NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Jeux et énigmes

 

Classiques

Famille

Graphes

Villa

Chapeaux

Truel

Chasseur

Pastis

 

Sommaire de cette page

>>> Les frères et sœurs

>>> Les frères et sœurs (bis)

>>> Les quatre générations

>>> Âge au carré

>>> Nous trois: père, mère, fils

>>> Et le père?

>>> La moitié de mon âge

>>> Deux fois l'âge …

>>> Deux fois l'âge que tu avais

>>> Trois fois mon âge dans 3 ans …

>>> Huit fois mon âge

>>> Anniversaire et date de naissance

>>> Âge du petit-fils

>>> Amusement: âge répété

 

 

 

Énigmes classiques  pour enfant

La mère de Théo à trois enfant: Lou, Lilou et ? Quel est logiquement le prénom du troisième?

Théo!

 

C’est l’enfant de votre père et de votre mère mais ce n’est ni votre frère ni votre sœur. Qui est-ce ?

- C'est moi, bien sûr!

 

IL y a deux pères et deux fils et pourtant ils ne sont que trois. Pourquoi? Tout simplement parce qu'il y a le grand-père, le père et le fils.

Voir Pensées & humour

 

 

 

ÉNIGMES sur les FAMILLES

 

*      Le père de mon père …

*      J'ai deux fois l'âge que …

*      J'ai deux fois plus de frères que de sœurs…

*      Etc.

 

Exemple

Trois russes ont un frère.

Le frère meurt sans laisser de frère.

Comment est-ce possible?

Les trois russes sont trois sœurs.

 

 

Chéri, devine mon âge

*    Il sait que sa nouvelle fiancée aime les bijoux. Il lui offre un collier de perles. Autant de perles que ses 35 printemps.

*    Chéri, dit-elle, quelle preuve d'amour! Aussi je ne peux pas te mentir plus longtemps. Ajoute donc dix perles au collier …

 

Bévue!

*    Quel âge avez-vous?

*    L'actrice répond: l'âge que je parais.

*    Ah, je vous croyais plus jeune!

Père et grand-père

Combien y a-t-il de pères dans un jeu de sept familles ? Non pas 7, mais 14, car les grands-pères sont aussi des pères. Même chose pour les mères, bien entendu.

Voir Puzzles / Pensées & humour

 

 

Devinettes

La mère de Marie a quatre enfants.

Allez savoir quelle idée à traverser l’esprit des parents :

-      Le premier est prénommé Avril

-      Le deuxième est prénommé Mai

-      Le troisième est prénommé Juin

Quel est le prénom du quatrième enfant ?

Hier, j'avais 29 ans et l'année prochaine, j'aurai 31 ans. Possible?

Solution

 

 

LES FRÈRES ET SŒURS

 

Énigme

 

Ma sœur a autant de frère que de sœurs et mon frère, lui, a deux fois plus de sœurs que de frères.

Combien d'enfants dans la fratrie?

 

 

Test de rapidité

 

Lors d'un test, on propose 6, 7 ou 8 enfants.

Rapidement, de la première proposition, on déduit que: autant de frères que de sœurs plus un => nombre impair => réponse 7.

 

Résolution en image

Résolution

G = F – 1

F = 2G – 2 

    = 2F – 2 – 2

 

F = 4

G = F – 1 = 3

 

Note: on ne sait pas qui je suis; l'un des frères ou l'un des frères (en noir).

 

 

LES FRÈRES ET SŒURS

 

Énigme

Je m'appelle Isabelle: j'ai deux frères de moins que de sœurs.

Je suis son frère Guillaume: j'ai deux fois plus de sœurs que de frères.

Combien d'enfants dans la famille?

 

Résolution en image

Résolution

G = F – 3

F = 2G – 2 

    = 2F – 6 – 2

 

F = 8

G = F – 3 = 5

 

 

 

Les quatre générations

 

Caractérisation de l'énigme

Générations

Famille

Raisonnement

Classique

Collège

 

Énigme

L’arrière grand-mère n’a eu que des filles.

Chacune a eu autant de fils qu’elles avaient de sœurs.

Ces garçons, ses petits-fils, ont eu autant de filles qu’ils avaient de frères.

La quantité de filles, petits-fils et arrière petites-filles est égal à son âge. Quel est-il ?

 

Réponse

Elle a 85 ans avec 5 filles, 20 petits-fils et 60 arrières petites-filles

Chacune des 5 filles a eu 4 garçons (5 – 1).

Chacun des 20 garçons a eu 3 filles (4 – 1).

  

Explications

Formulation

Vérification

Quantité de filles:

F

5

Quantité de petits-fils:

G = F x (F – 1)

    = F² – F

5² – 5  = 20

Quantité d’arrière petits-fils:

H = G (F – 2)

20 x 3 = 60

Calculs:

H = (F² –  F) (F – 2)

   = F3 – F2 – 2F2 + 2F

   = F3 – 3F2 + 2F

   = F (F2 – 3F + 2)

5 (25 – 15 + 2)

= 5 x 12

= 60

Comment trouver F  = 5 ?

En cherchant un âge vraisemblable pour l’arrière grand-mère.

F = 1 n’est pas vraisemblable, car les filles ont au moins une sœur.

L’exploration en fonction de F montre que l’âge vraisemblable est 85 ans pour F = 5.

 

 

A (âge)= F + G + H

 

 

 

 

 

 

Question

En quelle année vos enfants auront-ils votre âge?

La réponse est simple! Si j'ai 50 ans et mon fils 20 ans, il aura 50 ans dans 30 ans, la différence entre nos deux âges. C'est aussi l'âge que j'avais à sa naissance.

 

Illustration

 

Voir Pensées & humour

 

 

 

Âge au carré

Dans 20 ans, son âge sera le carré de son âge actuel.

Quel est son âge?

Le même raisonnement permet de dire qu'il faut attendre a (a² – 1) années pour atteindre le cube de son âge.

Avec 4 ans: 4 + 4 x 15 = 64 = 43

La question serait alors: dans 60 ans, il aura le cube de son âge, quel est son âge?

 

 

Nous trois: père, mère, fils

 

Question

Somme de nos âges: 80.

J'ai 6 fois l'âge de mon fils.

Quand j'aurai  2 fois l'âge de mon fils, alors la somme de nos âges sera 140.

 

Équations

a + b + c = 80

       b = 6a

(a+x) + (b+x) + (c+x) = 140

       (b+x) = 2(a+x)

 

Résolution

a + b + c + 3x = 140

           80 +3x = 140

x = 60/3 = 20

 

7a + c = 80 => c = 80 – 7a

3a + c + 4x20 = 140

3a + c = 60 => c = 60 – 3a

 

80 – 7a = 60 – 3a

4a = 20 => a = 5

b = 6a = 30

c = 60 – 3a = 45

 

Voir Système d'équations

 

 

Et le père?

Question

La mère a 21 ans de plus que son enfant.

Dans six ans exactement, la mère aura cinq fois l’âge de son enfant.

Où est le père ?

 

Note

Énigme avec calcul sérieux et conclusion un peu moins …

 

Solution

Le père est avec la mère ...

Car:

M = âge de la mère; E = âge de l'enfant

 

Équations

M = 21 + E

M + 6 = 5 (E + 6) = 5E + 30

M = 5E – 24

 

Résolution

5E – 24 = 21 + E

4E = – 3

E = –3/4 ans = – 9 mois

 

 

 

LA MOITIÉ DE MON ÂGE

 

Question

Je cherche à savoir quand mon fils aura la moitié de mon âge.

 

Solution

Cela se passe lorsque mon fils à l'âge que j'avais moi-même à sa naissance.

 

                 Moi                  Mon fils

                 30 ans             Naissance

                 60 ans             30 ans = 60 / 2

 

 

 

DEUX FOIS L'ÂGE …

avec méthode générale de résolution de ce type de problème

 

Question

Un enfant de 12 ans demande son âge à son cousin qui lui répond:
Quand tu auras l'âge que j'ai, j'aurai deux fois l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as. Quel est l'âge du cousin ?

 

 

Illustration & explications

 

Dessinez un repère classique à deux axes:

*      abscisses:    le temps qui s'écoule; et

*      ordonnées:  l'âge des individus.

L'axe des ordonnées représente aujourd'hui

*      le point O correspond à l'âge de l'enfant; soit 12 ans

*      le point C, à celui du cousin; soit 12 ans plus x.

Les droites rouges représentent le temps qui passe pour chacun, sachant que la pente est égale à un an d'âge de plus tous les ans (normal!).

*      le point F dans le futur: quand l'enfant aura l'âge du cousin;

*      le point P dans le passé: quand le cousin avait l'âge de l'enfant.

On sait que les deux âges extrêmes, passé et futur, sont l'un le double de l'autre.

 

 

Avec l'aide de ce schéma, la mise en équation est très simple.

 

Résolution

 

 

Quand tu auras l'âge que j'ai, j'aurais …

L'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as

F =

P =

12 + 2x

12 – x

L'un est le double de l'autre.

F =

12 + 2x =

2 P

2 (12 – x)

Calcul

4x =

x =

12

3

Âge du cousin

A =

=

12 + 3

15 ans

 

Vérification

Quand j'avais ton âge (12 ans), tu avais 9 ans.

Quand tu auras l'âge (15 ans) que j'ai (soit dans 3 ans), j'aurai 18 ans.

Qui est bien deux fois 9 ans.

 

 

 

Deux fois l'âge que tu avais …

 

Énigme classique sur Internet en anglais et en français.

On y trouve parfois de mauvaises réponses.

 

Question

I am twice as old as you were when I was as old as you are. What is the ratio of ages of mine and yours?

Je suis deux fois plus âgé que tu l'étais lorsque j'étais aussi vieux que tu l'est aujourd'hui. Quel est le rapport entre nos âges?


 
Solution

Prenons: Y mon âge et X son âge. La différence d'âge est donc Y – X.

Autrefois, tu avais la moitié de mon âge actuel: Y/2

À ce moment là, j'avais, compte tenu de la différence d'âge: Y/2 + (Y – X).

Or, mon âge de l'époque est celui que tu as aujourd'hui (X).

 

 

X = Y/2 + Y – X

2X = 3Y/2

4X = 3Y

Le rapport entre nos âges est de 4/3.

 

 

 

TROIS FOIS MON ÂGE dans 3 ANS …

 

Question

Si on prend trois fois mon âge de dans trois ans, on retire trois fois mon âge d'il y a trois ans, vous trouverez mon âge exact.

 

Illustration & explications

 

*        Point F: mon âge dans 3 ans; F', trois fois plus (échelle sur la figure non respectée pour FF');

*      Point P: mon âge il y a 3 ans; P', trois fois plus.

*       

 

Résolution

L'âge F' diminué de l'âge P' donne mon âge actuel.

3 (x  + 3) – 3 (x – 3) = x

x = 18 ans.

 

Généralisation

Si on prend n fois mon âge de dans n ans, on retire n fois mon âge d'il y a n ans, vous trouverez mon âge exact.

Formulation: n (x  + n) – n (x – n) = x
Soit                x = 2n²

 

 

HUIT FOIS MON ÂGE …

 

*      Quand mon fils aura 15 ans de plus qu'il n'a aujourd'hui, il aura l'âge que j'avais quand j'avais 8 fois son âge.

*      Quand il aura atteint l'âge que j'ai aujourd'hui, nous n'aurons ensemble, si je suis encore de ce monde, 31 fois l'âge qu'il avait quand j'avais 8 fois son âge.

*      Quel est alors l'âge du fils de cet homme?

 

Voir Solution utilisant la méthode graphique

 

 

 

 

ANNIVERSAIRE et DATE DE NAISSANCE

 

Question

*      En 2040:    une personne née en 1970 aura 70 ans

et                 une personne née en 2020 aura 20 ans

*      Est-ce une coïncidence ?

 

Solution

*      Non!

Mais, c'est tout simplement que 20 + 20 = 40 et que 70 + 70 = 40 avec retenue.

On aurait la même chose avec tous les nombres présentant ce doublon:
En 2020 pour 60 ans, car né en 1960 et 10 ans, car né en 2010.

 

Voir Anniversaire le même jour de la semaine

 

 

  

ÂGE DU PETIT-FILS

 

Question

*      J'ai quatre fois l'âge de mon petit-fils.

Si on inverse les deux chiffres de chaque âge,

le nouvel âge de mon petit-fils est égal à trois fois le mien.

 

Solution

*      Mon âge:      10X + Y et celui de mon petit-fils: 10x + y.

Alors:            10X + Y = 4 (10x + y) =>10 X +       Y = 40x +    4y

Et:                 10y + x = 3 (10X + Y) =>   3 X + 30 Y =      x + 10 y

On ajoute:                                              13 X + 31 Y = 41 x + 14 y

 

*      Le grand-père a 72 ans et le petit-fils 18 ans.
En effet: 18 x 4 = 72 & 27 x 3 = 81.

 

Un exemple parmi tant d'autres de ce genre de devinettes. On constate que les équations, dans ce cas,  n'apportent pas grand chose. Le tâtonnement est la seule issue, ou un tableur.

 

Voir Équation diophantiennes

 

 

Amusement – Âge répété

Propriété

73 x 137 = 10 001

73 x 13 837 = 1 01 01 01

 

Exemples

73 x 13 837 x 37 = 37373737

73 x 13 837 x 18 = 18181818

*       Diviseur de 10 001.

 

*       Objet d'amusements sur l'âge:

 

Pense à ton âge. Multiplie par 13 837 (avec une calculette, c'est conseillé). Multiplie encore par 73. Tu trouves ton âge répété quatre fois!

 

 

 

Une petite dernière

Cette année, l'âge de mon fils et le mien forment une suite de quatre chiffres. Et, curieusement, l'an dernier, j'avais un âge double de celui de mon fils.

Cette année nous avons 23 et 45 ans.

L'an dernier nous avions 22 et 44 ans.

 

Vérification de l'unicité de cette solution

Nous aurions pu proposer que l'an dernier mon âge était le triple de celui de mon fils, avec pour solution 12 ans et 34 ans.

 

Devinette – Solution

La mère de Marie a quatre enfants.

Allez savoir quelle idée à traverser l’esprit des parents :

-      Le premier est prénommé Avril

-      Le deuxième est prénommé Mai

-      Le troisième est prénommé Juin

Quel est le prénom du quatrième enfant ? Marie bien sûr!

Avant-hier, j'avais 29 ans et l'année prochaine, j'aurai 32 ans. Est-ce possible? Oui!

Nous sommes le 1er janvier. Hier, le 31 décembre, c'était son anniversaire de 30 ans. Avant-hier, elle avait 29 ans.

Cette année elle va avoir 31 ans et l'an prochain elle aura 32 ans.

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