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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 06/05/2012

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Chérie, qu'est-ce que tu préférerais un homme musclé ou un homme intelligent. – Mais mon Amour, aucun des deux c'est toi que je préfère!

Voir Pensées & humour

TIERS EXCLU

Si ça n'est pas vrai, c'est faux;

Si ça n'est pas faux, c'est vrai;

Pas d'autres possibilités.

Évident ! mais…

Peut-on accepter un tel principe ?

Comment savoir si cela est toujours vrai ?

Certains mathématiciens ont cherché à se passer de ce principe

Voir	Les outils de la logique La logique classique de Boole

Les trois principes logiques de l'Antiquité

Bivalence	Contradiction	Tiers exclu
Toute proposition est vraie ou fausse.	Une proposition et sa contradictoire ne peuvent pas être toutes les deux vraies.	Deux propositions contradictoires ne peuvent pas être toutes les deux fausses.
p vraie ou fausse	p et non-p impossible	p ou non-p sans autre possibilité

Seul le principe du tiers exclu est désormais bien connu

PRINCIPE DU TIERS EXCLU

Tiers Exclu

Une proposition est
VRAIE	OU	FAUSSE
	et
	Jamais de 3^e possibilité

Ce principe est très utilisé dans les démonstrations mathématiques En particulier, avec la Démonstration par l'absurde
On suppose une chose vraie
On montre que cette hypothèse induit une contradiction
	Donc la chose est fausse

Voir exemple de démonstration par l'absurde

Le nombre 2 est irrationnel >>>

Formulation

Symbolisation

Pour toute proposition P
[ P ou nonP] est vraie

Explications
C'est la proposition complète entre crochets est une proposition qui est vraie Elle dit que: soit P est vraie, soit non-P est vraie	Ici on ne prend même plus la peine de dire que la proposition complète est vraie La notation l'implique = Quelle que soit la proposition P = Non P = Ou (Mnémotechnique: symbole OUvert vers l'espace

PRINCIPE DE LA NON CONTRADICTION

On peut dire aussi

Une proposition ne peut pas être

vraie et fausse

à la fois

Formulation

Symbolisation

Pour toute proposition P
non [ P et nonP] est fausse

SAC DE BILLES

Sac de billes de Cantor

Dans un sac fermé, les billes sont	rouges ou noires
Mais, dans le sac, y a-t-il vraiment une	bille noire
Il suffit de les sortir	une à une
Dès que l'on a trouvé une bille noire, on répond :	oui
Sinon, en ayant sorti toutes les billes, c'est:	non
Il n'y a pas d'ambiguïté

Oui, mais …

Si le sac est grand,	il faudra du temps
S'il est très grand,	il faudra beaucoup de temps
Si le sac est "infini",	il n'est plus possible de passer en revue toutes les billes
Est-il encore possible de conclure ?	Et s'il existait un autre genre de réponse que l'on ne soupçonne même pas On connaît les monstruosités à l'infini imaginées par Cantor
On ne sait pas conclure

Tiers ou pas ?

Cet exemple illustre la faiblesse du principe du tiers exclu

On ne peut pas savoir si entre oui et non il n'y a pas autre chose

On aura compris que malgré ce doute, ce principe est largement adopté

Sauf par certains qui ont reconstruit toutes les mathématiques avec des démonstrations excluant le tiers exclu

Paradoxe du tiers exclu
Cette phrase contient sept mots. C'est faux, elle contient cinq mots.	Cette phrase ne contient pas sept mots. C'est faux, elle contient effectivement sept mots.
Le principe du tiers exclu précise qu'une chose est vraie ou fausse et qu'il n'y a pas de tierce possibilité. Or, ici, nous sommes en présence d'une phrase et de sa négation, toutes les deux fausses à la fois! Encore un doute sur la validité permanente du principe du tiers exclu.

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