NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés

ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 02/07/2013

 

 Accueil

Outils Mathématiques

Sommaire

<<<

Logique

>>>

 

Tiers Exclu

Syllogisme

 

 

Sommaire de cette page

 

>>> Principe du tiers exclu

>>> Principe de la non-contradiction

>>> Sac de billes

>>> Paradoxe

>>> Philosophie indienne

 

 

Pages Voisines

 

*       Logique

*       Bon ordre

*       Les symétries

*       Les types de nombres

*       Théorie des nombres - Index

*       Jeux et puzzles


 

 

Chérie, qu'est-ce que tu préférerais un homme musclé ou un homme intelligent. – Mais mon Amour, aucun des deux c'est toi que je préfère!

Ami ou ennemi? Dans sa profession, il avait appris que ces deux catégories ne s'excluaient pas nécessairement.

Carte blanche (James Bond) – Jeffery Deaver – J'ai Lu – 2011 – page399

Voir Pensées & humour / Palinodie

 

 

TIERS EXCLU

Tiers exclu aristotélicien

 

Si ça n'est pas vrai, c'est faux;

Si ça n'est pas faux, c'est vrai;

Pas d'autres possibilités.

 

 

*    Évident ! mais…

*    Peut-on accepter un tel principe ?

*    Comment savoir si cela est toujours vrai ?

*    Certains mathématiciens ont cherché à se passer de ce principe.

 

Voir

*       Les outils de la logique

*       La logique classique de Boole

 

 

Les trois principes logiques de l'Antiquité

Bivalence

Contradiction

Tiers exclu

 

*    Toute proposition est vraie ou fausse.

 

*    Une proposition et sa contradictoire ne peuvent pas être toutes les deux vraies.

 

*    Deux propositions contradictoires ne peuvent pas être toutes les deux fausses.

p

vraie ou fausse

p et non-p

impossible

p ou non-p

sans autre possibilité

Seul le principe du tiers exclu est désormais bien connu

 

PRINCIPE DU TIERS EXCLU

 

image004

 

 

Tiers Exclu

Une proposition est

VRAIE

OU

FAUSSE

 

et

 

 

Jamais de 3e possibilité

 

 

 

*    Ce principe est très utilisé dans les démonstrations mathématiques

*    En particulier, avec la

 

Démonstration par l'absurde

On suppose une

chose vraie

 

 

On montre que cette hypothèse induit

une contradiction

 

 

Donc la

chose est fausse

 

Voir exemple de démonstration par l'absurde

*       Le nombre  2 est irrationnel >>>

 

 

Formulation

Symbolisation

 

Pour toute proposition P

[ P ou nonP] est vraie

 

Explications

*     C'est la proposition complète

entre crochets

est une proposition qui est vraie

*     Elle dit que:

soit P est vraie,

soit non-P est vraie

*     Ici on ne prend même plus la peine de dire que

la proposition complète

est vraie

*     La notation l'implique

*      = Quelle que soit la proposition P

*      = Non P

*      = Ou (Mnémotechnique: symbole OUvert vers l'espace

 

PRINCIPE DE LA NON CONTRADICTION

On peut dire aussi

Une proposition ne peut pas être

vraie et fausse

à la fois

 

 

Formulation

Symbolisation

 

Pour toute proposition P

non [ P et nonP] est fausse

 

 

SAC DE BILLES

Sac de billes de Cantor

Dans un sac fermé, les billes sont

rouges ou noires

Mais, dans le sac, y a-t-il vraiment une

bille noire

Il suffit de les sortir

une à une

Dès que l'on a trouvé une bille noire, on répond :

oui

Sinon, en ayant sorti toutes les billes, c'est:

non

Il n'y a pas d'ambiguïté

 

Oui, mais …

Si le sac est grand,

il faudra du temps

S'il est très grand,

il faudra beaucoup de temps

Si le sac est "infini",

il n'est plus possible de passer en revue toutes les billes

Est-il encore possible de conclure ?

Et s'il existait un autre genre de réponse que l'on ne soupçonne même pas

On connaît les monstruosités à l'infini imaginées par Cantor

On ne sait pas conclure

 

Tiers ou pas ?

*    Cet exemple illustre la faiblesse du principe du tiers exclu

*    On ne peut pas savoir si entre oui et non il n'y a pas autre chose

*    On aura compris que malgré ce doute, ce principe est largement adopté

*    Sauf par certains qui ont reconstruit toutes les mathématiques avec des démonstrations excluant le tiers exclu

 

 

Paradoxe du tiers exclu

 

Cette phrase contient sept mots.

 

C'est faux, elle contient cinq mots.

 

 

Cette phrase ne contient pas sept mots.

 

C'est faux, elle contient effectivement sept mots.

 

*      Le principe du tiers exclu précise qu'une chose est vraie ou fausse et qu'il n'y a pas de tierce possibilité.

*      Or, ici, nous sommes en présence d'une phrase et de sa négation, toutes les deux fausses à la fois!

*      Encore un doute sur la validité permanente du principe du tiers exclu.

 

 

 

Philosophie indienne

 

*    La philosophie indienne admet qu'un élément de discours qui peut être A ou non-A puisse être à la fois A et non-A. Les contraires peuvent s'unir sans se détruire. Les opposés peuvent se conjuguer …

*    Schrödinger publie un essai en 1925: La Quête du chemin. Il y décrit son cheminement de pensée et sa vision métaphysique de la science. La pensée indienne l'a fortement influencé.
 

 

 

 

 


<<<

  

>>>