énigmes et devinettes sur les familles

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Deviner mon âge et celui de …

Une série d'indices pour deviner mon âge, celui de mon ami et celui de mon cousin.

La résolution se prête bien à l'établissement d'équations plutôt qu'un graphe en fonction du temps.

Cette énigme m'a été proposée par Christian ZZ que je remercie.

Énigme – Conversation entre mon ami et moi
Le premier, un matheux, déclare:	L'autre, également matheux répond:
J'ai aujourd'hui précisément, 5 fois l'âge que vous aviez, quand mon cousin germain, était âgé de la moitié de mon âge actuel. Or, il est aujourd'hui âgé du double de l'âge qui était le vôtre, à la belle époque où son âge était le même que vôtre âge actuel. Tandis que vôtre âge de cette même belle époque, était alors le double du mien à un autre moment précis où mon cousin était âgé de la moitié de mon âge actuel. Étonnant non?	Certes ! J'ajoute que: Votre âge actuel est égal à 10 fois notre différence d'âge. D'ailleurs, j'ai aussi remarqué quelque chose de singulier: Quand la somme de vôtre âge, et de l'âge de votre cousin était égale à 4 fois mon âge, figurez vous que le total de nos âges d'alors, c'était vôtre âge actuel.

Établissement des équations

À la lecture de l'énoncé, on peut établir ce tableau
On prend l'année @ comme date actuelle

Énoncé	Date	Moi	Ami	Cousin
*actuel*	@	m	a	c = 2(a – s)
*1/2 mon âge*	@ – t	m – t	a – t = m/5	c – t = m/2
*belle époque*	@ – s	m – s	a – s = 2(m – u)	c – s = a
*moment précis*	@ – u	m – u	a – u	c – u = m/2
*différence*		m = 10(m – a)
*somme*	@ – v	m – v	4(a – v) = m + c – 2v	c – v
		m + a + c – 3v = m

Résolution des équations

On retient les neuf équations du tableau précédent.

On remarque que, s'agissant de trouver sept inconnues, deux équations sont redondantes.

#	Équations	Mise en forme	Résolution = f(m)
1	m = 10(m – a)	9m – 10a = 0	a = 9m/10
2	m + a + c – 3v = m	a + c – 3v = 0
3	a – t = m/5	m – 5a + 5t = 0	m – 45m/10 = -5t 50t = 35m 10t = 7m
4	a – s = 2(m – u)	2m – a + s – 2u = 0
5	4(a – v) = m + c – 2v	m – 4a + c + 2v = 0
6	c = 2(a – s)	2a – c – 2s = 0
7	c – t = m/2	m – 2c + 2t = 0	2c = m + 2 x 35m/50 10c = 12m
8	c – s = a	a – c + s = 0
9	c – u = m/2	m – 2c + 2u = 0	2u = -m + 2 x 12m/10 20u = 14m
10 = 5		m – 4a + c + 2v = 0	m – 4 x 9m/10 + 12m/10 + 2v 2v = 7m/5
11 = 6		2a – c – 2s = 0	2s = 18m/10 – 12m/10 s = 3m/10

Les deux équations (5) et (6) sont redondantes. Il est possible de résoudre l'énigme sans elles.

Solutions

La résolution en fonction de "s" montre qu'il existe plusieurs solutions avec s = 3k. C'est-à dire le moment où on situe la belle époque. Avec k = 5, on situe la belle époque il y a 15 ans.

Exemples de solutions en jaune et, en jaune foncé, celle préconisée par l'auteur de l'énigme.

#	Équations	Mise en forme	k = 1	k = 2	k = 5	k =8
12 = 11	m = 10s/3		10	20	50	80
13 = 1	a = 9m/10	a = 3s	9	18	45	72
14 = 7	c = 12m/10	c = 4s	12	24	60	96
15 = 3	t = 7m/10	t = 7s/3	7	14	35	56
16	s = 3k	Multiple de 3	3	6	15	24
17 = 9	u = 7m/10	u = 7s/3	7	14	35	56
18 = 10	v = 7m/10	v = 7s/3	7	14	35	56

Vérification

Avec la solution (50, 45, 60), on reprend le tableau initial.

Ce tableau peut être consulté pour vérifier que les formules établies à partir de l'énoncé sont correctes.

Énoncé	Date	Moi	Ami	Cousin
actuel	@	50	45	60
1/2 mon âge	@ – 35	15	10	25
belle époque	@ – 15	35	25	45
moment précis	@ – 35	15	10	25
différence
somme	@ – 35	15	10	25