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Finales et matches nationaux Plusieurs équipes de football s'affrontent. Des
équipes françaises sont en lice. Quelle est la probabilité qu'elles se rencontrent
entre elles? Voici un raisonnement qui permet de se conforter tout au long du
calcul. Situation Équipes internationales: A, B, C, D … Équipes françaises: X, Y … Probabilité de
matches nationaux = tous les cas où les équipes nationales se rencontrent /
toutes les rencontres possibles >>> Exemple: quart de finale avec 8 équipes dont 3 nationales. La probabilité d'un match national est de 1 sur 7
(14,3%) >>> |
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Si parmi quatre équipes deux sont françaises, quelle est la probabilité
que les deux équipes nationales jouent ensemble? Graphe
des possibilités
Au bout du compte, l'équipe A jouera contre B, X ou Y soit trois
possibilités.
Seul le premier cas conduit à un affrontement national (X contre Y). Mise
en tableau
Probabilité
La probabilité de matches nationaux est de 1 sur 3 soit 33%. Cas
possibles On ne s'attache pas au déroulement du tirage, mais à son résultat. Le constat
est que l'équipe A joue contre une autre équipe parmi les 3 autres disons B. Reste 2
équipes en lice. Qui jouent forcément ensemble Cas
favorable Les équipes françaises X et Y jouent ensemble dans un seul cas. Commentaires Hep! Nous venons de voir les cas où A est pris en tête, mais pourquoi
ne pas prolonger avec B? Essayons:
Conclusion: quelle que soit
l'ordre de tirage des équipes, seul le résultat compte. On ne s'intéresse
qu'au résultat final. Le sort d'une équipe en particulier détermine le sort
des autres. |
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Si parmi six équipes deux sont françaises, quelle est la probabilité de
matches nationaux? Tableau
Cadre rouge = cas précédent; lorsque les deux
nouvelles équipes jouent ensemble, il existe trois possibilités pour les
quatre autres, comme dénombré ci-dessus. Probabilité
Cas
possibles Une fois le tirage réalisé, le constat est que l'équipe C (par exemple)
joue contre une autre équipe parmi les 5 autres, disons D. Reste alors 6 – 2 = 4 équipes
en lice. Le constat est que A, par exemple, joue contre l'une des 3 équipes restantes, disons
B. Ne reste plus que les deux équipes X et Y qui évidemment jouent ensemble.
Soit le décompte des cas possibles 5 x 3 = 15. On résume de la façon suivante:
QP = 5 x 3 x 1 = produit des impairs successifs inférieurs à
n. Factorielle impaire. Cas
favorables Si on constate que X et Y jouent ensemble, quelles sont les
possibilités pour les 4 autres équipes? Prenons l'équipe A: elle peut jouer
contre l'une des 3 autres
et alors les deux qui restent jouent, bien entendu, ensemble. Soit 3 possibilités. |
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Huit équipes en quart de
finale Deux sont françaises |
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Cas
possibles Il y a 8 équipes au départ. Une fois la première équipe choisie, il en
reste 6; puis 4 et enfin 2. Voici le décompte des cas possibles:
Cas
favorables Considérons le cas où X et Y jouent ensemble. Il reste tous les cas où
6 autres équipes s'affrontent deux par deux. Soit 15 cas selon le
décompte précédent. Probabilité
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Huit équipes en quart de
finale Dont trois sont françaises |
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Cas
possibles Il y a 8 équipes au départ. Le décompte des cas possibles n'a pas
changé:
Cas
favorables Trois équipes françaises X, Y et Z; Constatons les possibilités de jeux des équipes entre elles: XY, XZ et
YZ. Une fois la doublette nationales formée, les 6 autres équipes qui
reste, y compris la nationale esseulée, forment des équipes deux à deux comme
d'habitude. Soit, pour 6 équipes: 15 cas possibles. Bilan 3 x 15 = 45. Probabilité
Tableau des 105 tirages
possibles et des 45 en matchs nationaux
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La quantité d'équipe n
est supposée paire. Il y p
équipes nationales. Quelle est la probabilisé que, suite au tirage des matches, les équipes
nationales s'affrontent? Cas
possibles Une des équipes peut se retrouver face à n-1 équipes. Ceci étant donné, une équipe parmi les n-2 qui restent peut affronter
l'une des n-3 autres. Etc. QP =
(n-1)(n-3)(n-5) … 5 x 3 x 1 Factorielle impaire. Cas
favorables Une équipe nationale se trouvant formée, la quantité d'autres matches
possibles est celle relative à n-2
joueurs. Or s'il y a p équipes
nationales, il est possible de former Cp2
matches nationaux. QF =
(n-3)(n-5) … 5 x 3 x 1 x Cp2 Probabilité C'est le rapport des deux quantités, en remarquant qu'une bonne part
des facteurs de QF se retrouve dans QP:
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Voir Factorielle double
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Probabilité que deux équipes nationales s'affrontent alors qu'elles
sont p parmi n équipes au total.
En jaune, les cas étudiés ci-dessus. Exemple: avec 10 équipes dont 3
nationales, un match entre nationaux se présentera une fois sur trois, en
moyenne (P = 33%). Note: Les fractions données
ci-dessus sont celles qui explicitent le total des cas possibles et
favorables. La formule donnée ci-dessus donne
directement les fractions simplifiées. Une valeur supérieure à 1 (cases
grises) indique que dans 100% des cas, il y aura au moins un match national. Fractions données par la formule:
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