NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de l'arithmétique

 

Débutants

Nombres

MULTIPLICATIONS

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

CALCUL

et autres pages sur la multiplication 

Initiation

Avec les décimaux

Table 2, 5, 9

Mental

Avec des négatifs

Table  3,4,6,7,8

Par additions

Sixième

Algébrique

 

Sommaire de cette page

>>> Quatre fois trois

>>> Multiplication avec les dominos

>>> Approche via les partages

>>> Pour se distraire

>>> Somme et produit

>>> Multiplications avec parenthèses

>>> Multiplication – calculs en posant la multiplication

>>> Multiplication magique

>>> Pour les puristes

 

 

 

 

 

 

MULTIPLICATION

 

Comment aborder les multiplications en aiguisant son esprit ?

 

La multiplication

-         La multiplication = addition répétitive

 

                 10 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 (10 fois)

 

-         Une histoire de paquets:

*    chacun contenant tous le même nombre (n) d'objets

*    on prend une certaine quantité (q) de paquets.

*    L'opération de multiplication, consiste à trouver la quantité totale d'objets:            P = q x n

 

-         Le résultat P est nommé le PRODUIT.

 

            

Comme il est possible de multiplier dans un sens comme dans l'autre (2 x 8 = 8 x 2), inutile de s'embarrasser avec les mots multiplicande et multiplicateur, utilisez le mot facteur.     Voir Puristes

Voir Les quatre opérationsJunior

 

Devinette

Un nombre appelé N, car encore inconnu. Multiplié par 2, c'est un nombre à deux chiffres; multiplié par 3 c'est un nombre à trois chiffres. Qui est N? Sont-ils plusieurs à partager cette propriété?

Solution

 

 

 

QUATRE fois TROIS font DOUZE

 

*      On peut dire aussi:

*      Quatre rangées de trois enfants, c'est 12 enfants  (4 x 3 = 12)

ou aussi

*      Trois colonnes de quatre enfants, c'est 12 enfants (3 x 4 = 12)

 

 

 

Amusement avec les dominos

 

 Voir Dominos et multiplications originales

 

 

 

APPROCHE via les partages

 

Initiation aux multiplications via les diviseurs d'un nombre

 

*      Je dispose de 8 carrés.
Combien puis-je former de rectangles avec ces carrés en les posant l'un à côté de l'autre, sans superposition ?

 

 

*      Autant de fois que je peux diviser 8 par un nombre:

8/1 = 8

8/2 = 4

8/4 = 1

8/1 = 8

soit 4 rectangles.

 

Nous avons créé quatre multiplications qui donnent le même résultat.

 

*      Je dispose de 12 carrés.
Combien puis-je former de rectangles avec ces carrés en les posant l'un à côté de l'autre, sans superposition ?

 

 

*      Autant de fois que je peux diviser 12 par un nombre:

12/1 = 12

12/2 =   6

12/3 =   4

12/4 =   3

12/6 =   2

12/1 = 12

soit 6 rectangles.

 

Nous avons créé six multiplications qui donnent le même résultat.

 

 

 

*      Nous venons d'apprendre que

plusieurs multiplications peuvent donner le même résultat

2 x 6 = 3 x 4 = 12

l'ordre des termes de la multiplication est sans importance

3 x 4 = 4 x 3

 

*      De plus, nous constatons que

multiplication et division sont les deux faces de la même opération

3 x 4 = 12  et 12 / 4 = 3

Voir Les quatre manières de symboliser une multiplication (2x3 = 2*3 = 23; ab)

 

 

La factorisation Pénélope

 

Ma petite-fille (10 ans) me pose une colle: Papy si je te dis 210, est-ce que tu sais faire l'opération Pénélope. Je donne ma langue au chat! Facile, regarde:

210

21  x  10

21  x  5  x  2

7  x  3  x  5  x  2

14  x  3  x  5

14  x  15

210

Son professeur des écoles a tout simplement baptisé comme cela cet exercice de factorisation propice à s'entraîner à la table de multiplication. Au centre, on trouve la factorisation première du nombre; impossible de décomposer plus finement. Ces quatre nombres (2, 3, 5, 7) sont dits: nombres premiers.

 

Pénélope attend longuement le retour d'Ulysse. Les prétendants sont nombreux tant elle est belle. Elle prétend ne pas pouvoir donner suite tant que le voile qu'elle tisse ne sera pas terminé. Or, elle défait la nuit ce qu'elle a tissé le jour. La toile de Pénélope est ainsi devenue une expression pour signifier un travail laborieux mais sans fin.

 

Voir Pages découvertes juniors

 

 

 

 

POUR SE DIVERTIR

 

Le même jeu,  mais avec la liberté de superposer les carrés

 

*      Je dispose de 2 carrés identiques.
Combien puis-je former de rectangles ?

 

On peut former 4 rectangles en plus des 2 carrés.

 

 

*      Un peu plus difficile: je dispose de 3 carrés identiques. Combien puis-je former de nouveau  x   carrés ?

 

 

Avec les 3 grands carrés du départ, je forme 4 petits carrés.

 

 

 

 

Somme et produit

Deux nombres dont la somme est constante: A + B = K.

La valeur maximale du produit P est atteinte lorsque A = B.

 

Exemple

 

Lorsque deux champs, un carré et l'autre rectangulaire, ont le même périmètre, celui qui couvre la plus grande surface est le champ carré.

 

Exemple

Voir Carré et rectangle / Équation avec somme et produit

 

 

 

 

MULTIPLICATIONS avec PARENTHÈSES

*      Les parenthèses sont très importantes dans le monde des multiplications

(2   x   3) + 2

2   x   (3 + 2)

 

= (6)  + 2 = 8

= 2   x   (5) = 10

-         Notez que le signe   X   est omis devant une parenthèse

2   x   (3 + 2)

 

= 2 (3 + 2)

 

*      Il est important d'effectuer les opérations à l'intérieur des parenthèses en premier

(1 + 2) (3 + 4) (5 + 6)

= 3   x   7   x   11 = 231

 

1 + (2   x   3)  + (4   x   5) + 6

= 1 + 6 + 20 + 6 = 33

-         Notez que le produit est prioritaire sur l'addition (c'est la multiplication qui est la plus forte et qui l'emporte)

-         Il est inutile de placer des parenthèses pour isoler un produit

1 + (2   x   3)  + (4   x   5) + 6

= 1 + 2  x  3  + 4  x  5 + 6

= 1 + 6 + 20 + 6 = 33

 

 

Rappel: le produit est le résultat de la multiplication.

Comme la somme est le résultat de l'addition.

 

*      En cas de parenthèses encastrées (en cascade ou encore gigogne), il faut traiter en priorité les opérations les plus profondes.

{(1 + (8-3)) (3 + 4) + 2   x   3} (5 + 6)

= {(1 + 5) (7) + 2   x   3} (11)

= {(6) (7) + 6} (11)

= {42 + 6} (11)

= {48} (11)

= 528

*      En cas de nombres négatifs, agir avec les mêmes principes.
En se souvenir que la règle des signes pour les produit est la suivante:

(+) (+) = (+)

(+) (-) = (-)

(-) (+) = (-)

(-) (-) = (+)

{2   x   (-4)} { 10 - 2 + 3  x  4} {(-4)(-2) – 3}

=  (-8) { 8 + 12} {8 – 3}

=  (-8) { 20} {5}

= - 800

 

 

MULTIPLICATIONS – Calculs

 

EXEMPLE TRÈS SIMPLE pour commencer

 

 

Résultat    4   x   12 = 48

 

EXEMPLE SIMPLE avec deux   chiffres

 

 

Notez bien que le 24 = 20 + 4;
C'est pourquoi, il faut multiplier 12 par 20 et non seulement par 2.

 

Résultat    24   x   12 = 288

 

 

EXEMPLE SIMPLE avec trois chiffres

 

 

Résultat    124   x   222 = 27 528

  

Voir Autres exemples

 

 

 

Multiplication vues par les unités

 

*    Quels sont les multiplications qui donnent un produit terminé par un 0, un 1 … Les chiffres des unités sont très inégaux. Le 3 et le 7 ne sont produits qu'une seule fois (hors la multiplication par l'unité). Pour le 1 et le 9, ce n'est guère mieux. Ce sont les 4 et 6 qui détiennent le record.

 

*    On note (ou on se souvient) que seul le produit de deux nombres impairs est impair, d'où leur rareté: 15 impairs (en jaune) contre 30 pairs.

 

Voir Chiffres / Unités des puissances / Persistance multiplicative

 

 

 

Multiplications magiques

 

 

 

Un exemple

 

Voyez cette multiplication: 24 x 26 = 624.

 

Elle marche à tout coup lorsque:

*    Le chiffre des dizaines est le même, et

*    La somme des chiffres des unités est égale à 10.

 

 

 

Note: si le produit des unités ne dépasse pas 10, placer un 0 intercalaire.

 

26 x 24 = 624

 

 

Autres exemples

 

82 x 88 = 8 x (8+1) / 2 x 8

              =      72         16

 

11 x 19 = 1 x 2 / 1 x 9

              =     2   09

 

 

Explications

Un nombre à deux chiffres peut s'écrire A = 10 d + u (10 fois le chiffre des dizaines plus le chiffre des unités)

Le second s'écrit avec le même chiffre des dizaines et son chiffre des unités est égal à 10 – u.

Le produit est développé puis factorisé.

Le produit d(d+1), multiplié par 100, prend place comme nombre de centaines; le produit u(10-u) est bien le produit des deux chiffres unités.

 

A = 10d + u et

B = 10d + (10 – u)

 

A.B = 100d² + 10du + 10(10–u) + u(10–u)

        = 100d² + 100d + 10u – u²

        = 100 d(d+1) + u(10-u)

 

Cas des carrés des nombres terminés par 5

 

Le calcul mental des carrés en …5 est très simple.

 

Il peut être étendu à plus de deux chiffres. Le calcul mental devient plus difficile, sauf pour les cas connus comme la multiplication mentale par 11.

 

Même chose pour les unités complémentés à 10.

 

 

25 x 25 = 2 x 3 / 5 x5

               =    6      25

 

 

65 x 65 = 6 x 7 / 5 x5

               =  42      25

 

115 x 115 = 11 x 12 / 5 x 5

                   =      132     25

 

 

112 x 118 = 11 x 12 / 2 x 8

                   =      132     16

 

Quelques multiplications magiques

 

Notez que: 14 x 16 = 224 = 16 x 14.

Voir Autres multiplications magiques

 

 

Pour les super-puristes! – Égalité et équivalence

Multiplication: opération entre deux entiers A et B qui consiste à déterminer l'entier C égal à la somme de B termes égaux à A.

Selon cette définition, on écrit

Équivalence

5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15

5 x 3  5 + 5 + 5

3 x 5  3 + 3 + 3 + 3 + 3

 

La multiplication pouvant s'écrire aussi bien 5 x 3 que 3 x 5 (commutativité), cette distinction (multiplicande et multiplicateur) a peu d'intérêt. On peut l'oublier et dire facteurs. D'ailleurs, en pratique, pour exécuter plus facilement une multiplication, on place le plus grand facteur en haut.

 

 

Devinette – Solution

 

Problème

Un nombre appelé N, car encore inconnu. Multiplié par 2, c'est un nombre à deux chiffres; multiplié par 3 c'est un nombre à trois chiffres. Qui est N? Sont-ils plusieurs à partager cette propriété?

 

Exploration

Je choisis N = 40, par exemple.

Alors 2 x 40 = 80 (2 chiffres) et 3 x 40 = 120 (3 chiffres).

Le nombre 40 répond à la question.

 

Solution

Les nombres à deux chiffres commencent à 10 et finissent à 99.

Divisé par 2, nous avons les limites de N: entre 5 et 49.

Les nombres à trois chiffres commencent à 100 et finissent à 999.

Divisé par 3, nous avons les limites de N: entre 34 et 333.

Pour obtenir les deux conditions ensemble, il faut que N appartienne à la fois aux deux plages. N doit commencer à 34 et finir à 49.

De N = 34 à N = 49, il y a 16 possibilités. (Attention: 49 – 34 = 15 qui donne le nombre d'intervalles entre 49 et 34; il faut ajouter 1 pour avoir la quantité de nombres)

 

En savoir plus

N multiplié par 3 donne un nombre à trois chiffres.

N multiplié par 4 donne un nombre à quatre chiffres.

Combien de nombres N? 

Les limites de la plage possible sont

Pour 3: 34 à 333 et pour 4: 250 à 2498

Plage commune: de 250 à 333, soit 333 – 250 + 1 = 84 possibilités.

 

Table des possibilités selon la quantité de chiffres

 

Retour

 

 

 

 

Suite

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Multiplication

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