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  LOGIQUE

 

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Général

Partie 1 - Introduction

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Cours de maths

 

Introduction

Couple

Négation

Implication

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Tous ou au moins un?

>>> Association des deux quantificateurs

>>> Vocabulaire

 

 

 

 

 

 

 

INTRODUCTION

à la LOGIQUE MATHÉMATIQUE

 

Nous devons d'abord sacrifier à une formalité: introduire un peu de vocabulaire spécifique à la logique mathématique.

 

Mots rencontrés dans cette page

Assertion

Proposition

Prédicat

Valeur de vérité

Raisonnement

Logique

Calculs

  - des propositions

  - de prédicats

Quantificateur

   - existentiel

   - universel

 

 

 

 

 

Approche

 

Proposition

 

La plage est formée de sable Cette phrase est un énoncé, une affirmation, une assertion, on dira: une proposition.

La plage de Nice est très jolie cette phrase émet une opinion et n'entre pas dans la définition d'une proposition telle que nous l'entendons en logique mathématique.

La proposition doit posséder un caractère de véracité: vrai ou faux; on dira: une valeur de vérité.

La plage de Ramatuelle (Pampelonne)) est une plage de sable est une proposition vraie.

La plage de Nice est une plage de sable est une proposition fausse (ce sont des galets).

 

Une proposition est une affirmation reconnue par tous pour être soit vraie soit fausse.

Voir Tiers exclu

 

Sans autre indication, une proposition écrite est supposée vraie (par pure convention). Exemple: p(x) veut dire que la proposition p(x) est vraie.

 

Voir Différence entre proposition et assertion

 

 

Raisonnement

 

*  Tous les chevaux ont quatre pattes; or, voici un animal à quatre pattes; cet animal est un cheval ce raisonnement est faux.

*  Tous les chevaux ont quatre pattes; voici un cheval; il a quatre pattes ce raisonnement est correct.

 

Le raisonnement est un cheminement de pensée qui partant de propositions en déduit d'autres propositions avec leur valeur de vérité.

 

Logique

 

La logique est la science qui permet d'établir des règles précises conduisant à un raisonnement rigoureux.

 

On parle alors de calcul des propositions ou, en logique avancée (avec introduction de variables), de calcul des prédicats.

 

Voir Logique des propositions / Types de raisonnements

 

 

 

Tous ou au moins un?

 

Petite histoire de logique

 

Un citadin observant un troupeau de moutons, dont l'un est noir, confie à son ami:

-        Je ne suis pas sûr de les voir tous, mais ce dont je suis sûr c'est qu'il existe au moins un mouton noir.

-        Non, répond son ami logicien, il existe au moins un mouton dont l'un des flancs est noir!

-        Je te l'accorde, mais tu ne pourras pas contester tout de même que tous les moutons ont bien quatre pattes quelle que soit la manière de raisonner …

-        C'est sûr!

 

 

*  Nous découvrons que nous avons besoin de quantifier la totalité des individus de l'ensemble, ou au moins un individu parmi tous.

 

Illustration

-        Tous les éléments de cet ensemble sont des étoiles.

-        Il en existe au moins une dont la couleur est noire.

 

 

Tous pareils: quantificateur universel

 

*  Le fait que tous les éléments x d'un ensemble E partage une certaine propriété est une déclaration qui revient souvent dans le raisonnement logique.

 

On lui associe une abréviation:

 

Notation

Lecture

Pour tous les éléments x appartenant à l'ensemble E, la proposition p(x) est vraie

 

On peut dire: tous ou chaque éléments de E.

 

 

Il existe au moins un: quantificateur existentiel  

 

*  Le fait qu'il existe obligatoirement un élément x dans un ensemble E est une déclaration qui revient souvent dans le raisonnement logique .

 

On lui associe deux abréviations selon le cas:

 

Notation

Lecture

Il existe au moins un élément x de l'ensemble E pour lequel la proposition p(x) est vraie.

Il existe un élément x unique de l'ensemble E pour lequel la proposition p(x) est vraie.

 

On peut dire: au moins un ou quelques ou certains éléments de E.

 

 

 

 

Association des deux quantificateurs

 

*  Si X est un homme et Y est un alcool, Que veut dire:

 

 

*    Pour n'importe quel X, il existe un alcool qui saoule X.

*    Il y a toujours un alcool qui saoule l'homme.

*    Tout homme est sensible à un ou plusieurs alcools.

X1 est soûl en buvant Yk

Xn se soûle avec Yk ou Yq

*    Tous les X ont une flèche en provenance de Y.

*    Il existe toujours un Y qui aboutit à X.

*    Il existe toujours un alcool qui soûle l'homme.

 

*  Alors, peut-on se risquer à écrire:

 

 

*  Oups! Pas si simple. La rigueur logique est à l'œuvre.

*  Lisons consciencieusement cet énoncé:

*     Il existe un alcool (Y) tel que, quel que soit l'homme (X), cet homme devient soûl avec cet alcool.

*    Autrement dit: Un même alcool est capable des soûler tous les hommes. C'est le cas de Yq sur l'illustration.

 

*  Les deux énoncés sont donc bien différents.

 

 

 

Avec ce vocabulaire de base,

nous sommes parés pour plonger

dans le bain de la logique mathématique.

 

 

Vocabulaire

 

Énoncé

Phrase qui définit un objet ou en donne les propriétés.

Soit x un nombre réel.

Le nombre 5 est un nombre entier.

 

Affirmation

Nom générique d'un énoncé qui peut être vrai, faux, possible, probable.

Affirmation vraie: 1 + 1 = 2.
Affirmation fausse: il est possible que x² = 2 soit résolu par un entier.

Demain, j'irai faire des course n'est pas une affirmation (c'est une décision, un souhait, une opinion …)

Si elle  ne peut être que vraie ou fausse, c'est une assertion

 

Proposition

 

 

Une proposition est un énoncé que l’on pourra soit démontrer, soit réfuter: elle est vraie ou fausse.

Pour tout , on a .

Cette carte est un Roi

Il pleut.

Le sol est mouillé

 

En logique:

On parle de logique des propositions.

Une proposition est une affirmation à laquelle on peut, sans ambiguïté, attribuer la valeur vraie ou la valeur fausse.

Une proposition satisfait nécessairement les lois suivantes:

*       Le principe du tiers exclu: Une proposition est nécessairement vraie ou fausse.

*       Loi de non contradiction: Une proposition ne peut pas être à la fois vraie ou fausse.

 

Assertion

Proposition, positive ou négative, que l'on donne comme vraie; sinon elle fausse.

 

S'il pleut, le sol est mouillé.

Si Hollande est hollandais alors 1 + 1 = 3.

Si x est inférieur à 100, sa racine est inférieure à 10.

 

Synonyme en maths de: Hypothèse, Axiome, Postulat ou Conjecture selon le degré de certitude

 

 

Prédicat

Dans "Platon est un homme"

Le prédicat est "est un homme". C'est la propriété énoncée

En logique avancée, on parle de calcul des prédicats, assertion dépendant de variables.

 

Alternative

Une proposition alternative énonce deux choses dont une seule est vraie.

 

 

 

 

 

Suite

*    Quantificateurs multiples

Voir

*    LogiqueIndex

Aussi

*    Dictionnaire des maths

*    DicoNombre

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