NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de l'arithmétique

 

Débutants

Nombres

MULTIPLICATIONS

 

Glossaire Nombres

 

 

INDEX

 

CALCUL

et autres pages sur la multiplication 

Initiation

Avec les décimaux

Table 2, 5, 9

Mental

Avec des négatifs

Table  3,4,6,7,8

Algébrique

 

Sommaire de cette page

>>> Quatre fois trois

>>> Multiplication avec les dominos

>>> Approche via les partages

>>> Pour se distraire

>>> Multiplications avec parenthèses

>>> Multiplication – calculs en posant la multiplication

 

 

 

 

 

MULTIPLICATION

 

Comment aborder les multiplications en aiguisant son esprit ?

 

La multiplication

-         La multiplication = addition répétitive

 

                 10 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 (10 fois)

 

-         Une histoire de paquets:

*    chacun contenant tous le même nombre (n) d'objets

*    on prend une certaine quantité (q) de paquets.

*    L'opération de multiplication, consiste à trouver la quantité totale d'objets:            P = q x n

 

-         Le résultat P est nommé le PRODUIT.

Dans la multiplication 3 x 4,  le nombre 3 est le multiplicande et 4 est le multiplicateur.

 

Voir Les quatre opérationsJunior

 

 

QUATRE fois TROIS font DOUZE

 

*      On peut dire aussi:

*      Quatre rangées de trois enfants, c'est 12 enfants  (4 x 3 = 12)

ou aussi

*      Trois colonnes de quatre enfants, c'est 12 enfants (3 x 4 = 12)

 

 

 

Amusement avec les dominos

 

 Voir Dominos

 

 

 

APPROCHE via les partages

 

Initiation aux multiplications via les diviseurs d'un nombre

 

*      Je dispose de 8 carrés.
Combien puis-je former de rectangles avec ces carrés en les posant l'un à côté de l'autre, sans superposition ?

 

 

*      Autant de fois que je peux diviser 8 par un nombre:

8/1 = 8

8/2 = 4

8/4 = 1

8/1 = 8

soit 4 rectangles.

 

Nous avons créé quatre multiplications qui donnent le même résultat.

 

*      Je dispose de 12 carrés.
Combien puis-je former de rectangles avec ces carrés en les posant l'un à côté de l'autre, sans superposition ?

 

 

*      Autant de fois que je peux diviser 12 par un nombre:

12/1 = 12

12/2 =   6

12/3 =   4

12/4 =   3

12/6 =   2

12/1 = 12

soit 6 rectangles.

 

Nous avons créé six multiplications qui donnent le même résultat.

 

 

 

*      Nous venons d'apprendre que

plusieurs multiplications peuvent donner le même résultat

2 x 6 = 3 x 4 = 12

l'ordre des termes de la multiplication est sans importance

3 x 4 = 4 x 3

 

*      De plus, nous constatons que

multiplication et division sont les deux faces de la même opération

3 x 4 = 12  et 12 / 4 = 3

Voir Les quatre manières de symboliser une multiplication

 

 

La factorisation Pénélope

 

Ma petite-fille (10 ans) me pose une colle: Papy si je te dis 210, est-ce que tu sais faire l'opération Pénélope. Je donne ma langue au chat! Facile, regarde:

210

21  x  10

21  x  5  x  2

7  x  3  x  5  x  2

14  x  3  x  5

14  x  15

210

Son professeur des écoles a tout simplement baptisé comme cela cet exercice de factorisation propice à s'entraîner à la table de multiplication. Au centre, on trouve la factorisation première du nombre; impossible de décomposer plus finement. Ces quatre nombres ( 2 , 3, 5, 7) sont dits: nombres premiers.

 

Pénélope attend longuement le retour d'Ulysse. Les prétendants sont nombreux tant elle est belle. Elle prétend ne pas pouvoir donner suite tant que le voile qu'elle tisse ne sera pas terminé. Or, elle défait la nuit ce qu'elle a tissé le jour. La toile de Pénélope est ainsi devenue une expression pour signifier un travail laborieux mais sans fin.

 

Voir Pages découvertes juniors

 

 

 

 

POUR SE DIVERTIR

 

Le même jeu,  mais avec la liberté de superposer les carrés

 

*      Je dispose de 2 carrés identiques. Combien puis-je former de rectangles ?

 

On peut former 4 rectangles en plus des 2 carrés.

 

 

*      Un peu plus difficile: je dispose de 3 carrés identiques. Combien puis-je former de nouveau  x   carrés ?

 

 

Avec les 3 grands carrés du départ, je forme 4 petits carrés.

 

 

 

MULTIPLICATIONS avec PARENTHÈSES

*      Les parenthèses sont très importantes dans le monde des multiplications

(2   x   3) + 2

2   x   (3 + 2)

 

= (6)  + 2 = 8

= 2   x   (5) = 10

-         Notez que le signe   X   est omis devant une parenthèse

2   x   (3 + 2)

 

= 2 (3 + 2)

 

*      Il est important d'effectuer les opérations à l'intérieur des parenthèses en premier

(1 + 2) (3 + 4) (5 + 6)

= 3   x   7   x   11 = 231

 

1 + (2   x   3)  + (4   x   5) + 6

= 1 + 6 + 20 + 6 = 33

-         Notez que le produit est prioritaire sur l'addition (c'est la multiplication qui est la plus forte et qui l'emporte)

-         Il est inutile de placer des parenthèses pour isoler un produit

1 + (2   x   3)  + (4   x   5) + 6

= 1 + 2  x  3  + 4  x  5 + 6

= 1 + 6 + 20 + 6 = 33

 

 

Rappel: le produit est le résultat de la multiplication.

Comme la somme est le résultat de l'addition.

 

*      En cas de parenthèses encastrées (en cascade ou encore gigogne), il faut traiter en priorité les opérations les plus profondes.

{(1 + (8-3)) (3 + 4) + 2   x   3} (5 + 6)

= {(1 + 5) (7) + 2   x   3} (11)

= {(6) (7) + 6} (11)

= {42 + 6} (11)

= {48} (11)

= 528

*      En cas de nombres négatifs, agir avec les mêmes principes.
En se souvenir que la règle des signes pour les produit est la suivante:

(+) (+) = (+)

(+) (-) = (-)

(-) (+) = (-)

(-) (-) = (+)

{2   x   (-4)} { 10 - 2 + 3  x  4} {(-4)(-2) – 3}

=  (-8) { 8 + 12} {8 – 3}

=  (-8) { 20} {5}

= - 800

 

 

MULTIPLICATIONS – Calculs

 

EXEMPLE TRÈS SIMPLE pour commencer

 

 

Résultat    4   x   12 = 48

 

EXEMPLE SIMPLE avec deu  x   chiffres

 

 

Notez bien que le 24 = 20 + 4;
C'est pourquoi, il faut multiplier 12 par 20 et non seulement par 2.

 

Résultat    24   x   12 = 288

 

 

EXEMPLE SIMPLE avec trois chiffres

 

 

Résultat    124   x   222 = 27 528

  

 

 

Multiplication vues par les unités

 

*    Quels sont les multiplications qui donnent un produit terminé par un 0, un 1 … Les chiffres des unités sont très inégaux. Le 3 et le 7 ne sont produits qu'une seule fois (hors la multiplication par l'unité). Pour le 1 et le 9, ce n'est guère mieux. Ce sont les 4 et 6 qui détiennent le record.

 

*    On note (ou on se souvient) que seul le produit de deux nombres impairs est impair, d'où leur rareté: 15 impairs (en jaune) contre 30 pairs.

 

Voir Chiffres / Unités des puissances / Persistance multiplicative

 

 

 

Suite

*    Moment d'une force

*    Multiplication algébrique

*    Multiplication égyptienne

*    Multiplication par 10

*    Multiplication par 9

*    Multiplication et son symbole (x, point ou rien)

*    MultiplicationsJeu  x   

*    Multiplications amusantes (niveau CE2)

*    Multiplications de tous poils – y compris les TABLES

*    Multiplications magiques avec des allumettes

*    Multiplications magiques en pyramides

*    Produit contenant ses propres opérandes

*    Produit en croix 

*    Règle de trois

*    Table de multiplications originales

*    Table du 9 facile avec les doigts

*    Tables de multiplication classique - apprentissage

Voir

*    Calcul mentalInde  x 

*    DébutantsInde  x   

*    Euros et divisions par 3

*    Fractions

*    Jeu  x   Inde  x 

*    Pascaline

*    Preuve par neuf

*    Théorie des nombresInde  x 

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