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Édition du: 22/12/2022

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Histoire

Constructions

Géométrie

 

Histoire des maths – Antiquité

Introduction

Duplication du cube

Trisection de l'angle

Segment de parabole

Quadrature du cercle

Heptagone

Historique de la quadrature

Exemples de quadratures

Faites un double-clic pour un retour en haut de page

 

 

QUADRATURE DU CERCLE

 Tetragônismos

Ou l'impossibilité de dessiner

 

Les Anciens ont cherché à dessiner à la règle et au compas un carré qui aurait la même aire que le cercle. Ils n'arrivaient qu'à des solutions approchées sans trouver la bonne. En 1882, Lindemann trouve le fin mot: la constante Pi est transcendante (décimales diverses sans fin) et la construction est impossible.

En 1925, Tarski propose une nouvelle piste: la dissection. Est-il possible de composer un carré et un cercle de même aire en utilisant les mêmes pièces élémentaires. En 2002, après de nombreuses avancées, trois mathématiciens publient une solution comportant plus de dix mille pièces.

     

 

Sommaire de cette page

>>> Carré et cercle – Périmètre et aire

>>> Carré et cercle – Comparaison

>>> Pseudo quadrature

>>> Historique – Recherche de la quadrature

>>> Historique – Précurseurs

>>> Quadrature du cercle et transcendance de Pi

>>> Historique – Recherches d'approximations

>>> Historique – Recherches modernes

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Anglais:  it is impossible to square the circle by compass and straightedge

 

 

Carré et cercle – Périmètre et aire

haut

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiDebut_fichiers/image041.jpg

Périmètre du carré   = 2 x 4          x R

Périmètre du cercle = 2 x 3,14 … x R

 

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiDebut_fichiers/image044.jpg

Aire du carré    = 4          x R²

Aire du disque = 3,14… x R²

 

Voir Un bon moyen de retenir ces formules (P = 2πR   et A = πR²)

 

 

Carré et cercle – Comparaison

haut

 

La figure montre un cercle d'aire unité et le carré de même aira qui aurait un côté de longueur racine de Pi.

Quelles sont les dimensions du carré et du cercle pour un périmètre ou une aire unité ?

 

 

 

 

Une pseudo-construction de la quadrature

haut

 

Cette construction est basée sur la construction de la racine d'un nombre.

Supposons que nous sachions construire la longueur Pi = BC

Allongeons ce segment d'une unité AB.

Selon sa construction, la racine de Pi est matérialisée en PB.

L'aire du carré (Q) construit sur PB est égale à Pi. C'est également l'aire du cercle de rayon unité (C1).

 

Aire du carré Q = Aire du cercle C1

 

Reste à construire la valeur de Pi  !

C'est la mesure d'un demi-périmètre du cercle unité C1

En vert, on montre comment faire rouler C1 jusqu'en position C2 pour développer la distance Pi = BC.

Le problème: cette opération de roulement n'est pas autorisée. Elle ne correspond pas à la rigueur des constructions à la règle et au compas.

 

 

Un cercle qui roule sans glisser de B à C développe un demi-périmètre égal à Pi.

La construction de la racine carrée permet de tracer BP la racine de Pi.

*    Aire du carré:

*    Aire du cercle:

  

Voir Tentatives de quadrature du cercle / Construction brouette

 

 

Historique – Recherche de la quadrature

haut

 

Problème

 

Construire un carré et un cercle de même périmètre avec règle et compas. Ou de même aire (problème équivalent).

Égyptiens

Papyrus Rhind – vers 1650 av. J.-C.
Construction pratique approximative avec Pi ≈ 3,1605 … 

Anaxagore de Clazomène (vers 500- 428 av. J.-C.)

Anaxagore de Clazomène, mathématicien grec, est en prison pour avoir affirmé que le soleil n'est pas un dieu, mais plutôt un rocher incandescent aussi grand que la péninsule du Péloponnèse.

Philosophe convaincu que la raison gouverne le monde, il a profité de son incarcération pour s'attaquer à un problème mathématique désormais célèbre, la quadrature du cercle: à l'aide d'un compas et d'une règle, comment dessiner un carré de surface égale à un cercle donné ?

Plutarque rapporte cette reherche; mais on ne connait pas la construction d'Anaxagore.

Voir Chronologie des savants de l'Antiquité

Hippocrate

(-470 à -410)

L'aire de la lunule (ou lune) d'Hippocrate est rigoureusement égale à celle d'un triangle. Une telle propriété a longtemps fait penser que la quadrature du cercle était réalisable.

Aristophane (vers 444 - 380 av. J.-C.)

Première indication du problème:

"Avec une règle, je vais donner la forme du carré au cercle".

Les Grecs

 

Ils croyaient avoir trouvé. Il est vrai que leurs résultats étaient de très bonnes approximations.

Ils se sont vite rendu compte que la résolution était extraordinairement difficile, voire impossible.

Archimède

-287 à -212

Archimède cherche à approcher le cercle par encadrement avec des polygones.

Francon de Liège

1050

Francon propose une dissection d'un cercle de diamètre 14 en 44 petits secteurs qu'il assemble en un rectangle (approximatif) de 11 par 14 .

Nicholas de Cusa (1404-1464)

Cardinal et savant renommé, il avance que 3,1423 est la valeur exacte de

Joseph Scalinger

(1540-1609)

Il tente aussi de résoudre le problème.

Dans son ouvrage Nova Cyclometria (1592), il affirme pourvoir effectuer la duplication du cube et la trisection de l'angle, c'est-à-dire construire une racine cubique, à l'aide de la seule règle et du compas, et il prétend avoir trouvé la valeur du nombre d'Archimède (Pi), ce qui résolvait la quadrature du cercle.

Toutes ses tentatives seront réfutées par Viète.

Thomas Hobbes (1588-1679)

 

Ses tentatives de quadrature du cercle, cubature de la sphère, duplication du cube (1669) sont réfutées par John Wallis, au prix de violentes disputes entre les deux hommes.

Voir Sa construction

Jacob Marcelis,
(1636 - vers 1714)

Il pense avoir résolu la question.  Sa valeur exacte de  était:

  

Comparaison

 

Une bien grande formule pour si peu de précision !

Edwin Goodwin en 1897

 

Projet de loi Pi de l'Indiana. Tentative législative pour établir une vérité mathématique (erronée, bien sûr): la valeur de Pi, ou plus exactement, le moyen d'obtenir la quadrature du cercle.

On savait pourtant cela impossible depuis 1882.

La présence accidentelle d'un mathématicien (C.A. Waldo) dans l'Assemblée a heureusement stoppé le vote et la loi n'a jamais été adoptée.

Edwin J. Goodwin est un médecin et mathématicien amateur. Il pensait avoir découvert une méthode pour réaliser la quadrature du cercle. Brevet déposé en 1889. Ses approximations de Pi étaient pourtant très approximatives: de 3,16 à 4 !

 

 

Historique – Précurseurs

haut

 

Descartes

(1596-1650)

 

Vers 1630, Descartes prétend qu'il est parfois possible de prouver l'impossible, notamment en transposant le problème en algèbre.

Il montre que les nombres constructibles sont un ensemble (corps) formé des nombres rationnels clos sous l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et la racine carrée. La clôture implique que le résultat est un membre de l'ensemble.

Gauss

(1777-1855)

En 1796, Gauss (19 ans) réussit à construire un polygone régulier à 17 côtés.

Il montre que si le nombre de côtés n = 2a p·q·r … (p, q, r,  … sont des nombres premiers de Fermat), alors le polygone est constructible.

Wantzel montrera que les nombres premiers doivent être distincts.

 

 

 

Historique – Transcendance de Pi

haut

Fernand von Lindemann
(1852-1939)

 

En 1761, Lambert (1728-1777) prouve que la constante Pi est irrationnelle, mais ce n'est pas suffisant pour exclure la construction à la règle et au compas.

En 1837, Wantzel (1814-1848) trouve un critère de non-constructibilité à la règle et au compas appelé théorème de Wantzel. Une longueur constructible doit être racine d'un polynôme.

En 1873, Hermite (1822-1901) publie la preuve que la constante e est transcendantale. C'est après une visite à Hermite que Lindemann a eu l'idée de sa preuve. Hermite n'était pas loin, mais c'est Lindemann qui a eu la gloire.

En 1882, Lindemann mathématicien allemand démontre que Pi est transcendant. Pi ne peut satisfaire aucune équation algébrique à coefficients rationnels (non nuls). Il n'est qu'une suite infinie de chiffres.

Or, un nombre n'est constructible à la règle et au compas que s'il est solution d'une équation algébrique, alors la quadrature du cercle est impossible.

Publication dans son article Ûber die Zahl Pi (Au sujet du nombre Pi).

 

English Corner

Lindemann is famed for his proof that π is transcendental, that is, π is not the root of any algebraic equation with rational coefficients.

The problem of squaring the circle, namely constructing a square with the same area as a given circle using ruler and compasses alone, had been one of the classical problems of Greek mathematics.

Lindemann est connu pour avoir apporté la preuve que π est transcendantal, c'est-à-dire que π n'est pas la racine d'une équation algébrique à coefficients rationnels.

Le problème de la quadrature du cercle, à savoir la construction d'un carré de même surface qu'un cercle donné en utilisant uniquement une règle et un compas, était l'un des problèmes classiques des mathématiques grecques.

Voir Anglais pour le bac  et pour les affaires 

 

 

Historique – Recherches d'approximations

haut

Ramanujan

(vers 1900) 

Il a trouvé une construction à 6 décimales de Pi correctes en construisant la fraction 366/113.

Puis, une autre avec 8 décimales correcte avec:

Dixon

1991

Méthode correcte avec seulement 3 décimales, mais présentant un bon compromis justesse-simplicité. Sa formule:

Voir Sa construction

Hùng Viêt Chu

2019

Il pousse le record à 9 décimales à partir des travaux de Dixon qui avait atteint trois décimales.  Sa formule:

Voir  Formules approchées de Pi

 

Historique – Recherches modernes

haut

Relance

En 1925, Alfred Tarski relance le problème en modifiant les règles.

Il propose de découper le cercle en un nombre fini de morceaux pouvant être déplacés dans un plan et réassemblés en un carré de surface égale.

Une approche connue sous le nom d'équi-décomposition. En terme mathématiques: deux objets sont équi-décomposables s'ils peuvent être divisés en un nombre fini de parties telles que les parties correspondantes sont congruentes les unes aux autres.

 

En 1963, il est prouvé qu'un disque ne peut pas être transformé en aucune autre surface convexe par découpage au ciseaux. (Lester L. Dubins, Morris Hirsch et Jack Karush, Scissor congruence).

 

 

 

Faisable ?

1964 – Un article montre que c'est faisable, mais pas avec des pièces découpées avec des ciseaux;  les pièces sont fractales, criblées de trous et d'arêtes dentelées.

 

1990, en utilisant la théorie des graphes, Miklós Laczkovich confirme que le cercle, découpé en 1050 pièces distinctes, peut être reconfiguré en carré. Il y a un hic ! On ne sait pas construire les pièces, ni même connaitre leur aire.

 

2016, Łukasz Grabowski, Máthé et Pikhurko aboutissent à une preuve presque constructive au détail près qu'il manque une pièce. Une drôle de pièce qui n'a pas d'aire (un ensemble de mesure zéro).

 

2017, Marks et Spencer Unger apportent une preuve qui fonctionne partout, sans exception avec description complète de toutes les pièces nécessaires à la quadrature du cercle. Leur preuve comporte 10 200 pièces très compliquées, impossible à visualiser.

 

2022, Andras Máthé et Oleg Pikhurko de l'université de Warwick et Jonathan Noel de l'université de Victoria, simplifient la forme des pièces. Il en faut toujours 10 200. 

 

Voir Brève 857

 

 

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Voir

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*       Lunules

*       Quadrature du triangle

*       Quadrature de la parabole

*       Règle et compas

*       Transcendant

Sites

*       Quadrature du cercle – Wikipédia

*       Les secrets du nombre Pi – CNRS – Images des mathématiques

*       Quadrature du cercle de Tarski – Wikipédia

*       Squaring the circle – Mac Tutor – Historique complet

*       Squaring a circle Alexander Bogomolny

*       How Not to Square the Circle – American Mathematical Society

*       Squaring the circle  - A history of the problem – EW Hobson – Livre de 1913

*       Circle Squaring with Pieces of Small Boundary and Low Borel Complexity** – András Máthé, Jonathan A. Noel, Oleg Pikhurko

*       Squaring the Circle by Dissection – Eike Hertel and Christian Richter – 2003

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