NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

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Diviseurs

DIVISEURS

 

Glossaire

Diviseur

 

 

INDEX

Décomposition

 

Généralités

Calculs

Fact. Premiers

Liste

2n Diviseurs

Communs

Records

Théorie >>>

Plus grand facteur

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Théorème fondamental

>>> Définitions

>>> Programmation

>>> Radical

>>> Exemples

>>> Diviseurs unitaires

>>> Une certaine classification des nombres

 

 

 

 

 

DIVISEURS & FACTEURS

 

Les diviseurs d'un nombre n sont  tous ces nombres qui peuvent le diviser exactement y compris 1 et lui-même. Par exemple, 4 est un diviseur de 12 car 4 x 3 = 12.

Quelques uns de ces diviseurs sont des nombres premiers. Ils  suffisent pour caractériser complètement le nombre. Ce sont les diviseurs premiers, communément appelés: facteurs.

 

Facteurs et diviseurs

Rappel, vous pouvez accéder à la Page pour débutants / Nombres imagés avec leur facteurs

 

 

 

 

Diviseurs de quelques nombres

 

Quantité de diviseurs (tau)

Quantité de diviseurs = produit des exposants incrémentés >>>

 

 

 

APPROCHE

 

 Observations

*      Le nombre 5 = 1 x 5 est Premier 

car   5 est le produit de 1 par lui-même.

*      Le nombre 15 = 3 x 5 est Composé

car 15 est le produit de deux facteurs 3 et 5, autres que 1 et 15.

 

Exemple de nombres composés particuliers

*      Remarquez que le nombre 2 = 1 x 2 est premier; c'est le seul nombre premier pair

 

Note

Parfois, notamment pour éviter les problèmes avec les ordinateurs, on pourra trouver d'autres symboles:

signe   *   = multiplication; et

signe   ^   = élévation à la puissance.

 

Voir Puissances de 2 / Puissance de 10 / Symboles de la multiplication

 

 

 

THÉORÈME FONDAMENTAL de l'arithmétique

 

Théorème

 

Tout nombre est décomposable de façon unique en produit de ses diviseurs premiers, arrangés dans l'ordre croissant.

 

Exemples

 

Remarque

Il n'existe qu'une seule manière d'écrire 10 = 2 x 5 avec facteurs croissants. On peut, bien entendu, écrire 10 = 5 x 2 en permutant les facteurs, mais ils ne seraient plus dans l'ordre croissant.

  

Voir Démonstration / Nombres composés

 

 

 

  

DÉFINITIONS (en jaune foncé, les notations courantes)

 

N

Nombre entier considéré.

 

F

Ses facteurs (N est le produit de ces nombres, cette décomposition est unique). >>>

 

Quantité de facteurs distincts.

 

D

Diviseurs de N: l'entier N peut être divisé par l'un quelconque de ces nombres).

 

Part aliquote: tous les diviseurs de N sauf 1 et N.

 

r

Radical  de N: le produit de ses facteurs premiers non répétés. >>>

sigma

Quantité de diviseurs y compris N. >>>

Index du nombre n.

Un nombre parfait est un nombre d'index 2.

sigma prime

Quantité de diviseurs sans N

tau

Somme des diviseurs de N,
                      y compris N lui-même. >>>

tau prime

Somme des diviseurs de N, sans compter N:
                ' =  – N.

phi

Nombre d'entiers inférieurs à N et n'ayant aucun diviseur commun avec N>>>

Voir Fonctions arithmétiques / symboles / Types de nombres selon les facteurs

 

 

Programmation

 

Avec le logiciel Maple,

*    ifactor donne la liste de tous les facteurs,

*    factorset, celle des facteurs du radical,

*    divisors, la liste des diviseurs,

*    tau, la quantité de diviseurs, et

*    sigma, leur somme.

 

Rappels: nops donne la quantité d'éléments dans une liste.
Le ; demande une impression alors que : permet un calcul interne.

restart: efface toutes les mémoires.

with(numtheory): appelle des logiciels de théorie des nombres déjà préparés.

 

 

 

RADICAL d'un NOMBRE r(n)

 

Le radical r d'un nombre entier n est le produit de ses facteurs premiers non répétés.

Cad. tous les exposants des facteurs sont positionnés à 1.

 

Le radical est le plus petit lorsqu'il est la puissance d'un nombre premier

r(pq) = p

r(2) = r(4) = r(16) = r(32) … = 2

Le radical augmente avec la quantité de facteurs premiers.

r(60) = 2x3x5 = 30 = n/2

r(6 948) = 2²x3²x193 = 1 158 = n/6

Voir Tables des radicaux des nombres de 1 à 100 / Programmation /  Richesse d'un nombre /

Racine numérique / Calcul de Phi(n) / Conjecture ABC

 

 

SUITE ALIQUOTE

Suite formée de la somme des diviseurs d'un nombre, puis la somme des diviseurs du nouveau nombre, etc.

Suite aliquote de 60

60

 (60) =    168

 (168) =    480

… = 1 512

4 800

15 748

28 672

65 528

122 880

393192

Voir Suite aliquote  / Part aliquote

 

Tables pour les nombres de 1 à 20

 

 

 

Remarques: renseignement sur le nombre selon la somme des diviseurs propres:

 

 ' = 1 => N est premier; équivalent à  = N+1 => N est premier. C'est le cas des lignes en jaune; par exemple 19 dont la somme des diviseurs vaut 20 et celle des diviseurs propres vaut 1. >>>

 

 ' = N => N est parfait: le nombre est égal à la somme de ses diviseurs propres. C'est le cas pour le nombre 6. >>>

 

 ' < N => N est déficient: la somme des diviseurs propres n'atteint pas la valeur du nombre; il est abondant dans le cas contraire. C'est le cas pour le nombre 12, le plus petit nombre abondant. >>>

 

 

 

 

Diviseurs unitaires

 

*      Chaque diviseurs d d'un nombre n peut être multiplié par un autre diviseur d', en redonnant le nombre n.

d . d' = n

 

12 est divisible:

*    par 2 et par 6: 2 x 6 = 12

*    par 3 et par 4: 3 x 4 = 12

 

*      Lorsque les deux facteurs du produit ( d et d') sont premiers entre eux, ces diviseurs sont unitaires.

 

Parmi les diviseurs de 12, les nombres 3 et 4, premiers entre eux, sont des diviseurs unitaires.

Voir Nombres unitairement parfaits

 

 

 

Une possible classification des nombres

 

*        Premiers
Un nombre premier n'a que deux diviseurs: un et lui-même, comme le nombre 5;

 

*        Semi-premiers

Un semi-premier est le produit de deux nombres premiers. Ex: 15 = 3 x 5.

 

*        Multiplications Multiples

Tous les autres sont des nombres "multiplications multiples" ou "multiplications ambigües". Ces nombres comportent six diviseurs ou plus et ils peuvent être décomposées en deux produits ou plus. Ex: 12 = 2 x + = 3 x 4 

 

Voir Table des nombres à multiplications multiples

 

 

 

 

 

Suite

*    Records

*    Types de nombres selon leurs diviseurs

*    Voir en haut de page

*    Liste des nombres et leurs facteurs et diviseurs

*    Multiensemble et factorisation des nombres

Voir

*    Calcul mentalIndex

*    Conjecture ABC

*    Diviseurs – Développements théoriques

*    Diviseurs – Somme en puissance

*    Divisibilité

*    Fonctions arithmétiques

*    GéométrieIndex

*    Machine des frères Carissan

*    Nombres composés

*    Nombres hautement composés

*    Nombres parfaits

*    PGCD

*    Premiers

*    Théorie des nombresIndex

*    Types de nombres selon leurs diviseurs

Site

*    Factorization using the Elliptic Curve Method
      Programme en ligne qui donne les facteurs des nombres

Cette page

*    http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Sigma.htm

 

 

 

 

 

 

 

Renvois de liens

Recherche du plus grand nombre de diviseurs >>>

Nombres composés successifs à 3 et 4 diviseurs >>>

Nombres composés jumeaux >>>

Factorielles >>>