NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

Débutants

Équations

ÉQUATIONS

 

Glossaire

Équations

2e degré

 

 

INDEX

Arithmétique et Algèbre

 

Généralités

Techniques de base

Premier degré

Deuxième degré

Troisième degré

Deux inconnues

Deux équations ou plus

Déterminant

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Se familiariser

>>> Cas pratique

>>> Exemples pour s'entraîner

>>> Pomme, bananes et coco et autres amusements

>>> Énigme: arrosage des fleurs

>>> Avec trois équations

>>> Exemples pour trois équations

>>> Anglais

 

 

 

SYSTÈME D'ÉQUATIONS

 

Deux équations pour déterminer la valeur de deux inconnues.

Trois équations pour déterminer la valeur de trois inconnues.

 

Finalement, ce n'est pas si compliqué, avec de la méthode et de la rigueur.

 

Houp! Toutes ces choses m'ont toujours paru très compliquées!  Je souhaite revoir cela depuis les bases. Alors, allez voir les sujets suivants:

 

*    Initiation aux quatre opérations

*    SOS – Équations débutant

*    Techniques de base de l'algèbre

*    Exemple simple et expliqué du tonneau au quart vide

*    Exemple simple avec coca et bière

*    Exemple des vaches, chèvres et cochons

 

Anglais: Simultaneous equations, system of equations

 

 

APPROCHE

*      Prenons des objets ayant chacun masse déterminée.

*   Les objets X et Y ont une masse inconnue.

*   Mis tous les deux sur le plateau gauche, il faut un masse de 6 pour équilibrer.

*   Soit X + Y = 6

*      En ajoutant un objet Y.

Pour rétablir l'équilibre il faut une masse de 1 à droite.

*      Soit X + 2Y = 7

Il vous paraît déjà évident que Y vaut 1.

 

*      Essayons de voir pourquoi cette évidence fonctionne.

Cela sera utile pour les cas plus complexes

*      Observez ce qui se passe pour passer du deuxième cas au troisième.

*   Nous avons simplement retiré la même quantité de chaque côté (règle des deux mains)

*   L'astuce est de prendre l'égalité du premier cas.

*   Pour retirer à gauche X et Y, et

*  Retirer à droite l'équivalent, mais sous la forme de la masse 6

 

Commentaires et bilan

 

*    Facile, n'est-ce pas! La suite n'est pas plus compliquée …

*    En pratique, et dès que vous aurez un peu l'habitude, vous écrirez:

 

 

Remarque

*    En effectuant la soustraction, par miracle, l'inconnu x disparaît.
Nous obtenons une équation à une seule inconnue y.

*    Il n'y a pas de miracle, tout simplement, la quantité de x dans chaque équation est la même et le résultat de la soustraction est 0.

 

Astuce

*    Il faudra s'arranger pour toujours faire la même chose

 

  Obtenir deux équations avec la même quantité de x.
  La soustraction éliminera les x.

 

 

 

 

Devinette

Des personnes se trouvent dans deux pièces A et B.

Si l'un de A va dans B, alors ils y seront deux fois plus nombreux.

Si l'une de B va dans A, alors ils seront à égalité.

Combien de personnes dans chaque pièce?

Solution

 

 

Se familiariser

On compte

*    la quantité (Q) de billets de 10 euros (d) et de 20 euros (v)  et

*    la somme correspondante (S).

Dire combien de billets de chaque (d et v?).

Q =   1 500

S = 25 000 euros

 

Résolution d'un système d'équation

 

Mise en équation:

    d +      v =   1 500

10d + 20v = 25 000

Réécriture en prenant 20 fois la première:

20d + 20v = 30 000

10d + 20v = 25 000

Soustraction:

10d + 0     =   5 000

d = 500

Calcul de v:

d + v =   1 500

500 + v = 1 500

v = 1 000

 

Interprétation sans les équations

 

Construction du graphique

La droite rouge indique une quantité de billets égale à 1 500.

*    Au point (d = 0 et v = 1 500), la valeur de la somme est 1 500 x 20 = 30 000 euros.

*    Au point (d = 1500 et v = 0), la valeur de la somme est 1 500 x 10 = 15 000 euros.

 

Nous cherchons le point sur cette droite pour lequel la somme est situé entre ces deux valeurs, et plus précisément 25 000.

 

 

Opérations

1) L'écart 25 000 – 15 000 = 10 000 doit être comblé en échangeant un billet de dix contre un billet de vingt. Pour chaque échange, la somme grimpe de 20 – 10 = 10 euros

2) Pour combler les 10 000 euros, il faut effectuer 10 000 / 10 = 1000 tels échanges

     Le point sur la droite se trouve en (d = 500 et v = 1000). 

 

Voir Méthode de la fausse position

 

 

CAS PRATIQUE: RÈGLE DE LA TÊTE

ou méthode par élimination

*    Les deux équations:

{

2x + 3y

  x +   y

= 40

= 15

*    Pratiquer une simple soustraction ne marche pas.

Nous n'avons toujours les deux inconnues en piste.

*    Il faut amener les x à égalité sur les deux équations.

 

  x + 2y

= 25

Pour obtenir 2x sur la deuxième, multiplions les deux membres par 2 (règle des paquets).

{

2x + 3y

2(x +  y)

= 40

= 2 x15

En calculant les produits.

{

2x + 3y

2x + 2y

= 40

= 30

*    Cette fois, ayant les mêmes valeurs de tête en x.

Nous pouvons effectuer la soustraction.

*    Le tour est joué!

 

  0 +   y

= 10

Pour calculer x, reprenez l'équation de départ x + y = 15

En remplaçant y par 10, vous trouvez x = 5

{

          y

  x

= 10

=   5

 

 

Commentaires et bilan

 

*    En pratique, et dès que vous aurez un peu l'habitude, vous écrirez:

 

 

Règle de la tête

 

Par multiplication des membres de l'équation, obtenir la même tête sur les deux équations pour permettre l'élimination de cette tête lors d'une soustraction.

 

 

Principe imagé

 

*    Exemple avec coefficient 3 et 5 pour x.

On baptise "reste" toute la partie de l'équation qui ne dépend pas de x.

 

 

Note

Si cela est plus pratique, il est possible de faire la même démarche avec les coefficients de y ou de pratiquer une addition plutôt qu'une soustraction.

 

 

 

Amusement

Problèmes avec pommes, bananes et cocos

 

Problème

http://preprod-img.planet.fr/files/images/article/5/5/5/1021555/2282901-inline.png

 

Mise en équation

 

(A)  p = 10

(B)  10 + 8b = 18  8b = 8  b = 1

(C)   4 – 2c  =   2  2c = 2  c = 1

 

Réponse

x = 10 + 3 + 1 = 14

 

 

Remarques

Il est incontestable que l'image montre volontairement (pour piéger!) un régime de quatre bananes et, sur la dernière ligne, seulement trois.

Quant aux noix de coco, ce sont clairement des moitiés de noix.

 

Les trois premières lignes montrent trois équations comportant trois inconnues. Donc, système simple à résoudre.

La seule précaution fut simplement dans le fait de nommer la banane (et non le régime) et c la moitié de noix de coco pour ne pas s'embêter avec des ½ dans les calculs.

 

 

 

Autre énigme vue sur Internet en juin 2016. Sans difficulté particulière, sauf un piège avec la quantité de pétales sur la fleur bleue.

 

Résolution

3 rouges = 60 => 1 rouge  = 20

1 rouge (20) + 2 bleues = 30 => bleue à 5 pétales = ½ (30-20) = 5. Soit un pétale bleu = 1.

1 bleue cinq pétales (5) – 2 jaunes = 3 => une jaune  = ½  (5 – 3) = 1

1 jaune (1) + 1 rouge (20) x 1 bleue quatre pétales (4 x 1) = 1 + 20 x 4 = 81.

Voir Autres problèmes qui affolent le Net … / Énigmes

 

 

 

EXEMPLE 1 pour s'entraîner

*    Les deux équations:

{

5x + 3y

2x +   y

= 1

= 3

*    La valeur commune du coefficient de tête est 10 (PPCM):

*    Pour obtenir 10x la première équation est multipliée par 2 et la seconde par 5:

{

2 (5x + 3y)

5 (2x +   y)

= 2 x 1

= 5 x 3

*    En effectuant les multiplications:

{

10x + 6y

10x + 5y

=   2

= 15

*    La soustraction:

 

  0  +    y

= –13

*    Et pour x:

 

  2x +   y

  2x + (–13)

  2x

    x

= 3

= 3

= 16

= 8

*    Vérification (notez l'utilisation du point pour la multiplication, pour ne pas confondre avec l'inconnue x):

{

5 . 8 + 3 . (–13)

2 . 8 +   (–13)

= 1

= 3

 

 

Apprenez à noter proprement les équations en alignant les termes de même nature. Une erreur est si vite arrivée ! Pour finir, toujours vérifier.

 

 

 

Exemple supplémentaire, expliqué

 

Résoudre ce système de deux équations à deux inconnues.

 

  4x + 5y + 150 = 0

36x + 9y +     9 = 0

 

1) Je peux multiplier les deux membres de l'égalité par le même nombre sans changer l'égalité.

2) En multipliant la première par 9 et la seconde par 5, nous aurons la même quantité de y dans les deux équations.

 

9 (  4x + 5y + 150) = 0

5 (36x + 9y +     9) = 0

On effectue les multiplications

  36x + 45y + 1350 = 0

180x + 45y +     45 = 0

Soustraction des égalités

–144x + 0y + 1305 = 0

Calcul de x en retranchant 1305 de chaque côté, puis en divisant par 144 de chaque côté

–144x = – 1305

x = –1305 / (–144) = 9,0625

Calcul de y en reprenant l'une des équations (n'importe laquelle)

 

4*9,0625 + 5y + 150 = 0

5y = –150 – 36,25 = –186,25

y = –186,25 / 5 = –37,25

 

On vérifie avec la seconde équation

36x + 9y +     9 = 0

36 * 9,0625 + 9 * (–37,25) + 9

= 326,25 – 335,25 +9 = 0

 

Énigme classique

Problème

Résoudre ce problème d'arrosage. Pas si simple sans papier ni crayon. On peut toujours raisonner intuitivement et suivre son inspiration. Cependant, la méthode de résolution par système d'équations est un outil efficace et systématique.

Résolution

Notez le systématisme de la présentation propice à la vision de la solution.

*    On laisse 1) pour le moment car si on connait y on connaitra x;

*    Avec 2) et 3), configuration qui permet d'éliminer y;

*    Avec ce résultat et 4), on élimine z et on connait la valeur de t;

*    La suite est évidente.

D'après  Télé Star Jeux de décembre 2014

 

 

 

 

Exemples 2 à 5



 

 

 

 

AVEC TROIS ÉQUATIONS – Principe imagé

 

Les trois équations de départ sont en jaune.

On montre la "mécanique" et non pas les valeurs.

 

Principe

1 - Avec les équations 1 et 2 formez l'équation 4 sans x.

2 - Avec les équations 2 et 3 formez l'équation 5 sans x.

3 - Avec les équations 4 et 5 formez l'équation 6 sans x ni y, soit seulement z.
 

 

 

EXEMPLE

*    Les trois équations

{

 5x  + 7y – 7z

 2x  + 4y – 3z

–4x + 5y + 4z

= – 8

=   0

= 35

*    Équations 1 et 2

{

 5x + 7y – 7z

 2x + 4y – 3z

= – 8

=   0

*    Équations 1' et 2'

{

 2 (5x + 7y – 7z)

 5 (2x + 4y – 3z)

= 2 (– 8)

=   0

*    Calculs

{

 10x + 14y – 14z)

 10x + 20y – 15z)

= –16

=   0

*    Équation 4

 

           – 6y + z

              6y – z

 

= –16

=  16

 

*    Équations 2 et 3

{

  2x + 4y – 3z

–4x + 5y + 4z

=   0

= 35

*    Équations 2' et 3'

{

2(2x + 4y – 3z)

–4x + 5y + 4z

=   0

= 35

*    Calculs

{

  4x + 8y – 6z

–4x + 5y + 4z

=   0

= 35

*    Équation 5

 

       13y – 2z

= 35

*    Équations 4 et 5

{

             6y –   z

           13y – 2z

= 16

= 35

*    Équations 4' et 5'

{

         2 (6y –   z)

           13y – 2z

= 2 . 16

= 35

*    Calculs

{

           12y – 2z

           13y – 2z

= 32

= 35

*    Équation 6

 

             – y

               y

= – 3

=   3

*    Calcul de z

 

 

            6y – z

            18 – z

                     z

= 16

= 16

=   2

*    Calcul de x

 

5x + 7y – 7z

5x + 7.3 – 7.2

5x

  x

= – 8

= – 8

= – 15

=   – 3

*    Vérification

{

5.(–3) + 7.3 – 7.2

2.(–3) + 4.3 – 3.2

–4.(–3) + 5.3 +4.2

= – 8

=   0

= 35

 

 

Autre exemple avec trois équations

 

Résoudre ce système de trois équations à trois inconnues.

 

2x + 3y +   z = –2         (1)

5x + 4y +   z = –5         (2)

8x +   y + 2z = –9         (3)

Avec deux équations, je fais disparaître une inconnue (z, par exemple).

3x + y = –3                     (4) = (2) – (1)

Il me faut une autre équation en x, y mais sans le z.

 

10x + 8y + 2z = –10      (5) = 2*(2)

  8x +   y  + 2z = –9        (3)

 

  2x + 7y = –1                  (6) = (5) –(3)

 

Nous avons désormais un système de deux équations à deux inconnues.

3x +   y = –3                  (4)

2x + 7y = –1                  (6)

Je multiplie la première par 7 pour disposer de la même quantité de y dans les deux équations.

 

21x + 7y = –21                (7) = 7 * (4)

  2x + 7y = –  1                 (6)

 

19x = –20                         (8)

x = –20/19

 

Calcul de y avec une équation en x et y, par exemple la (4).

3x + y = –3

3*(–20/19) + y = –3

 

 

Calcul de z avec une des équations initiale, par exemple la (1).

2x + 3y +   z = –2         (1)

 

 

 

English corner

 

Simultaneous equations are a set of equations containing multiple variables

This set is often referred to as a system of equations.

A solution to a system of equations is a particular specification of the values of all variables that simultaneously satisfies all of the equations.
 

 

 

 

Devinette: les cartes de toutes les couleurs

 

Des cartes disposées sur la table:

*       Toutes les cartes sont des cœurs sauf 12. 

*       Toutes les cartes sont des carreaux sauf 12. 

*       Toutes les cartes sont des trèfles sauf 12. 

*       Toutes les cartes sont des pics sauf 12. 

Combien de cartes sur la table?

 

Un raisonnement intuitif laisse penser qu'il y a autant de cartes de chaque couleur. En reprenant l'un des énoncés, on calcule: 12/3 = 4.

 

La mise en équation est simple, et la résolution relativement aisée. Il s'agit d'un système de quatre équations à quatre inconnues.

 

Mise en équations

 

 

 

 

Résolution

 

Voir Jeux et énigmes

 

 

Devinette – Solution

Si l'un de A va dans B, alors ils y seront deux fois plus nombreux.

2(A – 1) = B + 1

Si l'une de B va dans A, alors ils seront à égalité.

B – 1 = A + 1

Système de deux équations. De la seconde on tire:

B – 1 + 1 = A + 1 + 1

B              = A + 2

En remplaçant dans la première:

2(A – 1) = A + 2 + 1

2A – 2   = A + 3

2A – 2 + 2 – A = A + 3 + 2 – A

   A                    =        5

Et pour B:

   B = A + 2 = 5 + 2 = 7

Retour

 

 

 

Suite

*    Autres exemples

*    Calcul de la somme des carrés – Exemple

*    Calcul de la différence des puissances

*    Énigme des biscuits

*    Énigme du travail au champ

*    Exemple avec calcul de la formule générale des nombres figurés

*    Méthode des déterminants

Voir

*    Algorithme d'Héron

*    Bœufs  d'Hélios

*    ÉquationGlossaire et index

*    Équation de Pell

*    Exemple avec le problème de l'escalier roulant

*    Exemple de résolution pour les carrés magiques

*    Méthode de Newton

*    Système d'équation en congruence

*    Systèmes d'équations en 100

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