NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/11/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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SUITE ARITHMÉTIQUE

ou

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE

Calcul de la somme de nombres consécutifs

ou séparés par le même écart.

La somme est nommée: série arithmétique.

Curiosité: premier cas de progression arithmétique entre carrés

Voir Carrés en progression / Pépite / Nombre 24

Anglais: Arithmetic progression, common difference

Voir Moyenne arithmétique / Suite et Série

Approche
Quand je compte 10, 20, 30 … j'ajoute 10 à chaque fois: cette suite de nombres est en progression arithmétique. Le nombre ajouté (ici 10) est appelé la raison de cette progression. Pensez à: Dans la troposphère la température diminue à raison de 5 à 6degrés par kilomètre.

NOMBRES CONSÉCUTIFS

Quand je compte 1, 2, 3 … j'ajoute 1 à chaque fois: cette suite de nombres est en progression arithmétique. Quelle est la somme d'une telle suite de nombres entiers?

Astuce de calcul

T =	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
T =	9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
2 T =	10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10
2 T =	9 x 10
T =	9 x 5
On remarque: T =	9 x ( 9 + 1 ) / 2

Méthode générale

1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2

Ce sont les nombres triangulaires

Voir Somme de 1 à 100 et Gauss / Méthode de calcul et démonstration / Carrés magiques

Rapprochement
Nombre Triangulaire Somme	Factorielle Produit
T = 1 + 2 + 3 +...+ n = n (n + 1) / 2	F = 1 x 2 x 3 x...x n = = n!

PAIRS ET IMPAIRS
Somme de n nombres successifs Méthode adaptée aux quantités
n impair	n pair
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 S = 5 x 9 = 45	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 S = (1 + 10) x 10 / 2 = 55
S = Milieu x Quantité n de nombres	S = Somme extrémités x Demi-quantité des nombres
Milieu ou moyenne = 5. Calcul des écarts par rapport à la moyenne. 4 + 3 + 2 + 1 + 0 - 1 - 2 - 3 - 4 = 0 Soit  un écart nul par rapport à 9 fois la moyenne 5.	Somme des extrémités 1+ 10 = 11 Regroupement: 1+10 + 2+9 + 3+8 + 4+7 + 5+6 = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 Soit 5 fois 11 = 55.
Illustration

Voir Triangle rectangle / Rectangle

ÉCART CONSTANT – Progression arithmétique
Généralisation Les deux relations vues ci-dessus sont également valables pour des nombres successifs présentant toujours le même écart. Ce sont des progressions arithmétiques. La valeur de l'écart est appelée la raison de la progression.
S = Milieu x Quantité n de nombres	S = Somme extrémités x Demi-quantité des nombres
A = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 Milieu = 9 Quantité = 5 A = 9 x 5 = 45	A = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 Extrémités = 3 et 15 Leur somme = 18 Demi quantité = 5 / 2 A = 18 x 5 / 2 = 45

Progression arithmétique – Cas général

Formules générales

ARITHMÉTIQUE	Termes
Premier terme	U0 = a = a + 0 x r
Deuxième	U1 = a + r = a + 1 x r
Rang n	Un = a + (n – 1) r = b
Rang n + 1	Un+1 = a + n.r

ARITHMÉTIQUE	Raison	Somme
Général	r = U2 – U1 r = (b – a) / (n – 1)	S = (a + b) . n / 2 S = a.n + ½ r.n (n – 1)
Cas des premiers nombres (a = 1; b = n)	r = 1	Sn = n (n + 1) / 2
Cas des premiers nombres impairs	r = 2	Si = n²

Exemple

10, 13, 16, 19, 22

n = 5

a = 10; b = 21

r = 13 – 10 = 3; r = (22 – 10) / 4 =12/4 = 3

S = (10 + 22) x 5 / 2 = 32 x 5 / 2 = 16 x 5 = 80

Nombres impairs successifs

1, 3, 5, 7, 9, 11
n = 6

a = 1; b = 11
r = 3 – 1 = 2

S = (1 + 11) x 6 / 2 = 12 x 3 = 36 = 6²

Calcul sans impliquer le dernier terme

Nous partons de la formule initiale donnant la somme:

S = (a + b) . n / 2

Or nous connaissons le nième terme:

b = a + (n – 1) r

En remplaçant:

S = ½ (an + an + (n – 1)r n) = an + (n – 1)n r

S = a . n + ½ r . n (n – 1)

Voir Somme des entiers, des impairs … / Vraie anecdote concernant Gauss

PROPRIÉTÉS d'une progression arithmétique (PA)
Si on ajoute ou retranche une valeur fixe aux termes de la PA =>	La nouvelle suite de nombres est une PA.
Si on multiplie les termes de la PA ou si on divise (sauf par 0) =>	La nouvelle suite de nombres est une PA.
Si on ajoute les termes correspondants de deux PA =>	La nouvelle séquence de nombres est une PA
Aucune suite de quatre carrés n'est en progression arithmétique. Démonstration pas évidente. Fermat avait prétendu la donner en 1640. Une solution passe par l'étude de la forme elliptique d'équation: y² = (x – 1)(x² – 4) Voir Sites en référence Note: Avec trois, il y en a une infinité: (1², 5², 7²; 24), (2², 10², 14²; 96), (3², 15², 21²; 216), (7², 13², 17²; 120), … Par exemple, 24 est différence de carrés deux fois : 7² – 5² = 5² – 1² = 24

Exemples de calcul
10 + 20 + 30 + 40 + 50	Méthode premier-dernier S = (10 + 50) x 5/2 = 30 x 5 = 150 Méthode premier-quantité S = 10 x 5 + ½ x 10 x 5 x 4 = 50 + 100 = 150
5,5 + 6,75 + 8 + … 20 termes	S = 5,5 x 20 + ½ (1,25 x 20 x 19) = 347,5
Une PA 5 + … + 45 = 400 Quantité et raison?	Quantité de termes 400 = (5 + 45) x n / 2 n = 800 / 50 = 16 Raison de la PA (progression arithmétique) 45 = 5 + (16 – 1) r r = 40 / 15 = 8 / 3 = 2,666…
Une PA de 22 termes: 4 + … + 67 Lister les termes	67 = 4 + 21 r => r = 63 / 21 = 3 4 + 7 + 10 + … + 61 + 64 + 67
Une PA avec le 4^e et le 54^e termes connus: … + 644 + … – 6154 + … Quelle est la raison?	Deux équations 64 = a + 3r –61 = a + 53 r Résolution 64 + 61 = (3 – 53) r r = –125 / 50 = –2,5
Trouver trois nombres en PA dont la somme est 27 et dont la somme de leur carré est 293	Valeur du nombre central (m – r) + m + (m + r) = 3m = 27 m = 9 9² + (9 + r)² = 243 + 2r² = 293 r² = 50 / 2 = 25 r = 5 Suite arithmétique 4, 9, 14
Une AP de somme 66: – 9, –6, –3, … Combien de termes ?	Équation 66 = (–9) x n + ½ x 3 x n (n – 1) 66 = ½ (3 n² – 21 n) (3n² – 21) – 2 x 66 = 0 (n + 4)(n – 11) = 0 n = –4 ou +11 Solution avec 11 termes – 9, –6, –3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

Progression arithmétique de nombres premiers
Euler (1972) Suite la plus connue en n² + n + 41.	Cette formule pour n de 0 = 39 produit une suite de nombres premiers en progression arithmétique.
Dirichlet (preuve en 1838) On note p(a, d) = p(41, 40) Avec (a, d) = 1 a est le premier nombre premier, et d est la quantité de nombres premiers successifs.	Il en existe d'autres. Le théorème de Dirichlet dit même qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + d avec a et d premiers entre eux. Autrement dit: il existe une infinité de nombres premiers congruent à a modulo d.
Linnik (preuve en 1944) Son théorème propose une borne impliquant une constante que les mathématiciens cherchent à préciser.	Pour une progression arithmétique an + d, alors il existe deux nombres positifs c et L tels que: p(a, d) < cd^L Avec a et d premiers entre eux et
Constante de Linnik L	L < 2 pour une majorité de nombres. On conjecture que p(a, d) < d^2 La première estimation de L en 1957 donnait: 10 000. En 1977, on descend à 168. En 2011, on arrive à 5.

Théorème de van der Waerden

Pour tout entier naturel r et k, il existe un entier naturel N(r, k) tel que si l'on colorie les entiers 1, 2, … , N en r couleurs, il existe une progression arithmétique de même couleur et de longueur k dans cette suite de nombre.

Le plus petit N(r, k) = W(r, k) est un nombre de Van der Waerden. On ne sait pas calculer W dans le cas général.

Exemple N(2, 3)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Pas de PG
Si 9R: PG			3			6			9
Si 9B: PG	1				5				9

W(2,3) = 9

Liste des nombres de Van der Waerden connus

Suite	Progression géométrique Carrés en progression arithmétique (PA) Sommes des carrés des nombres en PA Sommes des cubes des nombres en PA Progressions Junior Diaporama Nombres de Zeisel Énigme de huit parcelles Nombres premiers en progression arithmétique Puissance p de progressions arithmétiques Produits de progressions arithmétiques
Voir	Arithmétique – Glossaire Calcul des carrés Calcul mental Carré magique Jeux Logarithmes	Moyennes Multiplications védiques Nombres triangulaires Suites Théorie des nombres – Index Dizaines des racines treizièmes
DicoNombre	Nombre 45
Sites	Arithmetic progressions of four squares – Keith Conrad No Four Squares In Arithmetic Progression – mathpages.com On 4 squares in arithmetic progression – Ian Kiming Arithmetic progression – Wikipédia – Liste des nombres en an + d et accès aux pages OEIS OEIS A005346 – Van der Waerden numbers W(2,n) – Pour les autres valeurs tapez "Van der Waerden numbers" dans la fenêtre OEIS.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/ProgArit.htm