NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

 

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Dénombrement

 

Vue globale

 

Jeux de nombres

 

Énigmes

 

Mississippi

Quart de finale

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Boules de couleur

Abracadabra et Mississippi

Lettres en contact

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> TRIANGLE-Diagonales

>>> CARRÉ-Diagonales – 3 lettres

>>> CARRÉ-Diagonales – k lettres

>>> CARRÉ-Droit

>>> Losange - Abracadabra

 

 

 

 

ABRACADABRA & MISSISSIPPI

en triangles et en carrés

 

Jeux avec des lettres disposées en grilles. Le cas des lettres disposés en carrés est traité sur la page mots carrés ou mots en grilles.

Sur cette page, comparaison entre dispositions droites ou en diagonales.

*      Avec les diagonales, le dénombrement implique les puissances de 2, et

*      Avec la disposition droite, le dénombrement implique le triangle de Pascal.

 

 

Approche

 

Les jeux de grilles sont populaires, voire parfois ésotériques.

Rares sont  les sites abordant le problème du dénombrement.

Petite revue.

 

 

Abracadabra et magie

Ici, le mot magique "abracadabra" ou "abrakadabra" est inscrit sur chaque ligne Il est tronqué pour donner cette forme de triangle.

Aujourd'hui utilisé par les magiciens, il représentait jadis une sorte de talisman.

Comme jeu de grille, ce modèle en triangle ne présente pas grand intérêt. Le mot ne peut être écrit que deux fois: ligne du haut et côté droit, en remontant.

Le mot semble symétrique (palindrome), mais ne l'est pas.

 

 

 

 

Quatre configurations

*      Grilles droites ou diagonales

*      Format triangle ou carré; voir aussi le losange.

 

Ici, avec trois lettres (AME).

Avec ces exemples simples, on constate la variété des dénombrements (2, 4, 8 ou 12).

Chaque lecture est appelée un mot, chacun représenté par un chemin sur la grille.

 

Le chemin part d'une lettre origine, dite pivot, et se dirige vers la lettre suivante:

*      parcours droit (horizontal ou vertical) pour les uns ou

*      parcours en oblique pour les autres.

 

 

 

 

 

 

TRIANGLE-Diagonales

 

Les lettres sont placées sur une grille en triangle. Une lettre nouvelle pour chaque ligne.

Combien de fois la suite de lettres (mots)?

 

Trois lettres

Avec A, se présentent deux directions, puis même chose avec B.

Total: 2 x 2 = 4 fois ABC.

 

Note importante: du fait de l'écriture des lettres par lignes, les trajets en rouge sont toujours descendants.

 

 

A

B

B

C

C

C

 

 

Quatre lettres

Le même type de décompte conduit à:
2 x 2 x 2 = 8 fois ABCD.

Total: T(4) = 23 mots

 

Cinq lettres

Le même type de décompte conduit à:
2 x 2 x 2 x 2 = 16 fois ABCDE.

Total: T(5) = 24 mots

 

k lettres

Total: T(k) = 2k – 1 mots

 

 

 

A

B

B

C

C

C

D

D

D

D

A

B

B

C

C

C

D

D

D

D

E

E

E

E

E

Cas typiques

 

T(9) = 28 = 256

T(11) = 210 = 1024

T(11) = 210 = 1024

T(15) = 214 = 16 384

T(20) = 219 = 524 288

 

AGAMEMNON

MISSISSIPPI

ABRACADABRA

DEMOCRATISATION

DÉSOXYRIBONUCLÉIQUES

 

 

CARRÉ-Diagonales – 3 lettres

 

Pour former le carré à partir du triangle, on commence par ajouter les lettres en rouge.

 

On a deux fois le triangle précédent: 2 x 4 mots,
sauf le mot en jaune qui est commun au deux triangles.

Total : 2 x 2² – 1 = 7 mots

 

Avec le troisième quadrant, on ajouté à nouveau un triangle initial (4 mots), sauf un en commun.

Total: 3 x 2² – 2  = 10

 

 

Avec le quatrième quadrant, on ajouté à nouveau un triangle initial (4 mots), sauf deux en commun. En fait, seulement deux chemins en plus pour atteindre le C du haut au centre.

Total: 4 x 2² – 4  = 12

 

Un dessin des trajets montre le décompte

*      4 chemins rouges;

*      4 x 2 = 4 chemins vert;

*      Total: 12.

 

 

C

B

A

C

B

B

C

C

C

 

C

C

B

B

C

A

C

B

B

C

C

C

 

C

C

C

B

B

C

A

C

B

B

C

C

C

 

 

 

CARRÉ-Diagonales – k lettres

 

Quatre lettres

Avec le même décompte que précédemment, on aurait:

*    4 fois le cas du triangle à quatre lettres, soit 4 x 23 = 32 mots;

*    4 fois les rayons rouges en double;

*    Total = 32 – 4 = 28 mots.

 

 Un dessin des trajets vérifie le décompte:

*    4 chemins rouges;

*    8 chemins verts;

*    8 chemins violets;

*    8 chemins ocre;

*    Total : 20 chemins.

 

Généralisation à k lettres

 

C(3) = 4 x 22 – 4 = 12

C(4) = 4 x 23 – 4 = 28

C(k) = 4 x 2k – 4

 

Note (Illustration du bas)

Il est important de remarquer que, sauf les rayons verts communs, tous les autres trajets se produisent dans leur propre secteur. Aucun ne vient empiéter le secteur voisin.

D'où le principe du dénombrement en quatre fois, moins les communs.

 

 

D

D

D

D

C

C

C

D

B

B

D

C

A

C

D

B

B

D

C

C

C

D

D

D

D

 

 

 

 

CARRÉ-Droit

 

Carré 5 x 5

Ce cas est traité en détail sur la page mots carrés ou mots en grilles.

Chaque quadrant est indépendant. Aucun chemin en commun.

 

Avec les cinq lettres du mot WAGON, sur cette grille, on peut lire (3 + 2 + 1) = 6 mots par quadrant, soit  4 x 6 = 24 mots au total.

 

Décompte

*      Ayant choisi WAH, il y a trois routes possibles (rouges);

*      Ayant choisi WAV, il y a deux routes possibles (vertes);

*      Ayant choisi WG, il y a une route possible bleue).

 

Analogie avec les combinaisons

Choix de 2 lettres parmi 4 => AB, AC, AD // BC, BD // CD => 3 + 2 + 1  = 6 cas ou combinaisons de 2 parmi 4.

 

Formule générale pour 2 k + 1  lettres

 

Exemples

 

   

 

Carré complet avec le mot WAGON

 

Chemins dans un quadrant

 

Voir Triangle de Pascal – Table des valeurs

Voir Combinaisons

 

 

Losange - Abracadabra

 

Le défi

Le mot ABRACADABRA se prête bien à cette disposition en losange.

Combien de fois ce mot dans ce losange ?

 

Notes:

Le chemin est toujours descendant malgré la présence de lettres identiques qui pourraient laisser penser qu'il existe des chemins latéraux ou remontant.

Le losange est un artifice de présentation et on pourrait tout aussi bien faire pivoter la figure de 45 ° et retrouver la disposition en carré vue ci-dessus pour un quadrant seul.

 

 

 

Dénombrement

Carré de six lettres de côté, soit 5 intervalles.

 

 

Vérification avec 8 lettres

Le losange est converti en carré.

 

 

Identifions les 20 chemins
(ci-dessous)

 

 

 

Carré ABRACADABRA – 4 x 252 = 1008 fois le mot

Merci à Jérôme Mayer pour ses contibutions

Voir ses pages ABRADABRA et BONNE NOUVELLE

 

 

 

 

Voir

*       Mississipi – Anagrammes

*       Mississippi en grille – Quantité de chemins

*       Arrangements – Exemples

*       DénombrementIndex

*       Trois dés et une urne

*       Quantité de nombres avec les chiffres d'un nombre

Aussi

*       Coefficients multinomiaux

*       États-Unis – Centre

*       JeuxIndex

Site

*       Abracadabra – Wikipédia

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