NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 06/06/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Dénombrement

 

Débutants

Dénombrement

Études de cas

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Dénombrement

 

Vue globale

 

Mississippi

Quart de finale

Oiseaux

 

Sommaire de cette page

>>> Quatre équipes

>>> Six équipes

>>> Huit équipes – Deux nationales

>>> Huit équipes – Trois nationales

>>> Formulation

>>> Bilan

 

 

 

 

Finales et matches nationaux 

 

Plusieurs équipes de football s'affrontent. Des équipes françaises sont en lice. Quelle est la probabilité qu'elles se rencontrent entre elles? Voici un raisonnement qui permet de se conforter tout au long du calcul.

 

Situation

Équipes internationales: A, B, C, D … Équipes françaises: X,  Y …

Probabilité de matches nationaux = tous les cas où les équipes nationales se rencontrent / toutes les rencontres possibles >>>

 

Exemple: quart de finale avec  8 équipes dont 3 nationales.

La probabilité d'un match national est de 1 sur 7 (14,3%) >>>

 

 

Quatre équipes: AB et XY

 

Si parmi quatre équipes deux sont françaises, quelle est la probabilité que les deux équipes nationales jouent ensemble?

 

Graphe des possibilités

 

Au bout du compte, l'équipe A jouera contre B, X ou Y soit trois possibilités.

*    Si A joue contre B alors X joue contre Y;

*    Si A joue contre X alors B joue contre Y; et

*    Si A joue contre Y alors B joue contre X;

Seul le premier cas conduit à un affrontement national (X contre Y).

 

Mise en tableau

 

A

B

X

Y

Équipes formées

1

 

 

 

 

AB / XY

2

 

 

 

 

AX / BY

3

 

 

 

 

AY / BX

 

Probabilité

Cas favorable

1

Cas possibles

3

 

La probabilité de matches nationaux est de 1 sur 3 soit 33%.

 

Cas possibles

On ne s'attache pas au déroulement du tirage, mais à son résultat. Le constat est que l'équipe A joue contre une autre équipe parmi les 3 autres disons B. Reste 2 équipes en lice. Qui jouent forcément ensemble

 

Cas favorable

Les équipes françaises X et Y jouent ensemble dans un seul cas.

 

Commentaires

Hep! Nous venons de voir les cas où A est pris en tête, mais pourquoi ne pas prolonger avec B?

Essayons:

*    B joue avec A: nous avons déjà vu ce cas AB/XY;

*    B joue avec X: alors BX/AY, cas déjà vu; et enfin,

*    B joue avec Y: alors BY/AX, cas également déjà vu

 

Conclusion: quelle que soit l'ordre de tirage des équipes, seul le résultat compte. On ne s'intéresse qu'au résultat final. Le sort d'une équipe en particulier détermine le sort des autres.

 

 

 

Six équipes dont deux françaises

 

Si parmi six équipes deux sont françaises, quelle est la probabilité de matches nationaux?

 

Tableau

Cadre rouge = cas précédent; lorsque les deux nouvelles équipes jouent ensemble, il existe trois possibilités pour les quatre autres, comme dénombré ci-dessus.

 

Probabilité

Cas favorables

3

=

1

Cas possibles

15

5

 

Cas possibles

Une fois le tirage réalisé, le constat est que l'équipe C (par exemple) joue contre une autre équipe parmi les 5 autres, disons D. Reste alors 6 – 2 = 4 équipes en lice. Le constat est que A, par exemple, joue contre l'une des 3 équipes restantes, disons B. Ne reste plus que les deux équipes X et Y qui évidemment jouent ensemble. Soit le décompte des cas possibles 5 x 3 = 15.

 

On résume de la façon suivante:

6 équipes

C peut jouer contre

5

disons D

4 équipes

A peut jouer contre

3

disons B

2 équipes

X peut jouer contre

1

Y

 

Total cas possibles

15

 

QP = 5 x 3 x 1 = produit des impairs successifs inférieurs à n.

Factorielle impaire.

 

Cas favorables

Si on constate que X et Y jouent ensemble, quelles sont les possibilités pour les 4 autres équipes? Prenons l'équipe A: elle peut jouer contre l'une des 3 autres et alors les deux qui restent jouent, bien entendu, ensemble. Soit 3 possibilités.

 

 

 

Huit équipes en quart de finale

Deux sont françaises

 

Cas possibles

Il y a 8 équipes au départ. Une fois la première équipe choisie, il en reste 6; puis 4 et enfin 2. Voici le décompte des cas possibles:

 

8 équipes

A peut jouer contre

7

disons B

6 équipes

C peut jouer contre

5

disons D

4 équipes

E peut jouer contre

3

disons F

2 équipes

X peut jouer contre

1

Y

 

Total cas possibles

105

 

 

Cas favorables

Considérons le cas où X et Y jouent ensemble. Il reste tous les cas où 6 autres équipes s'affrontent deux par deux. Soit 15 cas selon le décompte précédent.

 

Probabilité

Cas favorables

15

=

1

Cas possibles

105

7

 

 

 

 

Huit équipes en quart de finale

Dont trois sont françaises

 

Cas possibles

Il y a 8 équipes au départ. Le décompte des cas possibles n'a pas changé:

 

Total cas possibles

105

 

Cas favorables

Trois équipes françaises X, Y et Z;

Constatons les possibilités de jeux des équipes entre elles: XY, XZ et YZ.

Une fois la doublette nationales formée, les 6 autres équipes qui reste, y compris la nationale esseulée, forment des équipes deux à deux comme d'habitude. Soit, pour 6 équipes: 15 cas possibles.

Bilan 3 x 15 = 45.

 

Probabilité

Cas favorables

45

=

3

Cas possibles

105

7

 

Tableau des 105 tirages possibles et des 45 en matchs nationaux

 

 

Formulation

 

La quantité d'équipe n est supposée paire. Il y p équipes nationales.

Quelle est la probabilisé que, suite au tirage des matches, les équipes nationales s'affrontent?

 

Cas possibles

Une des équipes peut se retrouver face à n-1 équipes. Ceci étant donné, une équipe parmi les n-2 qui restent peut affronter l'une des  n-3 autres. Etc.

QP = (n-1)(n-3)(n-5) … 5 x 3 x 1

Factorielle impaire.

 

Cas favorables

Une équipe nationale se trouvant formée, la quantité d'autres matches possibles est celle relative à n-2 joueurs.

Or s'il y a p équipes nationales, il est possible de former Cp2 matches nationaux.

QF = (n-3)(n-5) … 5 x 3 x 1 x Cp2

 

Probabilité

C'est le rapport des deux quantités, en remarquant qu'une bonne part des facteurs de QF se retrouve dans QP:

 

 

Voir Factorielle double

 

 

 

Bilan

 

Probabilité que deux équipes nationales s'affrontent alors qu'elles sont p parmi n équipes au total.

 

En jaune, les cas étudiés ci-dessus.

 

Exemple: avec 10 équipes dont 3 nationales, un match entre nationaux se présentera une fois sur trois, en moyenne (P = 33%).

Note: Les fractions données ci-dessus sont celles qui explicitent le total des cas possibles et favorables. La formule donnée ci-dessus donne directement les fractions simplifiées. Une valeur supérieure à 1 (cases grises) indique que dans 100% des cas, il y aura au moins un match national.

 

Fractions données par la formule:

4

6

8

10

2

1/3

1/5

1/7

1/9

3

1

3/5

3/7

1/3

4

2

1 1/5

6/7

2/3

 

 

 

 

 

Voir

*       Football – parties

*       DénombrementIndex

*       Trois dés et une urne

Aussi

*       Football

*       JeuxIndex

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/aaaCAS/QuartFin.htm