NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/01/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	ALGÈBRE
Débutants Structure	Structures algébriques			Glossaire Ensemble
INDEX Structures algébriques	Débutant	Loi de composition	Table de Cayley
	Relation binaire, équivalence; ensemble quotient		Groupe
		Sommaire de cette page >>> Approche avec une identité remarquable >>> Loi de composition >>> Propriétés >>> Structures élémentaires: magma et monoïde >>> Types de lois de composition: interne, externe

LOI de COMPOSITION

sur un ensemble

Comment définir une opération sur des éléments appartenant à des ensembles identiques ou pas. Généralisation de la notion d'opérations.

Approche avec une identité remarquable
Carré Distributivité de x sur + Commutativité sur x Distributivité de x sur + Commutativité sur x Associativité de + Convention d'écriture	(a + b )² = (a + b) (a + b) (a + b) x a + (a + b) x b a x (a + b) x + b x (a + b) axa + axb + bxa + bxb axa + axb + axb + bxb axa + 2axb + bxb a² + 2axb + b²
Les opérations + et x sont bien connues depuis l'école primaire. Cet exemple montre les propriétés sous-jacentes. Est-il possible de généraliser à d'autres opérations et à d'autres ensembles ? L'ensemble sera E quelles que soient les entités: nombres, vecteurs, ou n'importe quoi) Les opérations seront appelées applications et notés , T ou autres. La loi de composition est une application (opération).

Loi de composition
E est un ensemble non vide. Toute application de E² dans E est une loi de composition. Une loi peut être définie par sa table de Cayley.

Propriétés
La généralisation de l'opération classique à l'application pose quelques questions de base. Les propriétés évidentes de l'algèbre numérique ne sont plus garanties. Nécessité de redéfinir cette nouvelle algèbre. Voici quelques propriétés et les conditions de leur existence.
Commutatif Commutativité	Loi de composition interne telle que l'ordre importe peu. Les éléments peuvent être permutés. Additions comme multiplications sont commutatives. Pas soustraction, ni division.
Associatif Associativité	Loi de composition interne telle que les parenthèses sont inutiles. Additions, soustractions et multiplications sont associatives. Pas la division.
Élément neutre	Élément qui ne modifie pas l'opération. S'il existe, il est unique. Le nombre 0 est l'élément neutre de l'addition; et 1, celui de la multiplication.
Symétrique Symétrisable	Un élément symétrique est soit l'opposé pour l'addition ou l'inverse pour la multiplication. Éléments symétrisable: à droite: à gauche: Si les deux existent x et x' sont symétriques. L'élément neutre est son propre symétrique. La table de Cayley est symétrique.
Inverse Inversion Inversible	Symétrique pour une multiplication. Ex: 3 et 1/3. Utilisé aussi pour les matrices.
Opposé	Symétrique pour une addition. Ex: 3 et -3.
Régulier ou simplifiable	Un élément est régulier si on peut simplifier. Avec x appartenant à E, un élément est régulier si: à droite: à gauche: Il est régulier si les deux propriétés sont vérifiées. Tout élément inversible d'un monoïde (M,*) est régulier.

Structures élémentaires
Magma		Monoïde
Un ensemble E non vide muni d'une loi de composition interne est un magma. Il est noté: (E, *).		Magma avec élément neutre, et loi associative. Il est noté: (M, *).
	Dans un monoïde le symétrique est unique. Tout élément inversible d'un monoïde est régulier.

Types de lois de composition selon les ensembles de départ et d'arrivée

Voir Leurs définitions

Suite	Table de Cayley Anneau commutatif Z/mZ
Voir	Calcul – Index
Livre	Mathématiques L1 – Pearson Education – 2007
Site	Composition law – wiki
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Compose.htm