NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/03/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Nature de Pi >>> Répartition des premières décimales de Pi >>> Chiffres de Pi >>> Somme des décimales >>> Chiffres aléatoires >>> Nombre normal >>> Propriétés particulières >>> Quadrature du cercle et transcendance >>> Exponentielle de Pi : quasi - entière

Constante PI

Principales propriétés.

Ce que l'on sait ou non 

Irrationnel	OUI	1761 Lambert	Pas égal à une fraction de deux nombres entiers.
Transcendant	OUI	1882 Lindemann	Pas solution d'une équation.
Périodique	NON		Chiffres qui se répètent à partir d'un certain moment.
Normal	?		Tous les chiffres et groupes de chiffres avec la même fréquence. >>>
Univers	?		N'importe quelle succession de chiffres de longueur finie. >>>
Chaotique	OUI	2001 Bailey	Chiffres qui ont un comportement chaotique.

Voir FAQ - On mesure Pi facilement. Alors pourquoi tant d'histoires ?

Transcendants et autres

Formule de Fagnano

Giulo Fagnano (1682-1766) s'est rendu célèbre pour avoir trouvé cette formule. Il est aussi connu pour être à l'origine de l'étude des fonctions elliptiques via les lemniscates.

Répartition des premières décimales de Pi

CHIFFRES de

Parmi les décimales connues Le 0 n'apparaît qu'en 32^e position après la virgule, alors que tous les autres chiffres sont apparus avant la 13^e décimale. La somme des 20 premières décimales (hors l'entier 3) donne 100 >>> La valeur 315 est centrée sur le 315^e décimale, même chose pour 360. La première apparition de la suite {1, 2, 3} est en 111^e position avec 1, 3, 2 et en 1925^e pour 1, 2, 3 dans l'ordre. Tableau donnant le rang de la première apparition des suites de 1 à n dans l'ordre ou non Le rang est compté à partir de 3 compris. À droite, les décimales où l'on repère les premières apparitions (en bleu et en rouge) Tableau donnant le rang de la première apparition de k fois le chiffre c Six 9 de suite en 763^e position (comptant le 3 initial): Point de Feynman Sept 9 de suite en 1 722 777; Huit en 36 356 642; Neuf en 564 665 206 Voir Nombre 999 999 Un bloc de six 9 (999 999) se trouve entre les décimales 762 et 767 >>> Un bloc de sept 7 (7 777 777) se présente avant la décimale 3 500 000. Les 6 premiers chiffres de " e " se retrouvent 8 fois. Les 8 premiers chiffres de 2 apparaissent à partir de la 52 638^e décimale. Les 6 premiers chiffres de    , lui-même, apparaissent au moins 6 fois parmi les premières 10 millions de décimales de   . Tableau donnant le rang de la première apparition d'une forme pannumérique D'après OEIS 280182 et OEIS258157 0123456789 apparaît à la 17 387 594 880^e décimale de (Kanada et Takabashi - 1998). On trouve aussi (Aran Kuntze cité par Patrick De Geest) 165 429 837 en position 10 552 019 654 321 987 en position 14 597 746 976 543 182 en position 22 314 906. 415 926 535 897 plus petit nombre premier "pannumérique" sans 0 dans Pi – Cité par Chris Caldwell Dans les 400 premières décimales, on ne trouve que 24 fois le 7, au lieu de 40 attendus. Les 16 millions de décimales analysées ont passé avec succès tous les tests de caractère aléatoire connus. Belle coïncidence: Pi x 10^360 = 314…360 qui rappelle que dans un cercle il y a 360°.

Premiers dans
Premiers avec les décimales En prenant les 1000 nombres formés à partir des décimales de seuls 4 sont premiers: 3, 31, 314 159. Pour le suivant on passe à 38 chiffres avec 31415926535897932384626433832795028841 = 0, 3… 10^38 On ne connait que huit nombres Pi-premiers (Pi-Prime) avec une quantité de décimales de 1, 2, 6, 38, 16208, 47577, 78073, 613373.
Programmation	Commentaires Initialisation. Lancement de la boucle d'exploration en k. Pi fois 10^k-1 fait passer les décimales à gauche de la virgule et floor élimine les décimales à droite de la virgule. Si ce nombre entier est premier, il est imprimé. En bleu, résultat du traitement jusqu'à k = 100. On sait qu'il faut atteindre plus de 16 000 pour trouver le suivant.

Voir Programmation

Décimales qui signifient quelque chose

Nombreux sont ceux qui ont cherché et qui cherchent encore un structure dans les décimales de Pi.

Rien de significatif n'a émergé à ce jour.

Somme des décimales

100 =	· Somme des 20 premières décimales de Pi.
100 =	1+4+1+5+9+	2+6+5+3+5+	8+9+7+9+3+	2+3+8+4+6
100 =	20	+ 21	+ 36	+ 23
666 =	· Somme des 144 (= 12²) premières décimales. · Est-ce que Pi est satanique ?

CHIFFRES ALÉATOIRES

Apparition des chiffres sur 20 décimales

= 3,14159 26535 89793 23846

Chiffres	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Fois	0	2	2	3	2	3	2	1	2	3

Il faut attendre la décimale 32 pour voir le zéro

Si les décimales étaient équiréparties, nous devrions retrouver 2 fois chacun des chiffres. Manifestement ce n'est pas le cas. On peut dresser le même tableau pour montrer l'écart.

Chiffres	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Écart par rapport à 2 fois	-2	0	0	1	0	1	0	-1	0	1

Faisons la même chose à plus grande échelle. Voyons si plus il y a de décimales plus elles sont équiréparties.

Apparition des chiffres sur 1 000 000 décimales

Chiffres	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Écart par rapport 100 000 fois	-41	-242	26	29	230	359	-252	-200	-15	106

Visiblement, pas équiréparties. Mais l'écart est relativement faible

Maximum 0,5 pour mille.

Et, encore plus grand … Voir Nombre normal ci-dessous

Pi, un NOMBRE NORMAL?

Un nombre est normal si ses chiffres et ses chiffres pris par chaine de taille quelconque ont la même fréquence.

À partir des 6 milliards de décimales calculées par le Japonais Yasumasa Kanada, record de 1995, on trouve les apparitions suivantes:

Calcul sur la base de 600 000 000 + X apparitions (c'est-à-dire: variation autour de six cent millions).

Chiffre dans	X	Illustration
0	- 36 995
1	33 260
2	- 831
3	243
4	- 42 561
5	17 176
6	16 588
7	9 044
8	- 12 962
9	17 037
Moyenne	- 0,1
Écart moyen	18 670
Écart type	24 488

On a réussi à démontrer que les chiffres de ne se répètent jamais périodiquement.

Il n'est pas périodique

Chiffres qui se répètent à partir d'un certain moment.

Il est irrationnel

Pas égal à une fraction de deux nombres entiers.

Il est aussi transcendant

Pas solution d'une équation.

Est-il normal ?

Tous les nombres avec la même fréquence.

 Mais ces propriétés n'apportent rien sur les propriétés des décimales de . Le tableau ci-dessus tend à montrer que les décimales de utilisent normalement toutes les chiffres (avec la même fréquence). Mais, il n'est pas démontré que est normal.
On ne sait même pas, si à partir d'un certain rang, certains chiffres sont encore utilisés. Qui nous dit que les derniers chiffres de ne sont pas 202002000...

La formule de Plouffe, trouvée récemment, ouvre des horizons: On peut espérer montrer que est normal (ou non) en base 2, et, peut-être, en base 10, si on arrive à généraliser la formule de Plouffe à la base 10.

Le monde dans PI

Les mathématiciens croient que la suite des décimales de est une suite infinie de chiffres aléatoires. Si cela est vrai, cela signifie qu'elle contient toutes les suites de chiffres imaginables.
Ainsi, à partir d'une certaine décimale de , il apparaîtra une suite qui code un mot donné, ou, pour une autre décimale, un vers d'un poème de V. Hugo, ou le poème complet et même... l'encyclopédie des connaissances actuelles sur le monde !

Voir Nombres univers

PROPRIÉTÉS particulières
La quantité moyenne de représentation des nombres en somme de 2 carrés tend vers La probabilité que deux nombres a et b pris au hasard, n'aient pas de diviseurs communs est 6 / ² ( soit environ 62 %)  Pendule La période du pendule fait intervenir Plus exactement

Suite en Pendule

QUADRATURE DU CERCLE ET TRANSCENDANCE

Problème Construire un carré et un cercle de même périmètre avec règle et compas. Solution? Lindemann, en 1882, démontre que est transcendant. Il ne peut satisfaire aucune équation algébrique à coefficients rationnels. Il n'est qu'une suite infinie de termes. Or, comme tout nombre construit à l'aide du compas et de la règle satisfait à une équation algébrique, la quadrature du cercle est impossible. La preuve de Lindemann utilise la relation d'Euler et les travaux de Hermite sur la transcendance de " e ". Lambert en 1761 avait démontré l'irrationalité de p en utilisant les développements de tg x en fractions continues.

EXPONENTIELLE DE PI: QUASI – ENTIÈRE

pour n < 1000

On note certaines valeurs de n pour lesquelles la fonction est quasiment un nombre entier. Est-ce une coïncidence, ou peut-on expliquer? Existe-t-il une formule qui puisse prévoir cette éventualité? On ne montre ici qu'un très faible échantillon des valeurs quasi - entières

n	N
-1	– 1, 0000000000000
0	1, 0000000000000
6	2197, 9908695437080
25	6635623, 9993411342332
37	199148647, 9999780465518
43	884736743, 9997774660349
58	24591257751, 9999998222132
163	262537412640768743, 9999999999992
652	68925893036109279891085639286943768, 0000000001637

On nomme celui formé avec 163: nombre de Ramanujan. Il a amusé la communauté des matheux pendant quelques années …

Voir Formule d'Euler

Curiosité avec les chiffres des inverses de pi et de phi

Les dix premiers chiffres sont en même quantité

Merci à Philippe L. pour cette découverte.

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Sites	Pi à la Mode - Mathematicians tackle the seeming randomness of pi's digits - Ivars Peterson Pi Digits – Wolfram MathWorld Pi Prime – Wolfram MathWorld OEIS A048940 - Starting position of the first occurrence of a string of at least n '9's in the decimal expansion of Pi. OEIS A005042 – Primes formed by the initial digits of the decimal expansion of Pi. OEIS A060421 – Numbers n such that the first n digits of the decimal expansionhttp://oeis.org/A060421 of Pi form a prime. Pi World Ranking List – Records de memorization The Pi-Search Page – David Andersen
Incontournable	L'Univers de Pi de Boris Gourevitch
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