NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Suites

 

 

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Suites

 

Général

Harmonique

Suite aliquote

Harmonique déguisée

Harmonique pondérée

Chiffres disparus

Typiques

De Farey

Séquences numériques

1 / (1 - x)

De Martin-Löf

Thue Morse

xk / (xk – 1)

Engel

Kempner

1 – 1 + 1 – 1 +

de l'artiste

Inverses premiers

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres harmoniques

>>> Série harmonique et voisines

>>> Autres séries cousines

>>> Suite harmonique – Limite

>>> Calcul & comparaison à "C" (Euler)

>>> Progression selon n entier

>>> Suite harmonique du 2e ordre

>>> Suite harmonique du 3e ordre

>>> Suite harmonique du Nième ordre

>>> Curiosité avec e

 

 

 

 

SÉRIE HARMONIQUE

& autres séries voisines

 

Des termes de plus en plus petits qui finissent par former l'infini, ou non! La plus simple est appelée série harmonique.

 

Note

Les mots suite et série étaient utilisés l'un pour l'autre.

Aujourd'hui on réserve plutôt:

Suite : séquence de termes comme Un , Un+1 , …

Série : somme de termes comme 1 + 1/2 + 1/3 + …

Voir Achille et la tortue / Historique

 

 

Nombres harmoniques

 

Les nombres harmoniques sont la somme des inverses des nombres successifs de 1 à n.

 

 

Somme

des fractions

    Valeur

Fraction

Numérique

   1/1

1

1

+ 1/2

3/2

1,5

+ 1/3

11/6

1,8 3 3 …

+ 1/4

25/12

2,08 3 3 …

+ 1/5

137/60

2,28 3 3 …

+ 1/6

49/20

2,45

+ 1/7

363/140

2,59 285714 285714 …

+ 1/8

761/280

2,717 857142 857142 …

+ 1/9

7129/2520

2,82896 825396 825396 …

 

Suite en Table des nombres harmoniques

Convergence

La suite est supérieure à une somme qui est manifestement croissante

 


 

 

Rappel
Montrez que ces sommes sont supérieures à ½.

 

 

Termes du numérateur minorés par 5.6.7

 

En généralisant

 

La somme des fractions de 1 / (2n + 1) à 1 / 2n+1

est supérieure à 1/2.

 

 

 

 

Série harmonique et voisines

>>> Série harmonique

>>> Série alternée

>>> Déguisement !

>>> Impairs

>>> Factorielles

(NB départ avec

1/0! = 1)

>>> Puissances de 2

>>> Carrés

>>> Kempner (sans 9)

 

Calcul d'une progression géométrique de raison 1/2.

 

 

Somme des inverses des puissances de 2

Démonstration graphique

 

Cas de (1 – 1/k)

Série divergente

 

Exemple pour k = 1 000 000 alors S = 999985,6073…

 

Cas de (n+1) / n

Série divergente

 

Test de la divergence: si la limite du terme de la série n’est pas nulle ou elle n’existe pas, alors la somme diverge.

Ici la limite de (n+1)/n est 1 pour n infini, alors la série diverge. Test qui s’applique aussi la série ci-dessus.

Attention : si la limite est nulle, aucune conclusion possible. Par exemple 1/n vaut 0 pour  infini et pourtant la suite harmonique diverge.

 

Cas de 1/k !

Série convergente avec l’inverse des factorielles

Voir Exponentielle

 

 

 Calcul amusant

Prenons la série qui lui ressemble, mais avec les impairs au numérateur:

La même série divisée par 2:

La différence:

On reconnait la série initiale S.

T/2 = 1 + S 

T = 2 + 2S = 6

 

 

 

Un calcul similaire

 

Au numérateur la suite de Fibonacci et

au dénominateur les puissances de 2.

 

 

 

Autres séries cousines

 

*      La somme des inverses des nombres premiers est divergente comme la série harmonique, mais encore moins vite.
 

 

H(n)

Inverse des entiers (harmonique)

 

Quand n tend vers l'infini,

H(n) et ln n sont équivalentes.

 

Le rapport des deux quantités tend vers 1.

H(10 milliards) = 23

 

 

P(n)

Inverse des premiers

 

Quand n tend vers l'infini,

H(n) et ln ln n sont équivalentes.

 

C'est bien le log népérien de log n.

 

P(10 milliards) = 3

 

*      Les suites suivantes convergent:

*          la série des inverses des carrés 1/n².

*          les séries harmoniques privées des nombres dont le développement décimal comporte un chiffre donné (le 3 ou le  9 ou …). Propriété prouvée en 1914 par A. Kemper.

*          les séries harmoniques privées des nombres comportant un chiffre donné (le 3 ou le 9 ou …) au dénominateur. A fortiori par privation de plusieurs chiffres. Irwin (1916) >>>

*          En 1995, Behforooz démontre sous quelles conditions de telles séries convergent.

 

Voir Série harmonique pondérée

 

 

Série harmonique – Limite

 

*        Cette suite est lentement divergente. Il faut 10434 termes pour atteindre la somme de 1 000.

 

 

*        Pour n infini, la série harmonique croît comme le logarithme népérien de n augmenté d'une constante, la constante gamma d'Euler.

 

.

Comparaison

La convergence vers un écart limité à gamma est très lente.

 

 

*        Pour une valeur donnée de n, la valeur approchée est donnée par un développement limité:

 

Exemple de calcul avec n = 10

 

*      Avec la connaissance du nième nombre premier, qui vaut approximativement n ln n, on peut calculer Hn sans à avoir à calculer le logarithme.

Exemple avec n = 60, sachant que le 60e premier est 281.

p60 = n ln n = 281

H60  0,577 + 281 / 60 = 5,26


 

 

 

Progression selon n entier

 

Valeur du dernier dénominateur (D) pour que la somme dépasse n entier.

 

Exemple: (5 => 83)

Valeur de D pour les n successifs

1, 4, 11, 31, 83, 227, 616, 1 674, 4 550, 12 367, 33 617, 91 380, 248 397, 675 214, 1 835 421, 4 989 191, 13 562 027, 36 865 412, 100 210 581 …

 

Programme

Commentaires

n commence avec 1: H est la somme de la série harmonique et L est la liste des valeurs successives de D.

Boucle de recherche en n.

Si la somme; S dépasse l'entier T, n est ajouté à la liste et T est incrémenté de 1.

Fin de boucle et impression de la liste.

 

En bleu, résultat du traitement.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Série harmonique du 2e ordre

 

*    La série harmonique du deuxième ordre est le cumul de la somme des séries harmoniques successives:

 


 

Exemple avec n = 7

)

 

Notez à l'avant-dernière ligne comment le 8 a été ajouté sous forme de fractions pour mettre en évidence la forme cherchée.

 

 

 

 

Série harmonique du nième ordre

 

 

 

 

Le coefficient dans la première parenthèse étant la quantité de combinaisons ou coefficient du binôme

 

Valeurs  des trois premières séries

 

Voir TablesIndex

 

Curiosité  H8 est une bonne approximation de la constante e

 

 

 

 

 

  

 

Suite

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