NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Constante

 

Débutants

Constante PI

Généralités

 

Glossaire

PI

 

 

INDEX

Constante PI

 

Introduction

Calcul

Formules

Propriétés

Historique

Valeur

Décimales

Curiosités

 

Sommaire de cette page

>>> Nature de Pi

>>> Répartition des premières décimales de Pi

>>> Chiffres de Pi

>>> Somme des décimales

>>> Chiffres aléatoires

>>> Nombre normal

>>> Propriétés particulières

>>> Quadrature du cercle et transcendance

>>> Exponentielle de Pi : quasi - entière

 

 

 

Constante PI

 

Principales propriétés.

 

Ce que l'on sait ou non 

Irrationnel

OUI

1761

Lambert

Pas égal à une fraction de deux nombres entiers.

Transcendant

OUI

1882

Lindemann

Pas solution d'une équation.

Périodique

NON

 

Chiffres qui se répètent à partir d'un certain moment.

Normal

?

 

Tous les chiffres et groupes de chiffres avec la même fréquence. >>>

Univers

?

 

N'importe quelle succession de chiffres de longueur finie. >>>

Chaotique

OUI

2001

Bailey

Chiffres qui ont un comportement chaotique.

Voir FAQ - On mesure Pi facilement. Alors pourquoi tant d'histoires ?

Transcendants et autres

 

Formule de Fagnano

Giulo Fagnano (1682-1766) s'est rendu célèbre pour avoir trouvé cette formule. Il est aussi connu pour être à l'origine de l'étude des fonctions elliptiques via les lemniscates.

 

 

Répartition des premières décimales de Pi

 

 

CHIFFRES de

 

Parmi les décimales connues

*      Le 0 n'apparaît qu'en 32e  position après la virgule, alors que tous les autres chiffres sont apparus avant la 13e  décimale.

*      La somme des 20 premières décimales (hors l'entier 3) donne 100 >>>

*      La valeur 315 est centrée sur le 315e décimale, même chose pour 360.

*      La première apparition de la suite {1, 2, 3} est en 111e position avec 1, 3, 2 et en 1925e pour 1, 2, 3 dans l'ordre.

 

Tableau donnant le rang de la première apparition des suites de 1 à n dans l'ordre ou non

Le rang est compté à partir de 3 compris.

À droite, les décimales où l'on repère les premières apparitions (en bleu et en rouge)

 

Tableau donnant le rang de la première apparition de k fois le chiffre c

Six 9 de suite en 763e position (comptant le 3 initial): Point de Feynman

Sept 9 de suite en 1 722 777; Huit en 36 356 642; Neuf en 564 665 206

Voir Nombre 999 999

 

*      Un bloc de six 9 (999 999) se trouve entre les décimales 762 et 767 >>>

*      Un bloc de sept 7 (7 777 777) se présente avant la décimale 3 500 000.

*      Les 6 premiers chiffres de " e " se retrouvent 8 fois.

*      Les 8 premiers chiffres de 2 apparaissent à partir de la 52 638e décimale.

*      Les 6 premiers chiffres de    , lui-même, apparaissent au moins 6 fois parmi les premières 10 millions de décimales de   .

 

Tableau donnant le rang de la première apparition d'une forme pannumérique

D'après OEIS 280182 et OEIS258157

 

*      0123456789 apparaît à la 17 387 594 880e  décimale de  (Kanada et Takabashi - 1998). On trouve aussi (Aran Kuntze cité par Patrick De Geest)

165 429 837 en position 10 552 019

654 321 987 en position 14 597 746

976 543 182 en position 22 314 906.

 

*      415 926 535 897 plus petit nombre premier "pannumérique" sans 0 dans Pi – Cité par Chris Caldwell

*      Dans les 400 premières décimales, on ne trouve que 24 fois le 7, au lieu de 40 attendus.

*      Les 16 millions de décimales analysées ont passé avec succès tous les tests de caractère aléatoire connus.

*      Belle coïncidence: Pi x 10360 = 314…360 qui rappelle que dans un cercle il y a 360°.

 

 

 

Premiers dans

 

Premiers avec les décimales

*      En prenant les 1000 nombres formés à partir des décimales de   seuls 4 sont premiers: 3, 31, 314 159. Pour le suivant on passe à 38 chiffres avec 31415926535897932384626433832795028841 = 0, 3… 1038

*      On ne connait que huit nombres Pi-premiers (Pi-Prime) avec une quantité de décimales de 1, 2, 6, 38, 16208, 47577, 78073, 613373.

Programmation

 

Commentaires

Initialisation.

Lancement de la boucle d'exploration en k.

Pi fois 10k-1 fait passer les décimales à gauche de la virgule et floor élimine les décimales à droite de la virgule.

Si ce nombre entier est premier, il est imprimé.

 

En bleu, résultat du traitement jusqu'à k = 100. On sait qu'il faut atteindre plus de 16 000 pour trouver le suivant.

 

Voir Programmation

 

Décimales qui signifient quelque chose

Nombreux sont ceux qui ont cherché et qui cherchent encore un structure dans les décimales de Pi.

Rien de significatif n'a émergé à ce jour.

 

 

Somme des décimales

 

100 =

·         Somme des 20 premières décimales de Pi.

100 =

1+4+1+5+9+

2+6+5+3+5+

8+9+7+9+3+

2+3+8+4+6

100 =

20

+ 21

+ 36

+ 23

666 =

·         Somme des 144 (= 12²) premières décimales.

·         Est-ce que Pi est satanique ?

           

  

CHIFFRES ALÉATOIRES

 

Apparition des chiffres sur 20 décimales

 

 = 3,14159 26535 89793 23846

Chiffres

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Fois

0

2

2

3

2

3

2

1

2

3

*      Il faut attendre la décimale 32 pour voir le zéro

*      Si les décimales étaient équiréparties, nous devrions retrouver 2 fois chacun  des chiffres. Manifestement ce n'est pas le cas. On peut dresser le même tableau pour montrer l'écart.

Chiffres

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Écart

 par rapport à 2 fois

-2

0

0

1

0

1

0

-1

0

1

*      Faisons la même chose à plus grande échelle. Voyons si plus il y a de décimales plus elles sont équiréparties.

  

Apparition des chiffres sur 1 000 000 décimales

 

Chiffres

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Écart

 par rapport

100 000 fois

-41

-242

26

29

230

359

-252

-200

-15

106

*      Visiblement, pas équiréparties. Mais l'écart est relativement faible

Maximum 0,5 pour mille.

*      Et, encore plus grand …         Voir Nombre normal ci-dessous

 

 

 

 

Pi, un NOMBRE NORMAL?

*      Un nombre est normal si ses chiffres et ses chiffres pris par chaine de taille quelconque ont la même fréquence.

*      À partir des 6 milliards de décimales calculées par le Japonais Yasumasa Kanada, record de 1995, on trouve les apparitions suivantes:

*      Calcul sur la base de 600 000 000 + X apparitions (c'est-à-dire: variation autour de six cent millions).

Chiffre

dans

X

Illustration

0

- 36 995

1

33 260

2

- 831

3

243

4

- 42 561

5

17 176

6

16 588

7

9 044

8

- 12 962

9

17 037

Moyenne

- 0,1

Écart moyen

18 670

Écart type

24 488

    

*        On a réussi à démontrer que les chiffres de  ne se répètent jamais périodiquement.

*    Il n'est pas périodique

Chiffres qui se répètent à partir d'un certain moment.

*    Il est irrationnel

Pas égal à une fraction de deux nombres entiers.

*    Il est aussi transcendant

Pas solution d'une équation.

*    Est-il normal ?

Tous les nombres avec la même fréquence.

*       Mais ces propriétés n'apportent rien sur les propriétés des décimales de . Le tableau ci-dessus tend à montrer que les décimales de  utilisent normalement toutes les chiffres (avec la même fréquence). Mais, il n'est pas démontré que  est normal.
On ne sait même pas, si à partir d'un certain rang, certains chiffres sont encore utilisés. Qui nous dit que les derniers chiffres de
 ne sont pas 202002000...

*        La formule de Plouffe, trouvée récemment, ouvre des horizons: On peut espérer montrer que  est normal (ou non) en base 2, et, peut-être, en base 10, si on arrive à généraliser la formule de Plouffe à la base 10. 

Le monde dans PI

*      Les mathématiciens croient que la suite des décimales de  est une suite infinie de chiffres aléatoires. Si cela est vrai, cela signifie qu'elle contient toutes les suites de chiffres imaginables.
Ainsi, à partir d'une certaine décimale de
, il apparaîtra une suite qui code un mot donné, ou, pour une autre décimale, un vers d'un poème de V. Hugo, ou le poème complet et même... l'encyclopédie des connaissances actuelles sur le monde !

Voir Nombres univers

 

 

PROPRIÉTÉS particulières

 

La quantité moyenne de représentation des nombres en somme de 2 carrés tend vers

 

 

La probabilité que deux nombres a et b pris au hasard,

n'aient pas de diviseurs communs est 6 /  ²

( soit environ 62 %) 

 

Pendule

La période du pendule fait intervenir

 

Plus exactement

 

 

Suite en  Pendule  

 

QUADRATURE DU CERCLE ET TRANSCENDANCE

 

Problème

 

*      Construire un carré et un cercle de même périmètre avec règle et compas.

 

Solution?

 

*        Lindemann, en 1882, démontre que  est transcendant.

*        Il ne peut satisfaire aucune équation algébrique à coefficients rationnels. Il n'est qu'une suite infinie de termes.

*        Or, comme tout nombre construit à l'aide du compas et de la règle satisfait à une équation algébrique, la quadrature du cercle est impossible.

*      La preuve de Lindemann utilise la relation d'Euler et les travaux de Hermite sur la transcendance de " e ".

*      Lambert en 1761 avait démontré l'irrationalité de p en utilisant les développements de tg x en fractions continues.

 

 

 

 

EXPONENTIELLE DE PI: QUASI – ENTIÈRE

 

 pour n < 1000

*        On note certaines valeurs de n pour lesquelles la fonction est quasiment un nombre entier. Est-ce une coïncidence, ou peut-on expliquer?  Existe-t-il une formule qui puisse prévoir cette éventualité? On ne montre ici qu'un très faible échantillon des valeurs quasi - entières

n

N

-1

                            – 1, 0000000000000

0

                                1, 0000000000000

6

2197, 9908695437080

25

6635623, 9993411342332

37

199148647, 9999780465518

43

884736743, 9997774660349

58

24591257751, 9999998222132

163

262537412640768743, 9999999999992

652

68925893036109279891085639286943768, 0000000001637

*      On nomme celui formé avec 163: nombre de Ramanujan. Il a amusé la communauté des matheux pendant quelques années …

Voir Formule d'Euler

 

 

Curiosité avec les chiffres des inverses de pi et de phi

Les dix premiers chiffres sont en même quantité

 

Merci à Philippe L. pour cette découverte.

 

 

 

 

Suite

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Voir

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*    Quadrature du cercle

*    Réduites de Pi – Calculs

*    Théorie des nombres

DicoNombre

*    Nombre 3

*    Nombre 31

*    Nombre 314 159

*    Nombre 3,14 1037

Sites

*      Pi à la Mode - Mathematicians tackle the seeming randomness of pi's digits - Ivars Peterson

*      Pi Digits – Wolfram MathWorld

*      Pi Prime – Wolfram MathWorld

*      OEIS A048940 - Starting position of the first occurrence of a string of at least n '9's in the decimal expansion of Pi.

*      OEIS  A005042 – Primes formed by the initial digits of the decimal expansion of Pi.

*      OEIS A060421 – Numbers n such that the first n digits of the decimal expansionhttp://oeis.org/A060421 of Pi form a prime.

*      Pi World Ranking List – Records de memorization

*      The Pi-Search Page – David Andersen

Incontournable

*    L'Univers de Pi de Boris Gourevitch

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