Approche

SÉQUENCE

Liste ordonnée d'éléments, d'objets, d'opérations, de mots, etc.

SUITE

Séquence d'éléments, indexée par l'ensemble des entiers naturels.

SÉRIE

Somme infinie dont les termes sont les éléments d'une suite.

Définition

Suite

*        Une suite est une succession ordonnée d’éléments pris dans un ensemble donné.

*    On définit une suite notée Un

par son terme général Un, appelé aussi terme de rang n, et

par son premier terme U0

 

La suite est alors déterminée par une équation donnant Un en fonction de n.

 

Exemple d'équation

Un = n² + n + 1

 

*    Une suite peut être également définie

par la valeur du premier terme et

par une relation de récurrence, c’est-à-dire une relation liant plusieurs termes généraux de rangs différents.

 

Exemple de récurrence

{

U0 = 1

Un+1 = 2 Un + 1

 

NB. Une suite est en fait une fonction, dont seule la tradition justifie l'appellation de suite. Sa définition mathématique:

 

On appelle suite réelle toute application   de  dans . On la note . Un est appelé terme d'indice n de la suite.

 

Série

*        Une série est la somme des termes d’une suite.

*    Soit Un une suite définie sur l’ensemble des entiers naturels.

*    On appelle série de terme général Un

la somme Sn définie par Sn = U0 + U1 + U2 + ... + Un pour tout entier n.

 

Les termes Sn sont les sommes partielles de rang n de la série.

 

*    Si la série Sn converge, sa limite est appelée somme de la série.

 

Exemple de séries

Sn = 1² + 2² + 3² + … + n²                 = 1/6 n(n+1)(2n+1)

Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8  +…+ 1/2n     2 pour n  

 

 

 

 

Convergence

Approche

 

 

 

 

Pour plus de précision,

voir Limite

Suite

*        Une suite converge vers une limite si les termes successifs de la suite de rapprochent de plus en plus de cette limite.

 

Exemple

Un = 1/n² converge vers la limite l = 0

  (Avec évidemment n différent de 0)

 

n         1/n2

1         1

2         0, 250

3         0, 111

4         0, 062

5         0, 040

6         0, 027

7         0, 0204

8         0, 0156

9         0, 012345679

10       0, 0100

 

*          Ici, le 10e terme est:
U10 = 1/10² = 0,01.

Série

*        Une série converge vers une limite si la somme se rapproche de plus en plus de cette limite.

 

 

Exemple

Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8  +…+ 1/2n + … ® 2

 

n    Sn

0    1

1    1, 500

2    1, 750

3    1, 875

4    1, 937

5    1, 968

6    1, 984

7    1, 992

8    1, 99609

9    1, 99804

10  1, 99902

*        Ici, le 10e terme est la somme:
Sn = 1+ 1/2 +… + 1/210 = 1,99902

 

 

Anglais

Sequence

*        A finite sequence consists of n terms a1, a2, a3,…, an

where n, some positive integer, is the length of the sequence.

 

Series

*        A finite series is written as a1 + a2 + a3 +… + an ,

where a1, a2, a3,…, an are the terms in the series,

and n, some positive number, is the length of the series.

The sum of the series is simply the sum of the n terms.

En savoir plus

 

*               Suites et séries

*               Séries typiques

*               Limites

*               Progression ou suite arithmétique

*               Progression ou suite géométrique

*               Suite logistique

*               Nombre 26  en série

*               Séries et nombres périodiques

 

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