NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Calcul

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Glossaire

Opérations

 

 

INDEX

CALCUL 

Introduction

Progression arithmétique

Progression géométrique

 

Sommaire de cette page

>>> Jeu

>>> Puissances de 2, 5 …

>>> Cas général 

>>> Cas particuliers

>>> Propriétés 

>>> Limite – Sommes infinies

 

 

 

 

 

 

SUITE GÉOMÉTRIQUE

ou

PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE

 

Nombres successifs  tels que chacun est égal

au précédent multiplié par une valeur fixe,

appelé raison.

 

On s'intéresse particulièrement à la somme qui est nommée:

Série géométrique.

Anglais: Geometric progression, common ratio (= raison)

Voir Moyenne géométrique /  / Suite et Série

 

 

 

Approche

 

*      Quand je compte 10, 20, 30 … j'ajoute 10 à chaque fois: cette suite de nombres est en progression arithmétique.

*      Lorsque je compte 10, 100, 1000, 10 000 … je multiplie par 10: cette suite de nombre est en progression géométrique. Le facteur de multiplication (ici 10) est appelé la raison de cette progression.

 

 

 

 

JEU en doublant

 

Défi

Pour me récompenser donne-moi:

*      un euro aujourd'hui,

*      deux euros demain, et

*      ainsi de suite, en doublant chaque jour jusqu'au vingtième jour.

Quelle est la somme que je recevrai ?

 

Calcul

 

Jour

1

2

3

4

...

20

Euros

1

2

4

8

...

1 048 576

Somme:           2 x 1 048 576 – 1 =

2 097 151

 

Astuce

*      Somme des 20 premiers termes = Dernier terme x 2 – 1.

*      Autrement-dit: pour trouver le terme suivant je calcule la somme de tous les précédents et j'ajoute 1.

*      Cette astuce est valable pour toutes les séries en progression géométrique.

*      Suivons cet exemple en examinant, vous les aurez reconnues, les puissances de deux.

 

 

 

PUISSANCES de 2, de 5 …

 

Somme des puissances de 2

 

20

21

22

23

24

25

 

*        Puissances de 2.

1

+ 2

+ 4

+ 8

+ 16

+ 32

+ …

*        Somme des puissances de 2.

= 1

 

 

 

 

 

 

*        La somme est égale à la puissance supérieure moins 1.

 

Exemple

1 + 2 + 4 = 7 = 23 – 1

20 + 21 + 22 = 23 – 1

 

= 3

 

 

 

 

 

 

 

= 7

 

 

 

 

 

 

 

= 15

 

 

 

 

 

 

 

= 31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S n = 2 n+1 – 1

 

 

 

 

Somme des puissances de 5

 

50

51

52

53

54

55

 

*        Puissances de 5.

1

+ 5

+ 25

+ 125

+ 625

+ 3125

+ …

*        Somme des puissances de 5.

= 1

 

 

 

 

 

 

*        La somme est égale à la puissance supérieure moins 1.

*        Idée:
Et si on multipliait les sommes par un entier.
Avec 4, on se rapprocherait.

 

= 6

 

 

 

 

 

 

 

= 31

 

 

 

 

 

 

 

= 156

 

 

 

 

 

 

 

= 781

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x4

= 4

6x4

= 24

31x4

= 124

156 x 4

= 624

781 x 4

= 3124

 

 

*        Multiplication par 4:

Bingo!

 

 

Mise en formule

Comment relier cela aux puissances de 5, comme nous l'avions fait avec les puissances de 2

1 + 5 + 25

= 31

= 124 / 4

= (125 – 1) / 4

= (53 – 1) / 4

50 + 51 + 52

= (53 - 1) / (5 – 1)

 

 

 

 

 

Généralisation à somme des puissances de A

 

 

 

Exemple avec A  = 10

1 + 10 + 100 + 1000 + 10 000

= S4 = (105 – 1) / (10 – 1) = 99 999 / 9 = 11 111

 

 

Voir Somme des entiers et des puissances / Table des sommes de puissances

 

 

 

 

Progression géométrique – Cas général

 

Généralisation

Avec une progression géométrique, le terme suivant est obtenu en multipliant le terme précédent par un même facteur appelé raison q.
Chaque terme de la progression est de la forme:

 

Un = a . qn

 

Et la somme est de la forme:

 

Sn = a.q0 + a.q1 + a.q2 + … + a.qn

 

Autrement dit, une progression en puissance

 

 

Formules générales

 

GÉOMÉTRIQUE

Termes

Raison

Somme

Premier terme

U0 = a

     = a . q0

 

 

Deuxième

U1 = U0 . q

= a . q

= a . q1

 

 

Rang n

Un = a . q n

 

 

Général

 

si r = 1

 

 

S = n . a

 

Exemple

1, 10, 100, 1000, 10 000

U4 = 10 000 (le cinquième terme, car la numérotation commence à zéro).

q =  = 10

S = (1 – 105) / (1 – 10) = 11 111

 

3, 30, 300, 3000, 30 000

U4 = 30 000

q =  = 10

S = 3 (1 – 105) / (1 – 10) = 33 333

 

 

 

 

Démonstration

 

*      Comparons la suite jusqu'à n et la même, multipliée par la raison q.

*      Effectuons la soustraction.

*      Mise en facteur de Sn  et de a.
Et, divisons par 1 – q.
La raison est différente de 1, sinon on diviserait par zéro; de toute façon avec une raison unité, la progression géométrique serait triviale: a+a+a+ …

 

 

 

 

  Sn = a + aq + aq² + … + aqn

qSn =       aq + aq² + … + aqn + aqn+1

 

 

SnqSn = a – aqn+1

 

Sn = a(1 – qn+1) / (1 – q)

 

Voir Somme 1 + 2n + 3n² + …

 

 

Cas particuliers

 

*      Puissance de deux.
Le dénominateur vaut 1.
C'est bien le résultat vu plus haut.

 

 

q = 2

 

Sn = a (2n+1 – 1)

 

*      Petite raison.
Le nième terme de la raison à la puissance n+1 décroît pour atteindre une limite nulle

 

 

1  < q < 1

 

Slim = a / (1 – q)

Voir Développement p-adiques

 

*      Inverse des puissances de deux.

 

q = 1/2

 

Slim = a / (½) = 2a

 

 

*      Inverse des puissances de 3, 4, 5 …

 

Slim3 = a / (2/3) = 1,5a

Slim4 = a / (4/3) = 1,33 …a

Slim5 = a / (5/4) = 1,25a

etc.

 

 

 

PROPRIÉTÉS d'une progression géométrique (PG)

*      Si on multiplie ou si on divise une PG par une valeur fixe les termes de la PG =>

 

 

 

La nouvelle séquence de nombres est une PG.

*      Si on multiplie les termes correspondants de deux PG =>

 

La nouvelle séquence de nombres est une PG.

*      Si on prend le logarithme des termes d'une PG =>

 

La nouvelle séquence de nombres est une PA  >>>

PA: progression arithmétique

 

 

LIMITE – Sommes infinies

*      La somme des n premiers termes d'une série géométrique de raison q et de premier terme a vaut:

*      Cette somme tend vers une limite pour n tendant vers l'infini
si et seulement si
q est strictement plus petit que 1,
et cette limite est alors =>

Exemples

 

Calcul de 0, 999 ...

          = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + ... = S

0 = 0,9

q = 1/10

S = 0,9 / (9/10)

S = 1

 

 

= 2

 

= 3/2

 

= n (n – 1)

Voir exemple en Calcul de l'aire du flocon de neige / Inverses des puissances

 

 

Démonstration géométrique quasi-muette

 

 

English corner

Source: Infinite geometry series

 

 

 

 

 

 

Retour

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