NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Calcul

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Glossaire

Opérations

 

 

INDEX

 

Calcul 

Introduction – Somme des entiers

Progression arithmétique

Exemples de calculs

Progression géométrique

Exemples de calculs

Progression harmonique

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nombres consécutifs

>>> Triangulaires et factorielles

>>> Pairs et impairs

>>> Écart constant 

>>> Cas général 

>>> Propriétés 

>>> Exemples de calculs

 

 

 

 

 

 

 

 

SUITE ARITHMÉTIQUE

ou

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE

 

Calcul  de la somme  de nombres consécutifs

ou séparés par le même écart.

La somme est nommée: série arithmétique.

 

Curiosité: premier cas de progression arithmétique entre carrés

Voir Carrés en progression / Pépite / Nombre 24

Anglais: Arithmetic progression, common difference

Voir  Moyenne arithmétique / Suite et Série

 

 

Approche

 

*      Quand je compte 10, 20, 30 … j'ajoute 10 à chaque fois: cette suite de nombres est en progression arithmétique.

*      Le nombre ajouté (ici 10) est appelé la raison de cette progression.

 

Pensez à: Dans la troposphère la température diminue à raison de 5 à 6degrés par kilomètre.

 

 

 

NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

*       Quand je compte 1, 2, 3 … j'ajoute 1 à chaque fois: cette suite de nombres est en progression arithmétique. Quelle est la somme d'une telle suite de nombres entiers?

 

Astuce de calcul

T =

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

T =

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

2 T =

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10

2 T =

9 x          10

T =

9 x            5

On remarque: T =

9 x      ( 9 + 1 ) / 2

 

Méthode générale

 

1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2

 

Ce sont les nombres triangulaires

 

Voir Somme de 1 à 100 et Gauss / Méthode de calcul et démonstration / Carrés magiques

 

 

 

Rapprochement

Nombre Triangulaire

 

Somme

Factorielle

 

Produit

T  = 1 + 2 + 3 +...+ n

    = n (n + 1) / 2

F  = 1 x 2 x 3 x...x n =

     = n!

 

 

 

PAIRS ET IMPAIRS

 

Somme de n nombres successifs

Méthode adaptée aux quantités

n impair

 n pair

 

 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

= 45

 

S = 5 x 9 = 45

 

 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

= 55

 

S = (1 + 10) x 10 / 2 = 55

S = Milieu

x Quantité n de nombres

S = Somme extrémités

x Demi-quantité des nombres

 

*        Milieu ou moyenne = 5.

*        Calcul des écarts par rapport à la moyenne.
4 + 3 + 2 + 1 + 0 - 1 - 2 - 3 - 4 = 0

*        Soit  un écart nul par rapport à 9 fois la moyenne 5.

 

*        Somme des extrémités 1+ 10 = 11

*        Regroupement:
1+10  +  2+9  +  3+8  +  4+7  +  5+6

= 11    +   11   +    11  +   11   +  11

*        Soit 5 fois 11 = 55.

 

Illustration

Voir  Triangle rectangle / Rectangle

 

 

 

ÉCART CONSTANT – Progression arithmétique

 

Généralisation 

 

*      Les deux relations vues ci-dessus sont également valables pour des nombres successifs présentant toujours le même écart. Ce sont des progressions arithmétiques. La valeur de l'écart est appelée la raison de la progression.

 

S = Milieu

x Quantité n de nombres

S = Somme extrémités

x Demi-quantité des nombres

A = 3 + 6 + 9 + 12 + 15

Milieu = 9

Quantité = 5

A = 9 x 5 = 45

 

Image1065

A = 3 + 6 + 9 + 12 + 15

Extrémités = 3 et 15

Leur somme = 18

Demi quantité = 5 / 2

A = 18 x 5 / 2 = 45

Image1066

 

 

 

Progression arithmétique – Cas général

 

Formules générales

 

ARITHMÉTIQUE

Termes

Premier terme

U0 = a

     = a + 0 x r

Deuxième

U1 = a + r

     = a + 1 x r

Rang n

Un = a + (n – 1) r

     = b

Rang n + 1

Un+1 = a + n.r

 

ARITHMÉTIQUE

Raison

Somme

Général

r = U2 – U1

r = (b – a) / (n – 1)

S = (a + b) . n / 2

 

S = a.n +  ½  r.n (n – 1)

Cas des premiers nombres

(a = 1; b = n)

r = 1

Sn = n (n + 1) / 2

Cas des premiers nombres impairs

r = 2

Si = n²

 

Exemple

10, 13, 16, 19, 22

n = 5

a = 10; b = 21

r  = 13 – 10 = 3; r = (22 – 10) / 4 =12/4 = 3

S = (10 + 22) x 5 / 2 = 32 x 5 / 2 = 16 x 5 = 80

 

Nombres impairs successifs

1, 3, 5, 7, 9, 11
n = 6

a = 1; b = 11
r = 3 – 1 = 2

S = (1 + 11) x 6 / 2 = 12 x 3 = 36 = 6²

 

Calcul sans impliquer le dernier terme

 

*      Nous partons de la formule initiale donnant la somme:

S = (a + b) . n / 2

*      Or nous connaissons le nième terme:

b = a  + (n – 1) r

*      En remplaçant:

S = ½ (an + an + (n – 1)r n) = an + (n – 1)n r

 

S = a . n +  ½  r . n (n – 1)

 

Voir Somme des entiers, des impairs … / Vraie anecdote concernant Gauss

 

                                                                                                                           

PROPRIÉTÉS d'une progression arithmétique (PA)

*      Si on ajoute ou retranche une valeur fixe aux termes de la PA =>

 

 

La nouvelle suite de nombres est une PA.

*      Si on multiplie les termes de la PA ou si on divise (sauf par 0) =>

 

La nouvelle suite de nombres est une PA.

*      Si on ajoute les termes correspondants de deux PA =>

 

La nouvelle séquence de nombres est une PA

*      Aucune suite de quatre carrés n'est en progression arithmétique.
Démonstration pas évidente. Fermat avait prétendu la donner en 1640.

Une solution passe par l'étude de la forme elliptique d'équation:
y² = (x – 1)(x² – 4)

Voir Sites en référence

 

Note: Avec trois, il y en a une infinité:
(1², 5², 7²; 24), (2², 10², 14²; 96), (3², 15², 21²; 216), (7², 13², 17²; 120), …

Par exemple, 24 est différence de carrés deux fois : 7² – 5² = 5² – 1² = 24

 

 

 

Exemples de calcul

10 + 20 + 30 + 40 + 50

 

Méthode premier-dernier

S = (10 + 50) x 5/2 = 30 x 5 = 150

 

Méthode premier-quantité

S = 10 x 5 + ½ x 10 x 5 x 4 = 50 + 100 = 150

 

 

5,5 + 6,75 + 8 + …

20 termes

 

S = 5,5 x 20 + ½ (1,25 x 20 x 19) = 347,5

Une PA

5 + … + 45 = 400

Quantité et raison?

 

Quantité de termes

400 = (5 + 45)  x n / 2

n = 800 / 50 = 16

 

Raison de la PA (progression arithmétique)

45 = 5 + (16 – 1) r

r = 40 / 15 = 8 / 3 = 2,666…

 

Une PA de 22  termes:

4 + … + 67

Lister les termes

67 = 4 + 21 r =>  r = 63 / 21 = 3

 

4 + 7 + 10 + … + 61 + 64 + 67

Une PA avec le 4e et le 54e termes connus:

… + 644 + … – 6154 + …

Quelle est la raison?

 

Deux équations

   64 = a + 3r

–61 = a + 53 r

 

Résolution

64 + 61 = (3 – 53) r

r = –125 / 50 = –2,5

 

Trouver trois nombres en PA dont la somme est 27 et dont la somme de leur carré est 293

 

Valeur du nombre central

(m – r) + m + (m + r) = 3m =  27

m = 9

 

9² + (9 + r)² = 243 + 2r² =  293

r² = 50 / 2 = 25

r = 5

 

Suite arithmétique

4, 9, 14

 

Une AP de somme 66:

– 9, –6, –3, …

Combien de termes ?

 

Équation

66 = (–9) x n + ½ x 3 x n (n – 1)

66  = ½ (3 n² – 21 n)
(3n² – 21) – 2 x 66 = 0

(n + 4)(n – 11) = 0

n = –4 ou +11

Solution avec 11 termes

– 9, –6, –3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

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*    Dizaines des racines treizièmes

DicoNombre

*    Nombre 45

Sites

*    Arithmetic progressions of four squares – Keith Conrad

*    No Four Squares In Arithmetic Progression – mathpages.com

*    On 4 squares in arithmetic progression – Ian Kiming

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