NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Constante

 

Débutants

Constante PI

Généralités

 

Glossaire

PI

 

 

INDEX

Constante PI

 

Introduction

Calcul

Formules

Propriétés

Historique

Valeur

Décimales

Curiosités

 

Sommaire de cette page

>>> Présentation de   

>>> Précision sur  

>>> Formule d'Euler & nombres d'Euler

>>> Définitions diverses de   

>>> Aire du disque

>>> Mnémotechnique

 

 

 

Journée de Pi

Pour les anglo-saxons, le 14 mars (3/14) est la journée du nombre PI.

En 2015, on peut même fêter neuf décimales. En 2016, on retrouve l'approximation classique.

Oh Ha  Day comme dit la chanson. Une bonne "pie" (tarte en anglais) pour fêter l'occasion!

Voir Actualités 2015

 

 

 

Constante PI

 

Pour ne pas tourner en rond   de dépit radieux!

Car un tour complet c'est     deux pi radians  .

 

 

 

PI - INDEX

Calcul

Curiosités

Débutants

Décimales – Quantité record

Formules

Historique

Multiples de Pi

Propriétés

Réduites de Pi – Calcul

Valeur

Pi - Glossaire

Pi - Dictionnaire des nombres

Pi(x) – Quantité de nombre premiers

Cercle

Quadrature du cercle

 

 

 

Constante Pi:     = 3, 14 15 9

 

Arrondi à 3, 1416, d'où l'expression habituelle Pi égal "trois quatorze cent seize".

 

 

Origine du nom

*         Initiale de circonférence en grec: Perimetros

*         Nom donné par William Jones en 1706 dans son

A New Introduction to Mathematics

*         Adopté par Euler en 1748 dans son

Introduction à l'Analyse infinitésimale

*         Certains attribuent cette notation à Adrien Romain (XVIe siècle)

Il est vrai que quelques mathématiciens utilisaient cette lettre pour désigner le périmètre et non le rapport: William Oughtred (1574-1660), Isaac Barrow (1630-1677), comme Archimède le faisait d'ailleurs.

 

Belles formules

 

 Voir Historique de Pi

 

 

Présentation de PI

Les cent premières décimales de

 

3, 14159  26535  89793  23846  26433  83279  50288  41971  69399  37510

    58209  74944  59230  78164  06286  20899  86280  34825  34211  70679 …

 

 

Le calcul de p est pratiquement le seul sujet des plus anciennes mathématiques qui reste sérieusement d'actualité en recherche mathématique moderne.

 

Pi est:

Nombre irrationnel

*    Démontré par Lambert 1761, puis par Legendre vers 1794 pour  et  ²

Nombre transcendant

*    Démontré par Lindemann 1882

Nombre normal ?

*    Pas démontré

 

 

 

FORMULES donnant Pi et écart

10

=

3,1 62277660…

0,020…

(4/3)4

=

3,1 60493827…

0,019…

3 + 2

=

3,14 6264370…

0,0046…

22 / 7

=

3,14 2857143…

0,0012…

355 / 113

=

3,14159 2 920…

0,266 10-6

 

=

 

3,14159 2 553…

 

-0,101 10-6

 

Voir Tableau des formules d'approximation de Pi

 

 

EXPRESSIONS de Pi

 

Fractions continues

 

 

[3 ; 7, 15, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1,

2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, ...]

 

Voir fractions continues / réduites de Pi / Fraction

En binaire

 

    = 11, 001 001 000 011 111 101 ...

22/7 = 11, 001 001 001....

Inverse de Pi

 

         = 0,318 309 886 183 790 ...

3 –  2 = 0,317 8

 

 

 

Précision nécessaire sur Pi

 

5 décimales

 

=> demi cm

Sur circonférence d'un stade.

 

 

10 décimales

 

ð  demi cm

Sur circonférence de la Terre.

 

20 décimales

 

ð Quelques cm

Sur notre Galaxie (la Voie Lactée).

 

30 décimales

 

ð  précision relevant de la loupe

Sur la taille de l'Univers.

 

 

Avec 39 décimales, on calcule la circonférence de l'univers
avec la précision du rayon de
l'atome d'hydrogène.

 

Voir Calculs

 

 

FORMULE D'EULER & NOMBRES D'EULER

 

*      Formule révélée par  Euler, véritable ordinateur ambulant.

*      Elle associe les quatre entités mathématiques fondamentales: 1 ,  , e & i.

 

Voir Imaginaires

*      Autres formules voisines

*      En fait Euler découvrit plus tôt que =>

Voir Nombres complexes et racines de 1 / Nombre d'Euler

 

 

 

DÉFINITIONS diverses de Pi

1

*      Rapport du périmètre au diamètre d'un cercle.

 = P/D = P/2r

2

*      Rapport de la surface au carré du rayon d'un disque.

 = S / r²

3

*      3/4 du volume d'une sphère unité.

V = 4/3  r3

4

*      1/4 de la surface d'une sphère unité.

S = 4  r ²

5

*      On appelle , le double de l'unique racine de cos x = 0, comprise entre 0 et 2. (Encore faut-il définir cos x, puis exponentielle, etc.)

etc.

6

*       est le nombre réel qui apparaît dans la formule de la dérivée de la fonction de e(x) qui est l'homomorphisme continu du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U des nombres complexes de valeur absolue 1.

f = e(x)

f' = 2 e(x)

7

*      Le nombre d'intersections d'une aiguille de longueur a sur un parquet de largeur b tend vers N, lorsque l'aiguille est lancée un grand nombre de fois.

N = 2a / b

8

*      La probabilité que deux nombres entiers, pris au hasard, soient premiers entre eux est 6 / ².

P = 6 /  ²

 

 

 

AIRE DU DISQUE

 

 

 

 

Attention: ne pas confondre

Cercle

Circonférence

Périmètre

Disque

Surface

Aire

 

 

Méthode d'Archimède (un des méthodes)

 

*      On suppose connu le périmètre du cercle:  P = 2  R

Trouvons l'aire du disque.

*      On procède par étapes, comme suit:

*    Le disque est découpé en 8 secteurs.

*    Les secteurs sont assemblés comme indiqué.

*    On obtient une guirlande en forme de parallélogramme.

 

*    La longueur du parallélogramme est égale au demi-périmètre du cercle: ½ P =  R.

*    Sa hauteur est égale au rayon R.

*    Son aire est égale à Ap =   R².

*      On peut imaginer prendre plus de 8 secteurs, même beaucoup plus, jusqu'à gommer l'aspect festonné des bords. À la limite, le parallélogramme est égal à l'aire du disque.

 

Adisque = Ap =  

 

 

AUGMENTER LA QUANTITÉ DE SECTEURS

 

*      La différence entre l'aire du disque et celle du parallélogramme s'amenuise lorsque la quantité de secteurs grandit.

*    Avec 12 secteurs elle est de 0,14 (rayon unité).

*    Avec 96, elle est inférieure au centième.

*      Archimède a fait les calculs:

*    Il a montré que la différence est au moins divisée par 2, chaque fois que la quantité de secteurs est multipliée par 2.

*    Cette différence peut ainsi être rendue aussi petite que l'on veut.

*      L'aire du disque est bien égale à celle du parallélogramme limite.

  

Suite Méthode par exhaustion des polygones

Voir Aire du secteur, segment, lunule …

 

Aires des éléments de cercles

Voir Formules et calculs

 

 

MNÉMOTECHNIQUE

 

Quatrain célèbre ( du moins son premier vers) qui donne 30 décimales

 

Que j'aime à faire connaître ce nombre utile aux sages!

Immortel Archimède, artiste, ingénieur,

Qui de ton jugement peut priser la valeur ?

Pour moi ton problème eut de sérieux avantages.

 

Inverse  avec 6 décimales: 0 , 318310

 

Que j'aimerais une réciproque

Autres langues

 

Anglais

May I have a large container of coffee

 

Allemand

Wie? O! Dies p Macht ernstlich, Jünglinge, leichte Verselein

 

Espagnol

Con 1 palo y 5 ladrillos se pueden hacer mil cosas 

 

Formule historique qui donne l'inverse de Pi à 1/4 000 000

 

Les 3 journées de 1830 qui ont renversé 89 

1/ = 0,3 1830 98

 

 

Voir Trois Glorieuses   /  Mnémotechnique

 

 

Date en Pi

Pour les Américains qui placent le mois avant le jour, le 14 mars 2015 fut la date magique de Pi

3/14/15   3,1415

Ils ajoutent qu'à 9h 26 min 53s l'heure était exceptionnelle:

  =  3,1415 9 26 53 …

 

Voir Dates

 

 

 

 

Suite

*    Calcul de Pi

*    Pi - Glossaire

*    Pi - Dictionnaire des nombres

*    Cercle

Voir

*    Arctg

*    Calcul mentalIndex

*    Constantes de l'univers 

*      Constantes Mathématiques

*      Construction approchée de Pi

*    GéométrieIndex

*    Nombres premiers dans Pi

*    Quadrature du cercle

*    Réduites de Pi - Calculs

*    Théorie des nombres

Sites

*    La valeur du nombre Pi

*    Histoire du nombre Pi

*      Quelle est l'origine du nombre Pi?

*    The Pi pages

*      Peripheria

Incontournable

*    L'Univers de Pi de Boris Gourevitch

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiIntro.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calculs

 

5 et 10 décimales

RSTADE =

100

m

 

RTERRE =

6 378

km

 

 

 

 

=

6 106

m

=

105

mm

 

=

6 109

mm

CS = 2 RS =

6 105

mm

 

CT = 2 RT =

3,7 1010

mm

5 positions =>

6

mm

 

10 positions =>

3,7

mm

 

 

20 et 30 décimales

DVL = 100 000

 années-lumière

1013

km

 

TU = 15 milliards

années-lumière

15 109

Al

=

1016

m

 

=

1,4 1026

m

=

1019

mm

 

=

1,4 1029

mm

CT = 2 RT =

3,1 1019

mm

 

CU =  TU =

0,44 1030

mm

20 positions =>

31

mm

 

30 positions =>

0,44

mm

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