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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 01/10/2005

 

 

-Ý-   FAQ - Foire aux Questions

ARITHMÉTIQUE

/ Constantes

 

 

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>>> Pi est-il INCOMMENSURABLE ?

>>> QUADRATURE DU CERCLE & CALCUL de Pi

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FAQ - Pour commencer votre lecture sur le même sujet

>>>  ON MESURE TRÈS FACILEMENT PI, ALORS POURQUOI TANT D'HISTOIRES

 

 

 

Rubrique

Pi est-il INCOMMENSURABLE ?

 

Question

Je ne parviens pas à croire malgré toutes les démonstrations de génies mathématiques et les calculs de nos super-ordinateurs que Pi soit infini car c'est tout bonnement impossible.

Si on multiplie le rayon par un chiffre infini, on devrait obtenir une aire ou un périmètre infini, ce qui n'est pas le cas. Il y a donc quelque chose qui heurte le  sens.

 

Réponse

Attention à ne pas confondre les types d'infinis

C'est la quantité de chiffres après la virgule qui est infinie, et non pas la valeur du nombre

Essayons d'y voir plus clair:

Dans notre système de numération de position,

plus un chiffre est loin de la virgule

moins il "pèse":

en 3e position il vaut 1/1000 et,

en 6e position il ne vaut plus que 1 /1000 000

Lorsqu'on ajoute des chiffres loin derrière la virgule, il ne valent plus grand chose

Lorsqu'on cherche plus de décimales, on fignole en quelque sorte!

Pour Pi, sa valeur reste voisine de 3,14

En fait:

jamais plus petit que 3,14, mais

jamais plus grand que 3,15

donc loin d'être infini en valeur

 

Question

Pi malgré son grand charme mystérieux  n'est, après tout, qu'un pourcentage de 4. Car  3,1416 / 4 = 78,54%, rapport du cercle  au carré dans lequel il est circonscrit.

Il n'est donc pas VRAIMENT un concept incommensurable (me dis-je)

 

Réponse

D'abord, il vaudrait mieux écrire:

avec 2 décimales:     3,14… / 4 = 78,53 …%

avec 4 décimales: 3,1415… / 4 = 78,5398 …%

Je pense que le mot incommensurable (pas mesurable franchement) est déroutant

On utilise aujourd'hui le mot irrationnel (pas de ration franche)

Que l'on ne peut pas partager nettement, franchement

Que l'on ne peut pas représenter sous la forme d'une fraction, ni d'un pourcentage net

Essayons d'y voir plus clair:

Il existe au moins trois races de partages (pour ce qui concerne notre propos)

§        Partage net de chez net

Partage en moitié: fraction 1/2 ou, exprimé en décimal 0,5

§        Partage simplement net, mais il ne faut pas y regarder de trop près

Partage en tiers: fraction 1/3 et en décimal 0,333333333…une infinité de 3

Partage pas complètement net, car une infinité de décimales

Plus je veux de précision, plus je dois prendre de 3

§        Partage non net

Prenons le partage de la diagonale du carré par son côté

Ce rapport vaut Racine de 2

Soit 1,41421356….une infinité de chiffres différents

Ou encore 141,421356….infinité de chiffres différents en %

Ce rapport ne peut pas s'exprimer sous la forme d'une fraction

Comme beaucoup de nombres, Pi appartient à cette catégorie de nombres dits IRRATIONNELS

Plus on veut de précision, plus il faut ajouter de décimales

Il n'y a pas de fraction pour les représenter avec une précision infinie (comme on le fait avec 1/2 ou 1/3)

 

Question

Donc je continue à être obsédée par Pi...et à chercher des renseignements. Je n'ai pas trouvé la démonstration  qui donne Pi égal à 3,1416...et quelques millions de poussière de chiffres.
A partir de quelle RAISONNEMENT mathématique est-on arrivé à ce chiffre là?

 

Réponse

Un cercle est en fait un polygone régulier ayant une infinité de côtés

On connaît exactement la valeur du périmètre d'un polygone régulier en fonction de la longueur du côté

On calcule le périmètre d'un polygone qui a de plus en plus de côtés

Plus, on considère de côtés et plus on obtient une valeur proche de celle de Pi

 

Pour vous rassurer sur le caractère limité du nombre Pi, je dois dire que même les Anciens avaient imaginé de calculer la valeur par défaut et la valeur par excès

Il prenaient deux polygones, l'un intérieur au cercle et l'autre extérieur

Ils obtenaient ainsi un encadrement de la valeur de Pi

 

Les méthodes de calcul sont aujourd'hui plus sophistiquées mais procèdent du même principe

Dans la pratique, on n'a jamais besoin de plus de 10 à 20 décimales, ce qui correspond déjà à une précision hallucinante

Ce sont les mordus de théorie des nombres qui calculent tant de décimales. Ils tentent de déceler une forme particulière dans Pi: comme par exemple: est-ce que tous les chiffres de 0 à 9 se retrouvent également répartis parmi toutes ces décimales

 

Question

Est-ce que le centre d'un carré  se trouve bien à l'intersection des diagonales allant d'un angle à l'angle opposé?

Est-ce que la distance moyenne du centre d'un carré de superficie quelconque par rapport à tous les points du carré est la même que celle de la distance moyenne du centre de n'importe quelle figure géométrique de même surface à tous les points de cette figure?

 

Réponse

Le centre du carré est bien le point d'intersection des diagonales du carré

C'est aussi le centre de gravité (en gros, la matière est répartie uniformément autour de ce point, et suspendu par ce point, le carré restera horizontal)

Pour le cercle, c'est son centre qui joue ce rôle

Toutes les figures et tous les volumes ont un centre de gravité. Il est parfois difficile à déterminer lorsque l'objet est irrégulier: il se trouve dans l'alignement du fil qui vous sert à le pendre.

 

Question

On divise un carré par ses diagonales et ses médiatrices, ce qui donne 8 triangles rectangles (…) Pourquoi le rapport du carré de l'hypoténuse d'un de ces triangles rectangles à la superficie du carré est-il toujours de 3,20?

Cela peut-il avoir un rapport (!!!) avec Pi?

 

Réponse

Je suis un peu embarrassé, car je ne vois pas d'où vient ce 3,20

En tout cas soyez certaine, il n'y a pas de rapport avec Pi

Voyons, ce que j'ai compris, et le calcul correspondant

Si j'ai bien compris, voici le dessin

Vous avez calculé le rapport h² / a²

Calculons h

h = 1/2 D

h² = 1/4 D²

D² = a² + a² (théorème de Pythagore)

D² = 2 a²

h² = (1/4) (2a²) = 1/2 a²

Et finalement votre rapport

h² / a² = (1/2 a²) / a² = 1/2 = 0,5

 

Pour poursuivre vos recherches

Sur Pi

http://yoda.guillaume.pagesperso-orange.fr/FAQ1/Constant.htm#quadra

Sur les rationnels

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/NbDebut.htm

 

-Ý- 

 

 

Rubrique

QUADRATURE DU CERCLE & CALCUL de Pi

Question

J'ai cherché comment calculer la surface d'un cercle sans utiliser le nombre Pi.

Je trace un carré dans lequel est inscrit un cercle. Je constate tout de suite que le carré est plus grand que le cercle. Je me dis donc qu'il faut enlever un pourcentage de l'aire du carré pour trouver l'aire du cercle. J'ai essayer de calculer ce pourcentage. Après beaucoup de calculs, je l'ai trouvé. Pour trouver l'aire du cercle, il faut faire :

L'aire du carré moins 21,46 01 83 66 02 55 16 90 38 43 39 15 41 80 2 %

Aire du cercle = (2r)² - 21.46018366%.

Pourtant, mon cousin ingénieur me dit que 0,214… = (4 - Pi)/4

 

Qui a raison: avec ou sans Pi ?

 

Réponse

1) D'abord j'apprécie beaucoup la passion et les recherches

C'est la seule façon de sentir les choses et de progresser sur du solide

Mille fois bravo !

Cependant, le cousin a raison; mais toi aussi

Voyons pourquoi

 

2) COMPARAISON À LA THÉORIE DU CERCLE

Cette formule s'écrit en fait

A = (2r)² ( 1 - 0,214…)

Or l'aire du cercle est égale à

S = 3,14… r² = (4 - 0,86…)r² = 4 r² (1 - 0,214…) 

Calcul du nombre:

S = Pi. r² = 4 r² (1 - 0,214…)

Pi =   4 (1 - 0,214…)

0,214… = (4 - Pi) / 4 = 1 - Pi/4

On trouve bien ton nombre

Pour ton info (avec 100 chiffres):

Pi = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 862803482 5342117068

1 - Pi/4 = 0,2146018366 0255169038 4339154180 1242789507 0765015622 3544756263 8519230458 9842844775 0342991293 6644707330

À comparer au nombre que tu as trouvé: pas mal ton calcul !

Mais le cousin a raison: l'ombre de Pi est caché à l'intérieur de ton nombre

Normal, il est ingénieur comme moi …

Mais, pour l'instant, on a un peu l'impression de tourner en rond … sur le cercle

 

3) VOYONS JUSTEMENT LE CALCUL de Pi

C'est joli de dire que l'aire du cercle est

S = Pi . r²

Mais, comment calculer la valeur de Pi

C'est là où tu as raison, il faut bien trouver un truc

Et tu en as trouvé un.

 

Il y a plusieurs grandes classes de types de calcul

a) Il y a la méthode égyptienne: elle consiste à partir d'un carré (tiens, tiens…) et, à retirer des carrés ou des morceaux de carrés (triangles)

Voir en http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiHistor.htm#Egypte

b) Il a la méthode des polygones: elle consiste à calculer l'aire des 2 polygones intérieur et extérieur au cercle. On obtient de plus en plus de décimales justes pour Pi en augmentant la quantité de côtés

Voir en

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiCalcul.htm#Polygone

c) Il a les méthodes utilisant des formules répétitives ( que l'on appelle des développements) . Plus on répète la formule plus on obtient de décimales de Pi

Ce  sont ces méthodes qui donnent des records de calcul de décimales

Aujourd'hui, on connaît plus de 50 milliards de chiffres dans Pi

Voir en

Même page que ci-dessus

 

4) NATURE DE Pi

Quelle que soit la manière de s'y prendre, on ne trouvera jamais

- ni toutes les décimales de Pi

- ni une fraction, car Pi est irrationnel (démonstration Lambert 1761): ce qui veut dire que les décimales de Pi se sont pas répétitives

- ni une solution d'une équation, car Pi est transcendant (démonstration Lindemann 1882): ce qui veut dire qu'il n'existe pas de formule permettant de décrire Pi (sauf des formules répétitives sans fin, les développements)

On se pose bien d'autres question sur Pi: est-il normal ? On ne sait pas:

on ne sait pas si les décimales sont statistiquement bien réparties:

autant de 1 que de 2 que de 3 …

Voir Propriétés de Pi

 

5) POUR POURSUIVRE

Si tu ne connais pas encore, je pense que

les fractions continues (fractions à étage) devraient t'intéresser

Elles permettent de représenter Pi (et les autres nombres qui ne se laissent pas faire) de façon élégante et de trouver tout un tas de fractions de plus en plus précises pour les représenter

Voir en

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/FracCont.htm

 

Pour finir, si tu veux vraiment faire le tour de Pi et de tout ce qui l'entoure (comment on a trouvé tout cela, tentatives de calculs et de constructions de Pi à la règle et au compas …), je te conseille un livre génial et abordable:

Le fascinant nombre Pi

Jean-Paul Delahaye (le Hubert Reeves des maths)

Pour la Science - Belin - 1997

220 pages

 

 

 

 


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