NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Cours de logique

 

Sommaire de cette page

>>> Principe de la logique de Boole

>>> Les 16 fonctions de deux variables

>>> Les noms

>>> Logique vrai - faux

 

 

 

 

 

LOGIQUE PROPOSITIONNELLE

 

 

 

 

CALCUL DES PROPOSITIONS – Approche

 

*       Propositions: suite de symboles et de lettres reliés par des opérateurs appelés connecteurs et, formées en suivant certaines règles de syntaxe notamment relatives aux quantificateurs.

Exemples de propositions dans le LANGAGE COURANT:

J'aime les moules.

Ma fiancée est belle.

J'aime les moules et ma fiancée et belle.

 

Exemples de propositions en CALCUL PROPOSITIONNEL:

P (qui pourrait être: j'aime les moules ou autres phrases).

Q (qui pourrait être: ma fiancée est belle ou autres phrases).

P  Q (le U renversé est un connecteur qui exprime le ET).

 

*       Propositions de bases ou variables propositionnelles
Le logicien s'intéresse à leur enchaînement le long d'un raisonnement. Le contenu, la signification française de la proposition n'est pas l'enjeu de la logique.

 

 

 

 

CONNECTEURS



*       Symboles de base: les connecteurs.
Ils servent essentiellement à construire, déduire de nouvelles propositions à partir des propositions de base et les  propositions déjà formées.
Les principaux connecteurs, P et Q étant deux propositions:

*      La négation: vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

*      La disjonction: vraie si l’une au moins des deux propositions est vraie, et fausse si les deux propositions sont fausses.


Deux pas plus

Ces deux connecteurs suffisent pour construire tout le calcul propositionnel; cependant d'autres connecteurs facilitent ce calcul, même s'ils peuvent s'interpréter en fonction des deux premiers.

*      La conjonction: n’est vraie que lorsque P et Q sont vraies et fausse si l’une des deux propositions est fausse.

*      L'implication: fausse seulement si P est une proposition vraie et Q fausse.

*      L'équivalence: n'est vraie que si les deux propositions P et Q ont même valeur de vérité.

*      Le ou exclusif: n'est vraie que si P et Q ont des valeurs de vérités distinctes. Ni toutes les deux fausses ou vraies à la fois.

 

 

Deux et même une

Toutes les propositions peuvent s'exprimer avec la négation et la disjonction. On peut en choisir deux autres.

Le Nand  (Contraction de Non-And)  équivalent la négation de la conjonction suffit pour exprimer toutes les propositions. Cette fonction est très familière à tous ceux qui construisent des circuits logiques*. En calcul propositionnel, elle a été introduite par Henry Sheffer en 1913 et notée  (stroke).

Le Nor  (Contraction de Non-Or)  équivalent la négation de la disjonction, peut faire l'affaire également.

 

* (dont fut l'auteur de ce site)

Voir Connecteurs

 

 

 

QUANTIFICATEURS

 

*       Comme leur nom l'indique, il s'agit de quantifier les choses.

 

Exemples

En Bretagne, il existe des jours sans pluie.

Quand on aime, tous les jours sont merveilleux.

 

*       Deux quantificateurs permettent d'exprimer ces deus idées:

*      Quantificateur existentiel: il existe une instance, un cas … où la proposition est vraie

*      Quantificateur universel: dans tous les cas, la proposition est vraie.

 

 

 

 


 

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