NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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INDEX

Dénombrement

 

Vue globale

 

Mississippi

Quart de finale

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Anagrammes sous contraintes – PSI

>>> Anagrammes sous contraintes – PxP

>>> Mots de 4 lettres

 

 

 

 

Anagrammes de MISSISSIPPI

sous contraintes

 

Le nom de cette ville des États-Unis se prête idéalement au jeu du décompte des anagrammes de ce mot.

Une anagramme valable de ce mot ne compte que 5 lettres: pipis; ou 6 lettres avec missis (mesdemoiselles) en anglais

Ici, nous cherchons toutes les possibilités d'échange des lettres. On se donnera également des contraintes.

 

 

Approche – Anagrammes simples

 

Le mot Mississippi compte 11 lettres.

La quantité de permutations des lettres ne présente pas d'intérêt du fait de la répétition des lettres.

Il faut chercher autre chose.

 

Quantité de permutations

 

P =11! = 39 916 800

La méthode des coefficients multinomiaux tient compte de ces répétitions. Avec 11 lettres dont 1 M,  4 I,   4 S et  2 P.

 

Quantité d'anagrammes

 

 

Méthode directe par élimination des redondances (coefficients multinomiaux)

 

On explique la division par le calcul de la quantité des répétitions de chaque lettre.

 

Attention: division par la quantité de répétitions (11! / 4!) et non soustraction (11! – 4!).

 

De manière imagée, certains parlent de la méthode du berger: ayant compté les pattes des moutons, il faut diviser par 4 pour connaitre la quantité de moutons.

 

 

Par exemple

 

La lettre "I" est présente quatre fois. Tous les cas présentant une permutation de ces quatre "I" sont identiques, donc redondants; or, ils sont au nombre de 4! D'où la division par factorielle 4.

 

 

Méthode alternative par les combinaisons

 

Il s'agit de placer:

*    4 lettres I parmi 11 positions; puis

*    4 lettres S parmi 7 (=11 – 4) positions; puis

*    2 lettres P parmi 3 (7 – 4) positions.

 Les actions sont indépendantes et les possibilités se multiplient.

 

 

 

 

 

Comparaison des résultats obtenus par les deux méthodes

 

 Certains sites présentent un calcul avec MISSISSIPPI mal orthographié; évidemment le résultat est différent.

 

 

 

Anagrammes sous contraintes – PSI

 

Nous ajoutons la contrainte suivante:

Pas de PSI dans les anagrammes.

 

MISSISSIPPI   OUI

PSIMSISSIPI   NON

 

Pour éliminer les cas où le groupe PSI apparaît, on considère ce groupe comme un tout. Au lieu de 11 objets, nous en avons maintenant 9.

 

 

PSI, M, S, I, S, S, I, P, I

 

n  = 9 avec 3 S et 3 I.

 

 

La quantité d'anagrammes de Mississippi sans PSI serait la différence.

34 650 – 10 080 ?

 

En fait, pas tout à fait, car nous avons encore des doublons. Il faut tenir compte des cas où PSI est présent deux fois; pas trois, car il n'y a que deux P.

 

 

PSIMSISSIPI   OUI

PSIMSISISPI   NON

 

Cette fois, l'ensemble des objets à considérer compte 7 objets.

 

PSI, PSI, M, S, S, I, I

 

n  = 7 avec 2 S et 2 I

        et sans oublier 2 PSI

 

 

 

Le nombre de permutations qui contiennent le groupe PSI est la quantité de celles qui contiennent au moins PSI, moins  la quantité de doublons.

QPSI = 10 080 – 630 = 9 450

 

Bilan, la quantité d'anagrammes de MISSISSIPPI sans PSI est égal à:

 

34 650 – 9 450 = 25 200

 

 

Anagrammes sous contraintes – PxP

 

Nous ajoutons la contrainte suivante:

Les deux P sont séparés

 

MISSISSIPPI   NON

MISSISSPIPI   OUI

Supposons les deux P ensembles.

Ce seront des cas à exclure.

 

PP, M, I, S, S, I, S, S, I, I

 

n  = 10 avec 4 S et 4 I

 

Soit le nombre d'anagrammes de MISSISSIPPI sans avoir PP

34 650 – 6 300 = 28 350

 

 

 

Mot de quatre lettres

 

Combien de mots de quatre lettres peut-on former avec les lettres de MISSISSIPPI?

 

On va examiner les différents cas les uns après les autres.

MISSISSIPPI

Quatre sortes de lettres: (M1, I4, S4, P2)

Mots de 4 lettres, toutes différentes.

Ce sont toutes les permutations de quatre lettres.

4! = 24

Mots de 4 lettres avec une lettre répétée deux fois seulement; les deux autres sont distinctes.

Elles sont 3: {I, S, P}

3 façons de choisir une lettre répétée.

Choix des 2 distinctes parmi les 3 restantes: (3, 2) = 3.

Manière de permuter ces lettres: 4! / 2! = 12.

Bilan: 3 x 3 x 12 = 108

 

Mots de 4 lettres avec une lettre répétée trois fois seulement.

Elles sont 2: {I, S}

2 façons de choisir une lettre répétée.

3 choix pour la lettre restante

Manière de permuter ces lettres: 4! / 3! = 4.

Bilan: 2 x 3 x 4 = 24

 

Mots de 4 lettres avec une lettre répétée quatre fois.

Elles sont 2: {I, S}

Les deux possibilités sont IIII et SSSS

 

Mots de 4 lettres avec deux lettres distinctes répétées deux fois.

Elles sont 3: {I, S, P}

3 façons de les choisir

Manière de permuter ces lettres: 4! / (2! x 2!) = 6.

Bilan:  3 x 6 = 18

 

Bilan

Quantité de mots de 4 lettres possibles avec les lettres de MISSISSIPPI.

 

24 + 108 + 24 + 2 + 18 = 176

 

 

 

 

 

 

Voir

*       Arrangements – Exemples

*       DénombrementIndex

*       Trois dés et une urne

Aussi

*       Coefficients multinomiaux

*       États-Unis – Centre

*       JeuxIndex

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