NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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FRACTALES

 

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Général

 

 

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Fractales

 

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Aire

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Sommaire de cette page

>>> Triangle initial

>>> Étape 1

>>> Étape 2

>>> Étape 3

>>> Formule de récurrence

>>> Convergence

>>> Bilan

 

 

 

 

 

flocon de neige.jpg

COURBES de Koch

ou flocon de neige

 

Calcul de l'aire de cette figure. Elle finie alors que la longueur de la courbe est infinie.

 

Anglais: Area of the Koch Snowflake

  

 

Triangle initial

 

*      Aire du triangle équilatéral

 

 

3 côtés donneront naissance à 3 nouveaux triangles plus petits.

 

 

Étape 1

 

*      Longueur du côté des petits triangles équilatéraux bleus:

C1 = 1/3 C

 

*      Aire des trois triangles bleus:

 

 

*      Aire de la figure, avec l'aire initiale en facteur commun:

 

 

 

 

 

 

 

 

*      La figure illustre la vérification de la formule trouvée: l'aire des trois triangles bleus couvre effectivement 1/3 du grand triangle.

Les 3 nouveaux triangles forment 3 x 4 arêtes = 12 qui donneront naissance à 12 triangles plus petits.

 

 

 

 

Étape 2

 

*      Longueur du côté des petits triangles équilatéraux violets:

C2 = 1/3 C1 = 1/9 C

 

*      Aire des 12 triangles violets:

 

 

*      Aire de la figure:

 

 

Les 12 nouveaux triangles forment 12 x 4 arêtes = 48 qui donneront naissance à 12 triangles plus petits.

 

 

 

Étape 3

 

*      Longueur du côté des petits triangles équilatéraux violets:

C3 = 1/3 C2 = 1/33 C

 

*      Aire des 48 triangles:

 

 

*      Aire de la figure:

 

 

 

*      Essayons de voir une logique dans la formation des nouveaux termes (aires des nouveaux triangles.

*      Avec des puissances de 9 au dénominateur, la formule devient:

 

*      Avec des facteurs 3 et 4 au numérateur:

 

*      Vous devinez la suite … mais essayons de comprendre.

 

 

 

Formule de récurrence

 

*      Côté du nouveau triangle

 

C1 = 1/3 C

C2 = 1/3 C1 = 1/32 C

C3 = 1/3 C2 = 1/33 C

..

Cn+1 = 1/3 Cn = 1/3n C

 

*      Quantité de triangles engendrés

k = 1

k1  = 3

k2  = 4k1 = 4 x 3

k3  = 4k2 = 42 x 3

kn+1  = 4kn = 4n-1 x 3

 

*      Aire ajoutée à chaque étape:


kn  fois l'aire du petit triangle
de côté Cn

 

 

 

 

*      Valeurs de H et A pour la nième étape (avec C = 1).

*      L'aire du flocon de neige semble converger vers la valeur 0, 692 …

              n          Hn                                           An

              1         1/3                                    0, 5773502693

              2         4/27                                  0, 6415002993

              3         16/243                              0, 6700114236

              4         64/2187                            0, 6826830346

              5         256/19683                        0, 6883148615

              6         1024/177147                    0, 6908178958

              7         4096/1594323                  0, 6919303555

              8         16384/14348907              0, 6924247820

              9         65536/129140163            0, 6926445271

              10       262144/1162261467        0, 6927421916

 

 

 

 

Convergence

 

*      Si nous reprenons l'aire du flocon et l'exprimons sous la forme d'une somme.

 

*      Le terme sous somme est en progression géométrique

*       de raison q = 4/9 inférieure à 1, et

*       dont le premier terme pour k = 1 est a = 1/9, alors

*       elle converge vers a / (1 – q). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bilan (côté = 1)

 

*      Aire du triangle initial:

 

 

*      Aire relative du flocon de neige limite:

 

*      Aire limite du flocon de neige:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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