NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/04/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Constante
Débutants Général	Généralités				Glossaire PI
INDEX Constante PI	Introduction	Calcul	Formules	Propriétés
	Historique	Valeur	Décimales	Curiosités
		Sommaire de cette page >>> Chiffres de Pi >>> Somme des décimales >>> Chiffres aléatoires >>> Nombre normal >>> Propriétés particulières >>> Quadrature du cercle et transcendance >>> Exponentielle de Pi : quasi - entière

Constante PI

Principales propriétés.

Ce que l'on sait ou non 

Irrationnel	OUI	1761 Lambert	Pas égal à une fraction de deux nombres entiers.
Transcendant	OUI	1882 Lindemann	Pas solution d'une équation.
Périodique	NON		Chiffres qui se répètent à partir d'un certain moment.
Normal	?		Tous les nombres avec la même fréquence.
Univers	?
Chaotique	OUI	2001 Bailey	Chiffres qui ont un comportement chaotique.

Voir FAQ - On mesure Pi facilement. Alors pourquoi tant d'histoires ?

CHIFFRES de

Parmi les décimales connues: La somme des 20 premières donne 100 >>> La valeur 315 est centrée sur le 315^e décimale, même chose pour 360. Un bloc de six 9 (999 999) se trouve entre les décimales 762 et 767. Un bloc de sept 7 (7 777 777) se présente avant la décimale 3 500 000. Les 6 premiers chiffres de " e " se retrouvent 8 fois. Les 8 premiers chiffres de 2 apparaissent à partir de la 52 638^e décimale. Les 6 premiers chiffres de    , lui-même, apparaissent au moins 6 fois parmi les premières 10 millions de décimales de   . 0123456789 apparaît à la 17 387 594 880^e décimale de (Kanada et Takabashi - 1998). Le 0 n'apparaît qu'en 32^e position, alors que tous les autres sont apparus avant la 13^e décimale. Dans les 400 premières décimales, on ne trouve que 24 fois le 7, au lieu de 40 attendus. En prenant les 1000 nombres formés à partir des décimales de (3, 31, 314, 31415...) seuls 4 sont premiers. Les 16 millions de décimales analysées ont passé avec succès tous les tests de caractère aléatoire connus.

Somme des décimales

100 =	· Somme des 20 premières décimales de Pi.
100 =	1+4+1+5+9+	2+6+5+3+5+	8+9+7+9+3+	2+3+8+4+6
100 =	20	+ 21	+ 36	+ 23
666 =	· Somme des 144 (= 12²) premières décimales. · Est-ce que Pi est satanique ?

CHIFFRES ALÉATOIRES

Apparition des chiffres sur 20 décimales

= 3,14159 26535 89793 23846

Chiffres	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Fois	0	2	2	3	2	3	2	1	2	3

Il faut attendre la décimale 32 pour voir le zéro

Si les décimales étaient équiréparties, nous devrions retrouver 2 fois chacun des chiffres. Manifestement ce n'est pas le cas. On peut dresser le même tableau pour montrer l'écart.

Chiffres	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Écart par rapport à 2 fois	-2	0	0	1	0	1	0	-1	0	1

Faisons la même chose à plus grande échelle. Voyons si plus il y a de décimales plus elles sont équiréparties.

Apparition des chiffres sur 1 000 000 décimales

Chiffres	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Écart par rapport 100 000 fois	-41	-242	26	29	230	359	-252	-200	-15	106

Visiblement, pas équiréparties. Mais l'écart est relativement faible

Maximum 0,5 pour mille.

Et, encore plus grand … Voir Nombre normal ci-dessous

Pi, un NOMBRE NORMAL?

Un nombre est normal si ses chiffres et ses chiffres pris par chaine de taille quelconque ont la même fréquence.

À partir des 6 milliards de décimales calculées par le Japonais Yasumasa Kanada, record de 1995, on trouve les apparitions suivantes:

Calcul sur la base de 600 000 000 + X apparitions (c'est-à-dire: variation autour de six cents millions).

Chiffre dans	X	Illustration
0	- 36 995
1	33 260
2	- 831
3	243
4	- 42 561
5	17 176
6	16 588
7	9 044
8	- 12 962
9	17 037
Moyenne	- 0,1
Écart moyen	18 670
Écart type	24 488

On a réussi à démontrer que les chiffres de ne se répètent jamais périodiquement.

Il n'est pas périodique

Chiffres qui se répètent à partir d'un certain moment.

Il est irrationnel

Pas égal à une fraction de deux nombres entiers.

Il est aussi transcendant

Pas solution d'une équation.

Est-il normal ?

Tous les nombres avec la même fréquence.

 Mais ces propriétés n'apportent rien sur les propriétés des décimales de . Le tableau ci-dessus tend à montrer que les décimales de utilisent normalement toutes les chiffres (avec la même fréquence). Mais, il n'est pas démontré que est normal.
On ne sait même pas, si à partir d'un certain rang, certains chiffres sont encore utilisés. Qui nous dit que les derniers chiffres de ne sont pas 202002000...

La formule de Plouffe, trouvée récemment, ouvre des horizons: On peut espérer montrer que est normal (ou non) en base 2, et, peut-être, en base 10, si on arrive à généraliser la formule de Plouffe à la base 10.

Le monde dans PI

Les mathématiciens croient que la suite des décimales de est une suite infinie de chiffres aléatoires. Si cela est vrai, cela signifie qu'elle contient toutes les suites de chiffres imaginables.
Ainsi, à partir d'une certaine décimale de , il apparaîtra une suite qui code un mot donné, ou, pour une autre décimale, un vers d'un poème de V. Hugo, ou le poème complet et même... l'encyclopédie des connaissances actuelles sur le monde !

Voir Nombres univers

PROPRIÉTÉS particulières

La quantité moyenne de représentation des nombres en somme de 2 carrés tend vers

La probabilité que deux nombres a et b pris au hasard,

n'aient pas de diviseurs communs est 6 / ²

( soit environ 62 %) 

Pendule

La période du pendule fait intervenir

Plus exactement

T période en secondes (aller-retour complet du balancier). L est la longueur en mètres. g est l'intensité de la pesanteur. est le demi-angle de rotation. Sur Terre: g = 9,8 m / s² Exemple avec L = 1 m ð T = 2 secondes

 Voir Pendule tautochrone / Pendule de Foucault / Physique amusante / Temps / Horloge

QUADRATURE DU CERCLE ET TRANSCENDANCE

Problème Construire un carré et un cercle de même périmètre avec règle et compas. Solution? Lindemann, en 1882, démontre que est transcendant. Il ne peut satisfaire aucune équation algébrique à coefficients rationnels. Il n'est qu'une suite infinie de termes. Or, comme tout nombre construit à l'aide du compas et de la règle satisfait à une équation algébrique, la quadrature du cercle est impossible. La preuve de Lindemann utilise la relation d'Euler et les travaux de Hermite sur la transcendance de " e ". Lambert en 1761 avait démontré l'irrationalité de p en utilisant les développements de tg x en fractions continues.

EXPONENTIELLE DE PI: QUASI – ENTIÈRE

pour n < 1000

On note certaines valeurs de n pour lesquelles la fonction est quasiment un nombre entier. Est-ce une coïncidence, ou peut-on expliquer? Existe-t-il une formule qui puisse prévoir cette éventualité? On ne montre ici qu'un très faible échantillon des valeurs quasi - entières

n	N
-1	1, 0000000000000
0	1, 0000000000000
6	2197, 9908695437080
25	6635623, 9993411342332
37	199148647, 9999780465518
43	884736743, 9997774660349
58	24591257751, 9999998222132
163	262537412640768743, 9999999999992
652	68925893036109279891085639286943768, 0000000001637

On nomme celui formé avec 163: nombre de Ramanujan. Il a amusé la communauté des matheux pendant quelques années …

Suite	Historique du calcul de Pi Pi - Glossaire Pi - Dictionnaire des nombres Cercle
Voir	Arc tangente Calcul mental – Index Constantes de l'univers Constantes Mathématiques Construction approchée de Pi Géométrie – Index Nombres premiers dans Pi Quadrature du cercle Réduites de Pi – Calculs Théorie des nombres
Sites	Pi à la Mode - Mathematicians tackle the seeming randomness of pi's digits - Ivars Peterson
Incontournable	L'Univers de Pi de Boris Gourevitch