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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 12/01/2013

Débutants

Général

RUBRIQUE   LOGIQUE

Glossaire Général

 

Partie 1 - Introduction

 

Introduction

Couple

Négation

Implication

 


 

 

INTRODUCTION

à la LOGIQUE MATHÉMATIQUE

 

Nous devons d'abord sacrifier à une formalité:

introduire un peu de vocabulaire spécifique à la logique mathématique

 

Mots rencontrés dans cette page

Assertion

Proposition

Prédicat

Valeur de vérité

Raisonnement

Logique

Calculs

  - des propositions

  - de prédicats

Quantificateur

   - existentiel

   - universel

 

 

 

 

 

Approche

 

Proposition

 

*  La plage est formée de sable Cette phrase est un énoncé, une affirmation, une assertion, on dira: une proposition.

*    La plage de Nice est très jolie cette phrase émet une opinion et n'entre pas dans la définition d'une proposition telle que nous l'entendons en logique mathématique.

*    La proposition doit posséder un caractère de véracité: vrai ou faux; on dira: une valeur de vérité.

¨     La plage de Ramatuelle (Pampelonne)) est une plage de sable est une proposition vraie.

¨     La plage de Nice est une plage de sable est une proposition fausse (ce sont des galets).

 

Une proposition est une affirmation reconnue par tous pour être soit vraie soit fausse.

Voir Tiers exclu

 

Sans autre indication, une proposition écrite est supposée vraie (par pure convention). Exemple: p(x) veut dire que la proposition p(x) est vraie.

 

 

Raisonnement

 

*  Tous les chevaux ont quatre pattes; or, voici un animal à quatre pattes; cet animal est un cheval ce raisonnement est faux.

*  Tous les chevaux ont quatre pattes; voici un cheval; il a quatre pattes ce raisonnement est correct.

 

Le raisonnement est un cheminement de pensée qui partant de propositions en déduit d'autres propositions avec leur valeur de vérité.

 

Logique

 

La logique est la science qui permet d'établir des règles précises conduisant à un raisonnement rigoureux.

 

On parle alors de calcul des propositions ou, en logique avancée (avec introduction de variables), de calcul des prédicats.

 

 

 

Tous ou au moins un?

 

Petite histoire de logique

 

Un citadin observant un troupeau de moutons, dont l'un est noir, confie à son ami:

-        Je ne suis pas sûr de les voir tous, mais ce dont je suis sûr c'est qu'il existe au moins un mouton noir.

-        Non, répond son ami logicien, il existe au moins un mouton dont l'un des flancs est noir!

-        Je te l'accorde, mais tu ne pourras pas contester tout de même que tous les moutons ont bien quatre pattes quelle que soit la manière de raisonner …

-        C'est sûr!

 

 

*  Nous découvrons que nous avons besoin de quantifier la totalité des individus de l'ensemble, ou au moins un individu parmi tous.

 

Illustration

-        Tous les éléments de cet ensemble sont des étoiles.

-        Il en existe au moins une dont la couleur est noire.

 

 

Tous pareils: quantificateur universel

 

*  Le fait que tous les éléments x d'un ensemble E partage une certaine propriété est une déclaration qui revient souvent dans le raisonnement logique.

 

On lui associe une abréviation:

 

Notation

Lecture

Pour tous les éléments x appartenant à l'ensemble E, la proposition p(x) est vraie

 

On peut dire: tous ou chaque éléments de E.

 

 

Il existe au moins un: quantificateur existentiel  

 

*  Le fait qu'il existe obligatoirement un élément x dans un ensemble E est une déclaration qui revient souvent dans le raisonnement logique .

 

On lui associe deux abréviations selon le cas:

 

Notation

Lecture

Il existe au moins un élément x de l'ensemble E pour lequel la proposition p(x) est vraie.

Il existe un élément x unique de l'ensemble E pour lequel la proposition p(x) est vraie.

 

On peut dire: au moins un ou quelques ou certains éléments de E.

 

 

 

 

Association des deux quantificateurs

 

*  Si X est un homme et Y est un alcool, Que veut dire:

 

 

*    Pour n'importe quel X, il existe un alcool qui saoule X.

*    Il y a toujours un alcool qui saoule l'homme.

*    Tout homme est sensible à un ou plusieurs alcools.

X1 est soûl en buvant Yk

Xn se soûle avec Yk ou Yq

*    Tous les X ont une flèche en provenance de Y.

*    Il existe toujours un Y qui aboutit à X.

*    Il existe toujours un alcool qui soûle l'homme.

 

*  Alors, peut-on se risquer à écrire:

 

 

*  Oups! Pas si simple. La rigueur logique est à l'œuvre.

*  Lisons consciencieusement cet énoncé:

*     Il existe un alcool (Y) tel que, quel que soit l'homme (X), cet homme devient soûl avec cet alcool.

*    Autrement dit: Un même alcool est capable des soûler tous les hommes. C'est le cas de Yq sur l'illustration.

 

*  Les deux énoncés sont donc bien différents.

 

 

 

Avec ce vocabulaire de base,

nous sommes parés pour plonger

dans le bain de la logique mathématique.

 

 


 

Suite

*    Quantificateurs multiples

Voir

*    LogiqueIndex

Aussi

*    Dictionnaire des maths

*    DicoNombre

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