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LOI de COMPOSITION sur un ensemble Comment définir une
opération sur des éléments appartenant à des ensembles identiques ou pas.
Généralisation de la notion d'opérations. |
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Carré Distributivité de x sur + Commutativité sur x Distributivité de x sur + Commutativité sur x Associativité de + Convention d'écriture |
(a + b )² = (a + b) (a + b) (a + b) x a + (a + b) x b axa + axb + bxa + bxb axa + axb + axb + bxb axa + 2axb + bxb a² + 2axb + b² |
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Les opérations + et x sont bien connues depuis
l'école primaire. Cet exemple montre les propriétés sous-jacentes. Est-il
possible de généraliser à d'autres opérations et à d'autres ensembles ? L'ensemble sera E quelles que soient les entités:
nombres, vecteurs, ou n'importe quoi) Les opérations seront appelées applications et notés La loi de composition
est une application (opération). |
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Toute application de E² dans E est une loi de composition.
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Commutatif |
Loi de
composition interne telle que l'ordre importe peu. Les éléments peuvent être
permutés. Additions comme multiplications sont commutatives. Pas soustraction, ni
division. |
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Associatif |
Loi de
composition interne telle que les parenthèses sont inutiles. Additions,
soustractions et multiplications sont associatives. Pas la division. |
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Élément neutre |
Élément qui ne modifie pas l'opération. S'il existe, il est unique. Le nombre 0 est l'élément neutre de l'addition; et 1, celui de la
multiplication. |
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Symétrisable |
Un élément
symétrique est soit l'opposé pour l'addition ou l'inverse pour la
multiplication. Éléments
symétrisable:
Si les
deux existent x et x' sont symétriques. L'élément
neutre est son propre symétrique. La table de Cayley est symétrique. |
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Inversion Inversible |
Symétrique pour une multiplication.
Ex: 3 et 1/3. Utilisé aussi pour les
matrices. |
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Symétrique pour une
addition. Ex: 3 et -3. |
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Un
élément est régulier si on peut simplifier.
Il est
régulier si les deux propriétés sont vérifiées. Tout
élément inversible d'un monoïde (M,*) est régulier. |
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Magma |
Monoïde |
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Types de lois de composition selon les ensembles de départ et
d'arrivée
Voir Leurs
définitions
Suite |
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Voir |
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Livre |
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