NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Général

 

 

INDEX

 

Histoire

 

Introduction

Duplication du cube

Trisection de l'angle

Segment de parabole

Quadrature du cercle

Heptagone

 

Sommaire de cette page

>>> Quadrature du cercle et transcendance

>>> Pseudo quadrature

 

 

 

 

QUADRATURE DU CERCLE

 (Tetragônismos)

Ou l'impossibilité de dessiner

Voir Quadrature du carré

 

 

 

  

QUADRATURE DU CERCLE

                             ET TRANSCENDANCE

 

 

Problème

*       Construire un carré et un cercle de même périmètre avec règle et compas. Ou de même aire (problème équivalent).

 

 

Solutions ?

 

Aristophane (vers 444 - 380 av. J.-C.)

*       Première indication du problème:

"Avec une règle, je vais donner la forme du carré au cercle".

 

Les Grecs

*       Ils croyaient avoir trouvé même si leurs résultats n'étaient que de bonnes approximations.

*       On s'est vite rendu compte que c'était extraordinairement difficile, voire impossible.

 

Nicholas de Cusa (1404-1464)

*       Cardinal et savant renommé,

avance que 3,1423 est la valeur exacte de

 

Joseph Scalinger

*       Il tente aussi de résoudre le problème.

*       Toutes ses tentatives seront réfutées par Viète.

 

Thomas Hobbes (1588-1679)

*       Ses tentatives furent réfutées par John Wallis,au prix de violentes disputes entre les deux hommes.

  

Jacob Marcelis, vers 1700

*       Il pense avoir résolu la question.

*       Sa valeur exacte de  était:

  

Comparaison

Edwin Goodwin en 1897

*       Il publie quasiment un livre sur " une nouvelle vérité mathématique ".

*       L'ouvrage passe la première lecture, et se trouve réfuté par C.A. Waldo en deuxième visée.

 

 

 

 

 

Lindemann en 1882

 

*       Il démontre que Pi est transcendant.
Il ne peut satisfaire aucune équation algébrique à coefficients rationnels.
Il n'est qu'une suite infinie de termes.

 

*       Or, comme tout nombre construit à l'aide du compas et de la règle satisfait à une équation algébrique,

 

La quadrature du cercle est impossible.

 

 

 

Pseudo quadrature du cercle

 

*       Cette construction est basée sur la construction de la racine d'un nombre.

*       Supposons que nous sachions construire la longueur Pi = BC

*       Allongeons ce segment d'une unité AB.

*       Selon sa construction, la racine de Pi est matérialisée en PB.

*       L'aire du carré (Q) construit sur PB est égale à Pi. C'est également l'aire du cercle de rayon unité (C1).

 

Aire du carré Q = Aire du cercle C1

 

*       Reste à construire la valeur de Pi!

*       C'est la mesure d'un demi-périmètre du cercle unité C1

*       En vert, on montre comment faire rouler C1 jusqu'en position C2 pour développer la distance Pi = BC.

*       Le problème: cette opération de roulement n'est pas autorisée. Elle ne correspond pas à la rigueur des constructions à la règle et au compas.

 

 

Un cercle qui roule sans glisser de B à C développe un demi-périmètre égal à Pi.

La construction de la racine carrée permet de tracer BP la racine de Pi.

 

*    Aire du carré:

*    Aire du cercle:

 

 

 

 

Suite en

*       Tentatives de quadratures

*       Construction approchée

*       Construction de Kochansky

*       Lunules

Voir

*       Hilbert

*       Histoire – Index

*       Lunules

*       Règle et compas

*       Transcendant

Sites

*       Qu'est-ce que la quadrature du cercle?  Jacques Hardy

*       Panoplie du constructible Pierre Delezoïde - Lycée Buffon - Paris XV

*       Squaring the Circle  The Maths Forum of Dr MAths (Animations)

*       Squaring the circle by: J J O'Connor and E F Robertson

*       Squaring a circle Alexander Bogomolny

*       Impossible Geometric Constructions  Ask Dr. Math

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