers consécutifs

Ici, on peut choisir librement le premier, il reste n-1 possibilité pour le deuxième

Permutations à répétitions

Le nombre de permutations à répétition d'un ensemble à n éléments ayant des éléments qui se répètent k, h … fois est le nombre noté PR_n défini par:

PR_n = n! / (k! . h! …)

En effet, on trouvera k! arrangements identiques

Comment constituer une liste ?

Si vous disposer d'un logiciel comme Maple, la solution est immédiate.

Ces deux instructions with(combinat); permute(5, 3) listent les arrangements de 3 parmi 5 (par exemple):

[[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 3, 2], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 2], [1, 4, 3], [1, 4, 5], [1, 5, 2], [1, 5, 3], [1, 5, 4], [2, 1, 3], [2, 1, 4], [2, 1, 5], [2, 3, 1], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 1], [2, 4, 3], [2, 4, 5], [2, 5, 1], [2, 5, 3], [2, 5, 4], [3, 1, 2], [3, 1, 4], [3, 1, 5], [3, 2, 1], [3, 2, 4], [3, 2, 5], [3, 4, 1], [3, 4, 2], [3, 4, 5], [3, 5, 1], [3, 5, 2], [3, 5, 4], [4, 1, 2], [4, 1, 3], [4, 1, 5], [4, 2, 1], [4, 2, 3], [4, 2, 5], [4, 3, 1], [4, 3, 2], [4, 3, 5], [4, 5, 1], [4, 5, 2], [4, 5, 3], [5, 1, 2], [5, 1, 3], [5, 1, 4], [5, 2, 1], [5, 2, 3], [5, 2, 4], [5, 3, 1], [5, 3, 2], [5, 3, 4], [5, 4, 1], [5, 4, 2], [5, 4, 3]]

Comme exercice vous pouvez programmer cette fonction.

Sinon, vous pouvez utiliser le tableur. Un exemple avec les arrangements de 4 parmi 9 (il y en a 3 024) est disponible en List4P9. Vous trouverez sur cette page Excel la façon de constituer une liste personnalisée. Je vous conseille de mettre votre tableur en route avant le téléchargement.

On ne mettra jamais suffisamment en garde les utilisateurs qui voudraient utiliser ces listes pour tester toutes les combinassions de cadenas ou autre. En supposant 10 secondes par test, il faudra 9 heures pour balayer tous les cas possibles de 4 chiffres pari 9.

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