NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Constante

 

Débutants

Constante PI

Généralités

 

Glossaire

PI

 

 

INDEX

Constante PI

 

Introduction

Calcul

Formules

Propriétés

Historique

Valeur

Décimales

Curiosités

 

Sommaire de cette page

>>> Méthode des polygones

>>> Algorithme d'Archimède

>>> Algorithme d'Al Kashi

>>> Formule de Viète

 

 

 

 

 

CALCUL de   

 

 

*    La constante  ne pourra jamais être connue avec plus de 10 77 décimales.

*    C'est le maximum calculable et mémorisable sur des supports physiques, selon certains.

*    En fin 2002, l'équipe de Kanada  a calculé: 1 241 100 000 000 décimales.

 

Voir Actualités 

 

 

MÉTHODE DES POLYGONES – Approche

Calcul de l'aire à périmètre constant

Périmètre = 3 x 4 = 12

Hauteur du triangle: (4² – 2²) = 12

Aire = 212  = 43  =  6,92…

 

Périmètre       = 4 x 3 = 12

Aire du carré  = 3 x 3  =  9

 

Périmètre = 6 x 2 = 12

Hauteur triangle = (2² – 1²) = 3

Aire trg équilatéral = 3 x 1 = 3     

Aire hexagone = 6 x 3 = 10,39…

 

Périmètre = 12

Rayon      = 12/(2) = 1,91…

Aire du disque =  (1,91)² = 11,46…

 

À périmètre égal, c'est le disque qui occupe la plus grande surface.

 

Voir Principe du calcul en dodécaèdre / Isopérimètre

 

 

Algorithme   d'Archimède

 

*  Méthode algorithmique de calcul d'aires et de volumes par exhaustion.

Semble plutôt due à Eudoxe de Cnide (408-355 av. J.-C. )

Archimède (287-212 av. J.-C.) la perfectionné indubitablement.

 

*  Il s'agit d'encadrer l'aire du disque par les polygones  inscrit et circonscrit pour un nombre de côté croissant.

 

 

Formules

 

Avec un cercle de référence de diamètre 1,

pn et Pn encadrent la valeur de .

 

Calculs

 

 

 

 

 

Algorithme d'Al Kashi (environ 1436):

 

*      Notations

 

bn    = BMn

b2n   = BM2n

un    = AMn

u2n   = Am2n

 

*      Formules

 

bn2 = 4R2 – un2

u2n = R(2R + un)

Voir Algorithme

 

 

Formule de Viète (1540-1603)

 

*      En 1592, François Viète a trouvé une formule qui permet de trouver le périmètre du polygone lorsqu’on double le nombre de côtés.

 

 

*      Son développement engendre la première formule infinie pour .

 

 

*      Pour cela, il faut utiliser la formule:

Passage du carré à l'octogone

inscrits dans le cercle.

 

 

Les angles successifs sont /2 pour le carré, /4 pour l'octogone, /8 pour le polygone à 16 côtés …

Voir Produit de Wallis / Formules pour Pi

 

 

 

Algorithme de Cusa  (1401-1464)

r2        = 1/2

rn+1     = (Rn + rn) / 2

 

R2       = 1

R3           = 1 / 2 = 2 / 4

Rn+1    =  ( Rn . rn+1 )

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Formules donnant Pi

*    Pi - Glossaire

*    Pi - Dictionnaire des nombres

*    Cercle

Voir

*    Aire sous la parabole

*    Arctg

*    Calcul mentalIndex

*      Construction approchée de Pi

*    Dodécagone

*    GéométrieIndex

*    Isopérimètre

*    Nombres premiers dans Pi

*    Racine de 8

*    Réduites de Pi - Calculs

*    Théorie des nombres Index

Site

*    L'Univers de Pi de Boris Gourevitch

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiCalcul.htm

 

 

 

 

 

 

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