NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/06/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Dénombrement
Débutants Dénombrement	Études de cas				Glossaire Général
INDEX Dénombrement Vue globale	Mississippi	Quart de finale		Oiseaux
	Boules de couleur		Abracadabra et Mississippi
	Lettres en contact
		Sommaire de cette page >>> 2 bagues et 2 couleurs >>> 3 bagues et 2 couleurs >>> 4 bagues et 2 couleurs >>> 5 bagues et 2 couleurs >>> 6 bagues et 2 couleurs >>> Formule pour 2 couleurs >>> 2 bagues et 3 couleurs >>> 3 bagues et 3 couleurs >>> 4 bagues et 3 couleurs >>> Formule générale et tables

Bagues pour oiseaux

Nous disposons de bagues pour identifier les oiseaux. Ces bagues de différentes couleurs peuvent être posées sur les deux pattes de l'animal. Combien de combinaisons possibles?

Note: ce cas est théorique car pour les passereaux: pas plus de deux bagues par patte et la bague métal identifiant l'oiseau est obligatoire et bien sûr unique. Soit un maximum de quatre bagues dont celle en métal.

Cas d'une ou deux bagues de deux couleurs
Une bague sur les pattes d'un pigeon.	Elle est placée à gauche ou à droite, soit deux possibilités.
Deux bagues une en métal noir et une de couleur rouge. Soit: 2 sur une patte x 2 pattes; et 1 sur chaque patte x 2 pattes, d'une couleur ou l'autre x 2 = 4 possibilités.	2 x 4 = 8 possibilités

Cas trois bagues de deux couleurs
Trois bagues sur une patte, l'autre n'en a pas; 2 possibilités (3-0 et 0-3). Deux bagues sur la gauche et une sur la droite (2-1): les deux bagues peuvent être chacune rouge ou noire, soit 2^2 = 4 possibilités. La bague de l'autre côté peut être rouge ou noire, soit 2 fois plus de possibilités. Au total: 2^2 x 2 = 8 possibilités. Même chose avec une bague à gauche et deux à droite. Les combinaisons sont formalisées sur le tableau ci-dessous.		4 + 2 x 8 = 20 possibilités
Quantité par patte	Gauche		Droite	Possibilités
3 – 0	RRR NNN		/ /	2
2 – 1	RR RN NR NN		R N	2^2 x 2 = 8
1 – 2	R N		RR RN NR NN	2 x 2^2 = 8
0 – 3	/ /		RRR NNN	2
				4 + 2 x 2^3 = 20

Cas quatre bagues de deux couleurs
Quantité par patte	Gauche	Droite	Possibilités
4 – 0	RRRR NNNN	/ /	2
3 – 1	RRR RRN RNR RNN NRR NRN NNR NNN	R N	2^3 x 2 = 16
2 – 2	RR RN NR NN	RR RN NR NN	2^2 x 2^2 = 16
1 – 3	vu	vu	2^3 x 2 = 16
0 – 4	/ /	RRRR NNNN	2
			4 + 3 x 2^4 = 52

Cas cinq bagues de deux couleurs
Quantité par patte	Gauche	Droite	Possibilités
5 – 0			2
4 – 1			2^4 x 2 = 32
3 – 2			2^3 x 2^2 = 32
2 – 3			2^2 x 2^3 = 32
1 – 4			2 x 2^4 = 32
0 – 5			2
			4 + 4 x 2^5 = 132

Cas six bagues de deux couleurs
Quantité par patte	Gauche	Droite	Possibilités
6 – 0			2
5 – 1			2^5 x 2 = 64
4 – 2			2^4 x 2^2 = 64
3 – 3			2^3 x 2^3 = 64
2 – 4			2^2 x 2^4 = 64
1 – 5			2 x 2^5 = 64
0 – 6			2
			4 + 5 x 2^6 = 324

Formule générale pour deux couleurs

Pour n bagues de deux couleurs, la quantité de combinaisons pour les poser sur deux pattes est la suivante:

Q = 4 + (n – 1) 2ⁿ

Cas deux bagues de trois couleurs
Quantité par patte	Gauche	Droite	Possibilités
2 – 0	RR NN VV	/ / /	3
1 – 1	R N V	R N V	3 X 3
0 – 2	/ / /	RR NN VV	3
			6 + 3 x 3 = 15

Cas trois bagues de trois couleurs
Quantité par patte	Gauche	Droite	Possibilités
3 – 0	RRR NNN VVV	/ / /	3
2 – 1	RR RN RV NR NN NV VR VN VV	R N V	3^2 X 3 = 3^3
1 + 2	R N V	RR RN RV NR NN NV VR VN VV	3 X 3^2 = 3^3
0 – 3	/ / /	RRR NNN VVV	3
			6 + 2 X 3^3 = 60

Cas quatre bagues de trois couleurs
Quantité par patte	Gauche	Droite	Possibilités
4 – 0			3
3 – 1			3^3 X 3 = 3^4
2 + 2			3^2 X 3^2 = 3^4
1 – 3			3 X 3^3 = 3^4
0 – 3			3
			6 + 3 X 3^4 = 60

Conclusions
Formule générale Pour n bagues de trois couleurs, la quantité de combinaisons pour les poser sur deux pattes est la suivante: Q = 2 x 3 + (n – 1) 3^n Pour n bagues de k couleurs, la quantité de combinaisons pour les poser sur deux pattes est la suivante: Q = 2k + (n – 1) k^n Tabulation des possibilités (en jaune pour n bagues de k couleurs)

Voir	Football – parties Dénombrement – Index Trois dés et une urne
Aussi	Football Jeux – Index
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/aaaCAS/Pigeon.htm