progression arithmétique

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/10/2011 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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SUITE ARITHMÉTIQUE

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE

Calcul de la somme de nombres consécutifs

ou séparés par le même écart.

La somme est nommée: série arithmétique.

Anglais: Arithmetic progression, common difference

Voir Moyenne arithmétique / Suite et Série

Approche

Quand je compte 10, 20, 30 … j'ajoute 10 à chaque fois: cette suite de nombres est en progression arithmétique.

Le nombre ajouté (ici 10) est appelé la raison de cette progression.

Pensez à: Dans la troposphère la température diminue à raison de 5 à 6degrés par kilomètre.

NOMBRES CONSÉCUTIFS

Quand je compte 1, 2, 3 … j'ajoute 1 à chaque fois: cette suite de nombres est en progression arithmétique. Quelle est la somme d'une telle suite de nombres entiers?

Astuce de calcul

T =	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
T =	9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
2 T =	10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10
2 T =	9 x 10
T =	9 x 5
On remarque: T =	9 x ( 9 + 1 ) / 2

Méthode générale

1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2

Ce sont les nombres triangulaires

Voir Somme de 1 à 100 et Gauss / Méthode de calcul et démonstration / Carrés magiques

Rapprochement
Nombre Triangulaire Somme	Factorielle Produit
T = 1 + 2 + 3 +...+ n = n (n + 1) / 2	F = 1 x 2 x 3 x...x n = = n!

PAIRS ET IMPAIRS

Somme de n nombres successifs

Méthode adaptée aux quantités

n impair

n pair

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

= 45

S = 5 x 9 = 45

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

= 55

S = (1 + 10) x 10 / 2 = 55

S = Milieu

x Quantité n de nombres

S = Somme extrémités

x Demi-quantité des nombres

Milieu ou moyenne = 5.

Calcul des écarts par rapport à la moyenne.
4 + 3 + 2 + 1 + 0 - 1 - 2 - 3 - 4 = 0

Soit un écart nul par rapport à 9 fois la moyenne 5.

Somme des extrémités 1+ 10 = 11

Regroupement:
1+10 + 2+9 + 3+8 + 4+7 + 5+6

= 11 + 11 + 11 + 11 + 11

Soit 5 fois 11 = 55.

Illustration

Voir Triangle rectangle / Rectangle

ÉCART CONSTANT – Progression arithmétique
Généralisation Les deux relations vues ci-dessus sont également valables pour des nombres successifs présentant toujours le même écart. Ce sont des progressions arithmétiques. La valeur de l'écart est appelée la raison de la progression.
S = Milieu x Quantité n de nombres	S = Somme extrémités x Demi-quantité des nombres
A = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 Milieu = 9 Quantité = 5 A = 9 x 5 = 45	A = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 Extrémités = 3 et 15 Leur somme = 18 Demi quantité = 5 / 2 A = 18 x 5 / 2 = 45

Progression arithmétique – Cas général

Formules générales

ARITHMÉTIQUE	*Termes*
Premier terme	U₀ = a = a + 0 x r
Deuxième	U₁= a + r = a + 1 x r
Rang n	U_n= a + (n – 1) r = b
Rang n + 1	U_n+1= a + n.r

ARITHMÉTIQUE	*Raison*	*Somme*
Général	r = U₂– U₁ r = (b – a) / (n – 1)	S = (a + b) . n / 2 S = a.n + ½ r.n (n – 1)
Cas des premiers nombres (a = 1; b = n)	r = 1	S_n = n (n + 1) / 2
Cas des premiers nombres impairs	r = 2	S_i = n²

Exemple

10, 13, 16, 19, 22

n = 5

a = 10; b = 21

r = 13 – 10 = 3; r = (22 – 10) / 4 =12/4 = 3

S = (10 + 22) x 5 / 2 = 32 x 5 / 2 = 16 x 5 = 80

Nombres impairs successifs

1, 3, 5, 7, 9, 11
n = 6

a = 1; b = 11
r = 3 – 1 = 2

S = (1 + 11) x 6 / 2 = 12 x 3 = 36 = 6²

Calcul sans impliquer le dernier terme

Nous partons de la formule initiale donnant la somme:

S = (a + b) . n / 2

Or nous connaissons le nième terme:

b = a + (n – 1) r

En remplaçant:

S = ½ (an + an + (n – 1)r n) = an + (n – 1)n r

S = a . n + ½ r . n (n – 1)

Exemple:

10 + 20 + 30 + 40 + 50

S₁ = (10 + 50) x 5/2 = 30 x 5 = 150

S₂ = 10 x 5 + ½ x 10 x 5 x 4 = 50 + 100 = 150

Voir Somme des entiers, des impairs …

PROPRIÉTÉS d'une progression arithmétique (PA)
Si on ajoute ou retranche une valeur fixe aux termes de la PA =>	La nouvelle suite de nombres est une PA.
Si on multiplie les termes de la PA ou si on divise (sauf par 0) =>	La nouvelle suite de nombres est une PA.
Si on ajoute les termes correspondants de deux PA =>	La nouvelle séquence de nombres est une PA

CURIOSITÉ
Aucune suite de quatre carrés n'est en progression arithmétique.

Suite

Progression géométrique

Carrés en progression arithmétique

Voir

Arithmétique - Glossaire

Multiplications védiques

Nombres triangulaires

Suites

Théorie des nombres

DicoNombre

Nombre 45