NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Facteurs & diviseurs

 

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Glossaire

Diviseur

 

 

INDEX

 

Diviseurs

Décomposition

Formes et  motifs

 

Sans ZÉRO

 

Sommaire de cette page

>>> Produit sans zéro – Approche

>>> La plus grande puissance de 10

>>> Analyse jusqu’à 10100

>>> Méthode de calcul

 

 

 

 

Facteurs sans présence du 0

 

Parmi tous les produits possibles pour atteindre un nombre, lesquels ne comportent aucun 0.

Pour les puissances de 10, ces nombres sont extrêmement rares.

 

 

 

PRODUIT SANS ZÉRO - APPROCHE

 

*    Nombre 10

10

Facteurs

1, 2, 5

Diviseurs

1, 2, 5, 10

Produits

2 x 5

 

Produit dont chacun des deux facteurs ne comporte pas de zéro.

 

*    Nombre 100
 

100

Facteurs

1, 2², 5²

Diviseurs

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Produits

2 x 50, 4 x 25, 5 x 20

 

Le produit 4 x 25 est le seul éligible, ne comportant pas le chiffre zéro.

 

 

 

 

*    Puissances de 10

 

101 =

= 21 x 51

2 x 5

La plus petite.

102 =

= 22 x 52

4 x 25

Voici les suivantes.

La combinaison étant unique, car :

seule le produit 10n = 2n . 5n donne une combinaison sans 0

sinon l’un des deux facteurs auraient 2 et 5 comme facteur est serait divisible par 10.

103 =

= 23 x 53

8 x 125

104 =

= 24 x 54

16 x 625

105 =

= 25 x 55

32 x 3 125

106 =

= 26 x 56

64 x 15 625

107 =

= 27 x 57

128 x 78 125

108 =

= 28 x 58

256 x 39 0 625

NON

109 =

= 29 x 59

512 x 1 953 125

 

 

*    La plus grande puissance de 10

 

1033 =

= 233

x 533

8 589 934 592 x

116 415 321 826 934 814 453 125

Mille quintillions: 1 000 x (105)6

Plus grande puissance de 10 connue dont une décomposition en facteurs ne comprend pas de 0.

 

Les mathématiciens ont de bonnes raisons de penser qu’il n’en existe pas de plus grand.

 

 

 

 

ANALYSE JUSQU’À 10100

 

On ne conserve que la configuration éligible: 10n = 2n . 5n

Pour mieux les visualiser les 0 dans le tableau, ils sont marqués  et la cellule correspondante est en jaune (donc éliminée).

La ligne complète en bleue donne les 10n dont un des produits ne contient pas de zéro.

Parfait jusqu'à 107. Très rare par la suite.

 

Dans cette analyse jusqu’à 10100 , la plus grande puissance de 10 ayant un produit sans zéro est 1033.

 Il y en a 10 au total dans ce tableau. C’est sans doute un résultat vrai pour tout n jusqu’à l’infini. J’ai moi même testé qu'il n’y a pas de puissance de 2 sans zéro jusqu’à 10500.

 

 

 

 

 

MÉTHODE DE CALCUL

 

*    Utiliser la remarque que les seuls produits possibles sans zéro sont du type 10n = 2n . 5n

*     Utilisez un programme de calcul symbolique (On peut utiliser un tableur, mais la taille des nombres sera très limitée).

 

Exemple avec Maple

for i from 1 to 100

do

      lprint (i, 2^i, 5^i):

od;

 

*     Copier le résultat et le coller dans le traitement de texte.

*     Commande: convertir en tableau (dans insertion tableau).

*     Commande: remplacer 0 par  (tapez avec Ctrl H)

*     Colorier.

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Diviseurs

Voir

*         Multiplication

*         Nombres sans facteur carré

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