NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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FRACTIONS

 

Débutants

Fractions

Fractions continues

 

Glossaire

Fractions

 

 

INDEX

 

Fractions

 

Calculs

Généralités

Valeurs

Pell (résolution)

Analogie rectangle

Calcul

Calendriers

Propriétés

Ramanujan

Engrenages

 

Sommaire de cette page

>>> Fraction continue – Approche

>>> Types

>>> Calculs

>>> Réduites et approximation d'un nombre irrationnel

 

 

 

 

FRACTIONS CONTINUES

ou "fractions à étages"

 

Fractions de type escalier qui descend (souvent) sans fin.

Cette fraction continue est égale au nombre d'or

 

Les fractions continues sont très utiles pour calculer les meilleures approximations de nombres réels.

Anglais: Continued fraction

 

  

Fraction Continue – Approche 

 

Pour apprécier une quantité, on donne souvent une fraction qui approche la valeur, ou des sommes de fractions.

 

 

Cet objet mesure 5,51 cm

Ou environ: 5 cm et demi, soit 5 + 1/2

Ou précisément: 5 + 1/2  + 1/100

 

Parfois, pour être plus précis: on utilise des fractions à étage.

   

  Par exemple: constante Pi

3,1415… =  3 +

1

7 +

1

 

15

 

 

Fraction simple

Fractions avec numérateur unité

 

 

Fractions avec numérateur quelconque

 

 

 

Fraction à étages

Fractions avec plusieurs barres de fraction.

 

 

 

Notations abrégées  (numérateurs à 1)

Fraction continue développée

 

 

Notation abrégée classique

 

 

Alternative (dite à la française)

 

 

 

140 / 11 = [12 ; 1 , 2, 1 , 2]

 

 

 

  

 

Fraction Continue – Types

 

Premier terme à 0 ou 1 ou quelconque.

 

 

 

 

 

Numérateurs à 1 ou quelconque

 

Note: les numérateurs peuvent être tous différents.

 

 

 

Fraction continue finie ou infinie

 

Note: le nombre réel peut être décimal, périodique ou non périodique.

 

 

La valeur d'une fraction continue arrêtée au rang n est une approximation du nombre N qu'elle représente. Cette fraction est appelée réduite. C'est la meilleure approximation et en passant aux rangs suivants, les réduites convergent vers le nombre N.

Voir DicoMot / Racine de 2

 

 

 

 

 

 

Fraction continue algébrique

 

 

 

 

   

Calculs – Exemples


 

 

 

À partir de ces exemples de calcul, vous pouvez imaginez comment passer d'une fraction simple à une fraction continue: en faisant le chemin inverse de celui montré ci-dessus.

 

 

 

Réduites et approximation d'un nombre irrationnel

 

La fraction continue tronquée est appelée réduite du nombre. (Anglais: convergent; terme qui apparaît aussi en français).

 

La succession des réduites encadre le nombre par défaut pour les dénominateurs pairs et en excès pour les impairs.

 

On dit que la réduite offre une approximation diophantienne du nombre irrationnel.

 

Et c'est la meilleure approximation possible du nombre irrationnel avec des fractions.

 

 

Exemple: 3e réduite de racine de 2
 

 

Théorème de la meilleure approximation

 

Si la réduite s'écrit N/D, alors l'écart entre ce nombre rationnel et le nombre irrationnel qu'elle représente est inférieur à 1/D².

 

Exemple

17/12 = 1,41666…

  – 17/12 = – 2,45… 10-3

1/12² =                6,94…10-3

 

 

 

Théorème

Condition pour qu'une fraction a/b soit une réduite d'un nombre irrationnel n

 

Voir Une démonstration en équation de Pell

 

 

 

 

Suite

*    Fractions continues – Valeurs

*    Calcul des fractions à étages

*    Analogie avec découpage des rectangles

*    Réduites des constantes

Voir

*    Bombelli

*    FractionsGlossaire

*    Fractions- somme égale à 1

*    Multiplication des fractions

*    Nombres Périodiques

*    Nombres rationnels, irrationnels, transcendants

*    Racines continues

*    Suite de Farey et calendriers

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