NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Calculs

 

Général

Théorie

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Permutations

P-liste

Dérangement

Exemples

Nombre

Divisibles par 2

Divisibles par 5

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nom

>>> Illustration

>>> Définition

>>> Calculs

 

 

 

 

 

 

ARRANGEMENT – Introduction

Sélection avec ordre est sans répétitions

 

 

 

But

*    Choix d'individus parmi d'autres,

*    Mise en ordre,

*    Classement …

 

Principe

*    Le premier est choisi et sort.

*    Le deuxième est choisi parmi ceux qui restent (n – 1); il sort.

*    Le troisième ne peut être sélectionné que parmi les n – 2 qui restent.

*    Etc.

 

 

 

 

 

 

Approche

 

L'ordre a son importance.

Un élément choisi, ne peut plus être re-choisi.

C'est un tirage sans remise.

 

 

 

Nom

 

Une telle disposition s'appelle:

*    un arrangement de p objets parmi n,

*    un arrangement de n objets pris p par p,

*    un p-arrangement de n.

Un n-arrangement est aussi appelé permutation.

 

 

 

Illustration

Permutations

Il s'agit de donner un rang 

de 1 à n

à chacun n objets

Arrangements

Il s'agit de donner un rang 

de 1 à p

à p parmi n objets

 

1er

2e

3e

4e

A

 

 

 

 

B

 

 

 

 

C

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

1er

2e

A

 

 

B

 

 

C

 

 

D

 

 

Ici est représentée la permutation

BDCA.

Ici est représenté l'arrangement BD.

 

Note: On remarque que, une fois le premier placé, il y a 3 possibilités pour le deuxième.

 

 

 

Combinaison – Définition

Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier tel que 1  p  n

 

Un arrangement de p éléments de E est une p-liste d'éléments de E deux à deux distincts

 

 

 

Voir Types de dispositions – Tableau complet

 

 

 

 

 

 

 

 

CALCULS

 

Dans la classe de 30 élèves, le mois dernier

*      Gérard était le premier

*      Gilbert le deuxième et

*      Daniel le troisième

 

Chacun a décidé de se battre pour la première place

*      Chacun a ses chances

*      Combien de tiercés sont possibles?

 

-       La classe comporte

30 élèves

 

-       Chaque élève peut être premier

 

30 possibilités

-       La classe, sans le premier, comporte

29 élèves

 

-       Chacun de ceux-là a sa chance d'être deuxième

 

29 possibilités

-       La classe, sans le premier, ni le deuxième, comporte

28 élèves

 

-       Chacun de ceux-là a sa chance d'être deuxième

 

28 possibilités

-       Les choix sont bien indépendants les uns des autres

 

 

-       En vertu du principe multiplicatif,

le total des possibilités est le produit

des possibilités individuelles

A = 30 x 29 x 28

 

 

Arrangements

Arrangements

*    Le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble à n éléments est le nombre noté Apn défini par:

 

Apn = n(n-1)(n-2) …(n-p+1) = n! / (n-p)!

 

*    Il s'agit du produit de p entiers consécutifs

 

Permutations

Permutations simples

*    Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est le nombre noté Pn défini par:

 

Pn = Ann = n(n-1)(n-2) ...2 x 1 = n!

 

*    Il s'agit du produit des n entiers consécutifs, qui n'est autre que factorielle n

Voir Exemple de calculs / Suite

 

Permutations circulaires

*    Le nombre de permutations circulaires d'un ensemble à n éléments est le nombre noté PCn défini par:

 

PCn = (n-1)(n-2) ...2 x 1 = (n-1)!

 

*    Il s'agit du produit des n-1 entiers consécutifs

*    Ici, on peut choisir librement le premier, il reste n-1 possibilité pour le deuxième

 

 

Permutations à répétitions

*    Le nombre de permutations à répétition d'un ensemble à n éléments ayant des éléments qui se répètent k, h … fois est le nombre noté PRn défini par:

 

PRn = n! / (k! . h! …)

 

*    En effet, on trouvera k! arrangements identiques

 

 

 

 

 

 

Suite

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*    Arrangements – Théorie

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