Approche

*        Des figures géométriques sont similaires lorsqu'elles semblent avoir la même forme, mais pas la même taille; elles sont plus ou moins agrandies ou réduites.

*        Pour obtenir ces divers papillons:

1)   on ajuste la taille du papillon;

2)   on fait glisser le papillon à l'endroit voulu;

3)   on l'oriente comme on le souhaite; et

on lui fait subir un effet miroir si l'on veut.

 

Définition

 

Similitude: avec k un réel positif, on appelle similitude de rapport k, la transformation qui à tout point M et N du plan associe les points M’ et N' tel que     M'N' = k. MN.

 

Le coefficient k est appelé rapport de similitude.

 

Deux figures transformées par une similitude sont des figures semblables.

 

 

Angle

de la similitude

 

Angle

*        Soit M et N et leur image M' et N' par similitude directe, alors

M'N' = k. MN  , et

*        Thêta est l'angle de la similitude

 

Quatre points et similitude

*        Soit quatre point A, B, A', B' avec A  B et A'  B', alors

il existe une similitude et une seule

qui transforme A en A' et B en B'

de rapport et angle:

   et  

 

*        Une similitude directe (non translation) est complètement définie par:

*    son centre (O)

*    son rapport (k)

*    son angle ()

 

 

Famille

 

*        L'homothétie est une application affine bijective.

 

Application

 Bijection

 Transformation

 Similitude

 Homothétie

 

*        Si k = 1, la similitude est une isométrie.

 

*        Une homothétie (agrandissement ou déduction) est une similitude particulière de rapport |k|.

 

*        Toute similitude de rapport k est la composée d'une homothétie de rapport k et d'une isométrie:

 

si l'isométrie est un déplacement (translation ou rotation), la similitude est directe,

 

sinon, la similitude est indirecte, inverse ou rétrograde.

 

 

Deux types de similitude:

 

 Triangle origine    Similitude directe  Similitude rétrograde

 

 

-         Tout déplacement (translation ou rotation) est uns similitude directe.

-         Toute homothétie de rapport positif est une similitude directe.

 

 

 

Composées

 

*        La composée de deux similitudes directes de rapport k et k' est une similitude directe de rapport k.k' et d'angle

 

 

*        Une similitude directe (O, k, ) peut être considérée comme

la composée (le produit) d'une homothétie de centre O et de rapport k,
suivi d'une rotation d'angle
 ou dans l'autre sens (commutatif).

 

Similitude directe = homothétie et rotation

 

 

 

*        Une similitude rétrograde peut être considérée comme
la composée d'une similitude directe et d'une symétrie orthogonale.

 

 

Similitude d'un point

Directe

 

Rotation angle

Homothétie: OM' = k.OMr

Rétrograde (indirecte)

 

Rotation angle

Homothétie: OMs = k.OMr

Symétrie par rapport à D

 

 

 

Propriétés

 

*        L'application réciproque d'une similitude directe de rapport k est une similitude directe de rapport 1/k et d'angle .

 

*        Une similitude directe admet un point invariant et un seul, le centre de similitude (sauf dans le cas d'une simple translation).

 

*        La similitude directe est une isométrie:

*    L'image d'une droite D est une droite D' faisant un angle  avec D;

*    L'homothétie conserve les angles;

*    L'homothétie conserve les parallèles;

*    L'homothétie conserve le type de figure: un carré reste un carré, un cube reste un cube, etc.

*    L'homothétie conserve le barycentre.

*        Pour deux figures similaires dans un rapport k:

*    les longueurs sont multipliées par k,

*    les aires par k², et

*    les volumes par k3.

 

 

 

Anglais

 

Similar: two geometrical figures are similar if they are of the same shape but not necessary of the same size. This includes the case when one is the mirror-mage of the other.

 

Similar triangles: there is a correspondence between their vertices such that corresponding angles are equal and the ratios of corresponding sides are equal.

 

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