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Axiome, théorie …

Sommaire de cette page

>>> Théorie mathématique – Approche

>>>  Illustration

>>> Termes mathématiques – Explications

 

 

Théorie mathématique

 

 

Approche

 

La géométrie que nous apprenons en classe forme une théorie mathématique: la géométrie d'Euclide. Mais, il existe d'autres théories de la géométrie.

Cette géométrie repose sur des fondements constitués de:

*      quelques vérités évidentes énoncées sans preuve, appelées axiomes (deux choses égales à une troisième sont égales entre elles), ou encore

*      d'affirmations moins évidentes, mais qu'il faut admettre, appelées postulats (par deux points, il passe une ligne droite et une seule).

En mathématique, les affirmations, les vérités, les énoncés vrais … sont des assertions. Contraire de: hypothèses, suppositions, allégations, conjectures …

La théorie de la géométrie est construite sur ces fondements et, via un raisonnement logique, appelé démonstration, elle énonce des vérités, appelées théorèmes ou parfois lemmes, s'il s'agit de théorèmes dans une étape de démonstration.

Parfois, une vérité forte se révèle sans que la démonstration ait été trouvée, c'est une conjecture. En attente de preuve, la conjecture peut être utilisée comme hypothèse pour poursuivre le raisonnent et déduire de nouvelles conclusions qui deviendront théorèmes si la conjecture est prouvée.

Voir Illustration

 

Apprentissage

 

Lors des apprentissages (collèges), les élèves sont amenés progressivement à raisonner et à démontrer des propriétés à partir de notions intuitives acquises auparavant, par exemple des faits géométriques considérés comme évidents.

Le but est l'apprentissage de la méthode déductive. Il n'est pas question de donner aux élèves une présentation axiomatique de la géométrie.

Cependant les faits admis servant de base au raisonnement doivent être clairement énoncés et ne prêter à aucune confusion. Ensuite, le raisonnement doit être rigoureux.

Une propriété évidente ne doit en aucun cas être déduite d'une propriété plus compliquée au risque de perturber les élèves.

Les images pour faire comprendre une notion peuvent être contre- productives; il faut être attentif à bien expliquer qu'il s'agit d'un autre monde que les maths. Ex: le fil tendu pour la droite ou encore la méthode du calque pour constater l'égalité (congruence) des triangles.

 

 

 

Commentaires

 

Les termes présentés ci-dessous sont donnés avec leurs acceptions usuelles. Il existe des usages qui dérogent, et il est naturel de les accepter surtout s'ils ont une antériorité historique.

Parfois, les termes sont connus avec d'autres significations lorsqu'ils sont utilisés dans le langage courant ou dans d'autres domaines des sciences. Voir, à ce propos, le vocabulaire de la logique mathématique.

 

 

Illustration

 

Termes utilisés en mathématique

(sauf indications particulières)

Les briques

 

Définition

 

(definition)

 

 

 

 

 

Énoncé

(statement)

Énoncé qui précise la nature d'une entité mathématique.

*    Elle introduit un concept nouveau. Elle est définie à partir d'entités plus simples et non par appel à elle-même.

*    Elle doit être cohérente. Elle ne doit pas induire une contradiction. Ex: un nombre entier ne peut pas être positif et négatif à la fois.

 

Un nombre premier est un entier naturel ayant exactement deux diviseurs lui-même et 1.

On définit le triangle isocèle comme triangle qui a deux côtés égaux (on dit: de mêmes mesures ou isométriques).

 

Cependant, il existe des termes primitifs que l'on ne peut pas définir comme: point, droite, égal … disait Pascal.

 

Proposition

 

(proposition)

Énoncé d'un fait, sans que l'on sache son degré de véracité

Une proposition indécidable.

Calcul propositionnel.

Assertion

 

(assertion)

Proposition avancée comme vraie dans le cadre d'une théorie.

2 + 2 = 4 est une assertion vraie dans la théorie des nombres.

 

Proposition énoncée sous forme affirmative ou négative que l'on cherchera certainement à démontrer.

 

En logique, il s'agit d'une expression vraie. Les assertions sont les entrées d'un processus logique de déduction.

 

Hypothèse

 

(hypothesis)

Assertion posée comme vraie pour conduire un raisonnement, un calcul.

Axiome

 

(axiom)

Une assertion évidente, universelle et non démontrable, posée comme point de départ à une théorie mathématique, à une axiomatique.

Vérité première indémontrable.

Les axiomes doivent s'accorder aux définitions données et permettre de donner un point de départ cohérent à la théorie proposée.

Les axiomes doivent être vérifiés, les théorèmes démontrés.

La pertinence d'une théorie dépend de la pertinence de ses axiomes.

Axiomes de Peano en arithmétique.

Axiome du choix en théorie des ensembles.

Les axiomes de Zermelo-Fraenkel

 

Postulat

 

(postulate)

Un postulat est un axiome historique.

Aucune différence sémantique avec l'axiome, sinon que l'assertion est peut-être moins évidente à admettre comme vraie.

 

Parfois utilisé comme un axiome temporaire, une assertion à admettre tant qu'elle n'est pas démontrée, mais nécessaire à la conduite d'un raisonnement..

 

Ce mot n'est plus utilisé en mathématique; il est plutôt remplacé par hypothèse ou conjecture. Il est toujours utilisé en physique théorique ou en philosophie.

Un postulat fondamental de la philosophie de Jules Vuillemin consiste à poser une relation intime entre mathématiques et philosophie.

Le cinquième postulat d'Euclide relatif aux droites parallèles est rebaptisé aujourd'hui: axiome d'Euclide ou axiome des parallèles.

 

Principe

 

(principle)

Utilisé en math, mais non recommandé, pour exprimer une  idée simple, sinon elle devient théorème.

 

En physique, un principe est souvent d'abord énoncé comme un postulat et il peut devenir un théorème, mais il garde le nom de principe.

Principe d'Archimède devenu le théorème d'Archimède

Principe de causalité: tout phénomène a une cause.

Principe des tiroirs.

Principe d'exclusion de Pauli (Pauli exclusion principle).

 

Conjecture

 

(conjecture)

Assertion vérifiée comme vraie dans tous les cas connus, mais non encore démontrée.

Conjecture de Goldbach.

 

 

Les conclusions

Lemme

 

(lemma

 = helping theorem)

Un mini-théorème préalable à une démonstration. Un résultat intermédiaire nécessaire pour conduire une démonstration complète.

 

On prend la peine d'en faire sa démonstration séparément pour ne pas alourdir la démonstration complète.

Le résultat ne présente pas un intérêt digne de passer à la postérité sous la forme d'un théorème; toutefois, certains sont devenir célèbres.

Lemme d'Euclide (qui mériterait le nom de théorème d'Euclide).

 

Théorème

 

(theorem)

Une assertion démontrée

 

Sa validité est acquise une fois pour toute, dans le cadre de la théorie mathématique dont il fait partie.

 

Il existe une infinité de nombres premiers.

Théorème fondamental de l'arithmétique.

Théorème fondamental de l'algèbre.

Théorème d'incomplétude de Gödel.

 

Corollaire

 

(corollary)

 

Réciproque

(converse)

Un théorème qui se déduit immédiatement d'un autre théorème. Une conséquence pratiquement directe de ce théorème.

 

Souvent un cas particulier du théorème ou alors la réciproque d'un théorème (implication réciproque).

Théorème: dans un cercle, l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre.

Corollaire: tout angle qui intercepte un diamètre est droit.

Théorème: un triangle qui a deux côtés égaux (isométriques), possède aussi deux angles égaux.

Réciproque: un triangle qui a deux angles égaux, présente aussi deux côtés égaux.

Règle

 

(rule)

 

Un théorème érigé en formule pratique

La règle de trois.

La règle de Cramer est utile à la résolution d'un système d'équations.

Loi

 

(law)

 

Un théorème applicable dans de nombreux cas.

La loi des grands nombres.

L’addition dans l’ensemble des nombres naturels est une loi de composition interne dans N.

 

Note: une loi peut également désigner une définition

La loi normale en probabilité.

Identité

 

(identity)

 

Un théorème mis sous la forme d'une égalité valable quelles que soient les valeurs des variables.

Identités remarquables: identités algébriques

 

Note: une identité est aussi une relation entre constantes. Ce peut être également une relation introduisant une définition.

Identité d'Euler:

 

 

Le tout

Axiomatique

Elle rassemble et structure les axiomes et les principes de base d'une science.

Système d'axiomes de la géométrie d'Euclide

Axiomatique de Peano

La théorie axiomatique des groupes abstraits

 

Théorie

Ensemble d’affirmations dont certaines sont des axiomes et les autres des théorèmes démontrables à partir de ces axiomes et au moyen de règles de la logique.

La théorie des nombres

La théorie des nœuds

La théorie de la relativité

La théorie des cordes (en physique quantique) .

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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Sites

*    Théorème – Wikipédia

*    Theorem – Wikipedia

*    La définition en mathématique – Holosmos

*    Exemple de système d'axiomes : la théorie des plans de table – Fabien Besnard

*    Quelques notions d'axiomatiques** – Hao Wang

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