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ALGÈBRE

 

Débutants

Structure

Structures algébriques

 

Glossaire

Ensemble

 

 

INDEX

Structures algébriques

Débutant

Loi de composition

Table de Cayley

Relation binaire

 

Sommaire de cette page

>>> Approche avec une identité remarquable

>>> Loi de composition

>>> Propriétés

>>> Structures élémentaires: magma et monoïde

 

 

 

 

 

LOI de COMPOSITION

sur un ensemble

 

Comment définir une opération sur des éléments appartenant à des ensembles identiques ou pas. Généralisation de la notion d'opérations.

 

 

Approche avec une identité remarquable

 

Carré

Distributivité de x sur +

Commutativité sur x

Distributivité de x sur +

Commutativité sur x

Associativité de +

Convention d'écriture

 

 

(a + b )² = (a + b) (a + b)

(a + b) x a + (a + b) x b
a x (a + b) x  + b x (a + b)

axa + axb + bxa + bxb 

axa + axb + axb + bxb 

axa + 2axb + bxb 

a² + 2axb + b² 

 

Les opérations + et x sont bien connues depuis l'école primaire. Cet exemple montre les propriétés sous-jacentes. Est-il possible de généraliser à d'autres opérations et à d'autres ensembles ?

 

L'ensemble sera E quelles que soient les entités: nombres, vecteurs,  ou n'importe quoi)

Les opérations seront appelées applications et notés  , T ou autres.

 

La loi de composition est une application (opération).

 

 

 

 

Loi de composition

 

*    E est un ensemble non vide.

Toute application de E² dans E est une loi de composition.

 

*    Une loi peut être définie par sa table de Cayley.

 


 

 

 

 

 

Propriétés

 

*    La généralisation  de l'opération classique à l'application pose quelques questions de base. Les propriétés évidentes de l'algèbre numérique ne sont plus garanties. Nécessité de redéfinir cette nouvelle algèbre. 

*    Voici quelques propriétés et les conditions de leur existence.

 

Commutatif
Commutativité

 

Loi de composition interne telle que l'ordre importe peu. Les éléments peuvent être permutés.

 

Additions comme multiplications sont commutatives. Pas soustraction, ni division.

 

Associatif
Associativité

 

Loi de composition interne telle que les parenthèses sont inutiles.

 

Additions, soustractions et multiplications sont associatives. Pas la division.

 

Élément neutre

 

Élément qui ne modifie pas l'opération.

S'il existe, il est unique.

 

Le nombre 0 est l'élément neutre de l'addition; et 1, celui de la multiplication.

 

*    Symétrique

Symétrisable

 

Un élément symétrique est soit l'opposé pour l'addition ou l'inverse pour la multiplication.

Éléments symétrisable:

*         à droite:   

*         à gauche:

Si les deux existent x et x' sont symétriques.

L'élément neutre est son propre symétrique.

La table de Cayley est symétrique.

 

*    Inverse

Inversion

Inversible

Symétrique pour une multiplication. Ex: 3 et 1/3.

Utilisé aussi pour les matrices.

*    Opposé

Symétrique pour une addition. Ex: 3 et -3.

*    Régulier ou simplifiable

 

Un élément est régulier si on peut simplifier.
Avec x appartenant à E, un élément est régulier si:

*  à droite:  

*  à gauche:

Il est régulier si les deux propriétés sont vérifiées.

 

Tout élément inversible d'un monoïde (M,*) est régulier.

 

 

 

Structures élémentaires

Magma

Monoïde

 

*    Un ensemble E non vide muni d'une loi de composition interne est un magma.

*    Il est noté:  (E, *).

 

 

 

*    Magma avec

*      élément neutre, et

*      loi associative.

*    Il est noté: (M, *).


 

 

 

*    Dans un monoïde le symétrique est unique.

*    Tout élément inversible d'un monoïde est régulier.

 

 

 

 

Suite

*         Table de Cayley

Voir

*         CalculIndex

Livre

*         Mathématiques L1 – Pearson Education – 2007 

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