NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Suites & Séries

 

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Général

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Glossaire

Suites

 

 

INDEX

Suites

 

Général

Harmonique

Suite aliquote

Typiques

De Farey

Séquences numériques

1 / (1 - x)

De Martin-Löf

Thue Morse

xk / (xk – 1)

Engel

Kempner

1 – 1 + 1 – 1 +

de l'artiste

 

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres harmoniques

>>> Série harmonique et voisines

>>> Autres séries cousines

>>> Suite harmonique – Limite

>>> Calcul & comparaison à "C" (Euler)

>>> Suite harmonique du 2e ordre

>>> Suite harmonique du 3e ordre

>>> Suite harmonique du Nième ordre

>>> Curiosité avec e

 

 

 

 

SÉRIE HARMONIQUE

& autres séries voisines

 

Des termes de plus en plus petits qui finissent par former l'infini, ou non! La plus simple est appelée série harmonique.

 

Note

Les mots suite et série étaient utilisés l'un pour l'autre.

Aujourd'hui on réserve plutôt:

Suite : séquence de termes comme Un , Un+1 , …

Série : somme de termes comme 1 + 1/2 + 1/3 + …

Voir Achille et la tortue / Historique

 

 

Nombres harmoniques

 

Les nombres harmoniques sont la somme des inverses des nombres successifs de 1 à n.

 

 

Somme

des fractions

    Valeur

Fraction

Numérique

   1/1

1

1

+ 1/2

3/2

1,5

+ 1/3

11/6

1,8 3 3

+ 1/4

25/12

2,08 3 3

+ 1/5

137/60

2,28 3 3

+ 1/6

49/20

2,45

+ 1/7

363/140

2,59 285714 285714

+ 1/8

761/280

2,717 857142 857142

+ 1/9

7129/2520

2,82896 825396 825396

 

Suite en Table des nombres harmoniques

Convergence

La suite est supérieure à une somme qui est manifestement croissante

 


 

 

Rappel
Montrez que ces sommes sont supérieures à ½.

 

 

Termes du numérateur minorés par 5.6.7

 

En généralisant

 

La somme des fractions de 1 / (2n + 1) à 1 / 2n+1

est supérieure à 1/2.

 

 

 

 

Série harmonique et voisines

>>> Série harmonique

>>> Série alternée

>>> Impairs

>>> Factorielles

(NB départ avec

1/0! = 1)

>>> Puissances de 2

>>> Carrés

>>> Kempner (sans 9)

 

Calcul d'une progression géométrique de raison 1/2.

 

 

Somme des inverses des puissances de 2

Démonstration graphique

 

 Calcul amusant

Prenons la série qui lui ressemble, mais avec les impairs au numérateur:

La même série divisée par 2:

La différence:

On reconnait la série initiale S.

T/2 = 1 + S 

T = 2 + 2S = 6

 

 

 

Un calcul similaire

 

Au numérateur la suite de Fibonacci et

au dénominateur les puissances de 2.

 

 

 

Autres séries cousines

 

*      La somme des inverses des nombres premiers est divergente comme la série harmonique, mais encore moins vite.
 

 

H(n)

Inverse des entiers (harmonique)

 

Quand n tend vers l'infini,

H(n) et ln n sont équivalentes.

 

Le rapport des deux quantités tend vers 1.

H(10 milliards) = 23

 

 

P(n)

Inverse des premiers

 

Quand n tend vers l'infini,

H(n) et ln ln n sont équivalentes.

 

C'est bien le log népérien de log n.

 

P(10 milliards) = 3

 

*      Les suites suivantes convergent:

*          la série des inverses des carrés 1/n².

*          les séries harmoniques privées des nombres dont le développement décimal comporte un chiffre donné (le 3 ou le  9 ou …). Propriété prouvée en 1914 par A. Kemper.

*          les séries harmoniques privées des nombres comportant un chiffre donné (le 3 ou le 9 ou …) au dénominateur. A fortiori par privation de plusieurs chiffres. Irwin (1916) >>>

*          En 1995, Behforooz démontre sous quelles conditions de telles séries convergent.

 

 

 

 

Série harmonique – Limite

 

*        Cette suite est lentement divergente. Il faut 10434 termes pour atteindre la somme de 1 000.

 

 

*        Pour n infini, la série harmonique croît comme le logarithme népérien de n augmenté d'une constante, la constante gamma d'Euler.

 

.

Comparaison

La convergence vers un écart limité à gamma est très lente.

 

 

*        Pour une valeur donnée de n, la valeur approchée est donnée par un développement limité:

 

Exemple de calcul avec n = 10

 

*      Avec la connaissance du nième nombre premier, qui vaut approximativement n ln n, on peut calculer Hn sans à avoir à calculer le logarithme.

Exemple avec n = 60, sachant que le 60e premier est 281.

p60 = n ln n = 281

H60  0,577 + 281 / 60 = 5,26


 

 

 

 

 

Série harmonique du 2e ordre

 

*    La série harmonique du deuxième ordre est le cumul de la somme des séries harmoniques successives:

 


 

Exemple avec n = 7

)

 

Notez à l'avant-dernière ligne comment le 8 a été ajouté sous forme de fractions pour mettre en évidence la forme cherchée.

 

 

 

 

Série harmonique du nième ordre

 

 

 

 

Le coefficient dans la première parenthèse étant la quantité de combinaisons ou coefficient du binôme

 

Valeurs  des trois premières séries

 

Voir TablesIndex

 

Curiosité  H8 est une bonne approximation de la constante e

 

 

 

 

 

  

 

Suite

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