NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/01/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Pages sur le triangle équilatéral

Équilatéral (1/3)	Équilatéral (2/3)	Équilatéral (3/3)
Constructions	Curiosités	Entier équilatéral

TRIANGLE ÉQUILATÉRAL (1/3)

Propriétés générales en première partie.

Propriétés spécifiques en deuxième partie.

Théorème de Viviani en troisième partie.

Figure avec triangles équilatéraux >>>

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Devinettes

Un grand triangle équilatéral et deux petits identiques disposés l'un sous l'autre. Que peut-on dire de l'aire des deux parallélogrammes marron?

Un hexagone est inscrit dans un triangle équilatéral. Quelle est l'aire de cet hexagone?

Solutions

Problème

ABC est un triangle équilatéral. Le point D est le milieu de AC, et E celui de DB.

Montrer que l'aire du triangle ABE est le quart de celle du traiangle équilatéral.

Solution

Aire AEC = 1/2 AC x DE = 1/2 Aire de ABC

Aire AECB (complémentaire) = 1/2 Aire de ABC.

Les triangles AEB et CEB sont égaux (congruents).

Aire AEB = 1/4 Aire de ABC.

TRIANGLE ÉQUILATÉRAL
Triangle dont les trois côtés sont égaux (de même longueur). C'est un triangle isocèle particulier. Les trois angles sont égaux et valent 60°. Faces des trois polyèdres réguliers: tétraèdre, octaèdre et icosaèdre.

Autres noms: triangle équiangle ou triangle isoplure (Renaissance)

Formes
Triangles équilatéraux en situation	Un pavage de triangles équilatéraux et un cercle de rayon égal au côté des triangles Le cercle englobe et touche au maximum 18 triangles équilatéraux

Voir Pavage du disque

Triangles équilatéraux jumeaux qui jouent à cache-cache

Typique, de côté unité
Triangle équilatéral de hauteur unité. Formé de deux triangles rectangles 30-60 accolés. Six tels triangles ayant tous un sommet commun forment un hexagone régulier.

Voir Polygones et calcul de Pi / Nombre 0,866 …

CARACTÉRISTIQUES du triangle équilatéral
Nom	Triangle équilatéral
Famille	Polygone à 3 côtés
Sommets	3
Côtés	Trois côtés égaux (isométriques)
Périmètre	3c
Angles	60 ° soit /3
Hauteur
Aire	Voir Nombre 0,433…
Cercle inscrit et circonscrit		Aire du cercle circonscrit / aire du cercle inscrit = 4; l'aire de la couronne (rose) vaut trois fois celle du cercle inscrit. Voir Propriété amusante sur cette figure
Propriétés	Les droites caractéristiques issues d'un même sommet sont confondues: Hauteurs, Médianes, Médiatrices, Bissectrices. Elles ont le même point de concours: Centre de gravité, Orthocentre, Centre du cercle inscrit, Centre du cercle exinscrit. Ce point est situé au 2/3 de distance à partir du sommet: 3/3 = 0, 5773…c d'un côté et 3/6 = 0, 2886…c de l'autre. Voir Arbre de distribution Elles constituent trois axes de symétrie du triangle.

Calculs
HAUTEUR
AIRE	3/2 = 0, 866 025 … 3/4 = 0, 433 012 …

Voir Construction de l'heptagone

Avec la hauteur unité

Le saviez-vous? Le nombre 1/3 se cache dans le triangle équilatéral

Cette simple construction avec deux triangles équilatéraux permet de trouver un des points situé au 1/3 du segment bleu. Voir Trisection du segment

DEMI-TRIANGLE Équilatéral
Certaines équerres sont en forme de demi-triangle équilatéral; en fait un triangle rectangle. Les angles à la base valent 30° et 60°.		30° 60°

Déplacements du triangle équilatéral
Il existe six déplacements qui laissent le triangle équilatéral identique à lui-même.	Identité Rotation 120° Rotation 240° (ou -120°) Symétries par rapport à chacune des trois médiatrices.

Remplir le triangle équilatéral

Un triangle équilatéral (jaune) et son clone quatre fois plus petit (vert). Combien de petits triangles au minimum pour recouvrir complètement le grand. Seuls les glissements son autorisés, pas de rotation. Solution Première idée: placer trois triangles dans les angles et en mettre un quatrième au centre. Contraire à la demande, il ne faut pas les retourner. Il faut trois autres triangles (roses) pour couvrir le trou central.

Triangle équilatéral dans un carré
Un triangle équilatéral de côté unité et un carré de côté a. Quelle est la valeur minimale de a pour y inscrire le triangle équilatéral?

Voie Site: Triangles équilatéraux dans carré (amusement)

Triangle équilatéral dans tout triangle
Il existe au moins un triangle équilatéral dans chaque triangle quelconque. Il se niche à l'intersection des trisectrices. Frank Morley (1860-1937), mathématicien anglais qui a enseigné aux États-Unis. Théorème de Morley (1899) Les points d'intersection des paires de trisectrices adjacentes des angles d'un triangle sont les sommets d'un triangle équilatéral. Les trisectrices extérieures sous-tendent également des triangles équilatéraux. En comptant bien, il est possible de révéler 27 triangles équilatéraux! Rappel: Trisectrice en A => les angles BAC', C'AB' et B'AC sont égaux (isométriques) Construction .
Voir Démonstration en Le théorème de Frank Morley de Thérèse Eveilleau Voir Démonstrations en Théorème de Frank Morley d'Abracadabri Voir Démonstration visuelle de Conway (animation) Voir Morley's Miracle – Cut-the-Knot – Alexander Bogomolny - (13 preuves) Voir Trisection du segment avec des triangles équilatéraux

Cercle inscrit dans le triangle équilatéral
Le centre du cercle inscrit est aussi le centre de gravité du triangle équilatéral. R = GE = GD Or le point G est au deux tiers de la médiane CD. GD = CD/3 Bilan: R = GE = GD = CE H = 3R La droite médiane, hauteur et médiatrice d'un triangle équilatéral est partagée en trois parties égales par le cercle inscrit et chacune est égale au rayon du cercle.
Application Quelle est la taille L du triangle équilatéral ABC en fonction du rayon r du petit cercle? Il s'agit de l'application de la propriété indiquée ci-dessus aux trois triangles équilatéraux: ABC, A'B'C et A''B''C.

Application en usinage Avec un foret d’usinage mécanique ordinaire (angle de la pointe à 60°), on perce un trou conique dans une pièce en métal, le trou ainsi fait est capable de recevoir une bille en acier de telle façon qu’elle affleure la surface de la pièce. On demande quel est le poids de la bille sachant que la densité de l'acier de la bille est de d = 2,45. Solution La figure montre que la bille est logée telle qu'une section soit inscrite dans un triangle équilatéral. Son rayon est lié au diamètre de taille L (côté du triangle) par la relation: Volume de la sphère: Masse de la bille

Foret, pièce métallique usinée et bille dans le trou conique Note: calcul du coefficient Exemple numérique avec un foret de 20 mm

Triangle équilatéral en plein exercice artistique

Les trois seuls pavages réguliers du plan

Le triangle équilatéral est impliqué dans un des pavages réguliers et dans six des pavages semi-régulier du plan.

Voir Pavage du plan

Devinette – Solution

Solution en image: il suffit de retourner le petit triangle équilatéral du bas pour se rendre compte que chaque parallélogramme occupe la place d'un petit triangle équilatéral (1/4 de l'aire du grand).

Sinon: la hauteur du grand triangle est le double de celle du petit. Les côtés sont également dans un rapport 2. Les deux triangles bleus occupent la moitié de l'aire du grand. Reste une moitié pour les deux parallélogrammes identiques: soit 1/4 du grand pour chacun; la même aire que pour chaque petit triangle.

Pourquoi 1/4:

Aire T du grand triangle
Aire t du petit triangle

Énigme : un hexagone est inscrit dans un triangle équilatéral. Quelle est l'aire de cet hexagone?

Solution avec le tracé des diagonales de l'hexagone: H = 6t (aire de l'hexagone égal six fois l'aire du petit triangle équilatéral).

Aire du grand triangle: T = 9t

Aire de l'hexagone = 2/3 de celle du triangle.

Pourquoi ça marche?

En posant l'hexagone sur la base du triangle, le côté haut est parallèle à la base et le petit triangle du haut est équilatéral. Ses côtés sont égaux au côté de l'hexagone. Idem pour les deux autres petits triangles. Le côté du grand triangle est bien découpé en trois segments de même mesure.

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Suite	Triangle équilatéral – 2/2 – Propriétés spécifiques Triangle équilatéral – Constructions
Aussi	Carré et deux triangles équilatéraux Carré maximum dans le triangle équilatéral Cercles et triangle équilatéral Constructions élémentaires: triangle équilatéral Construire le triangle équilatéral circonscrit Cordes et triangles équilatéraux Deltaèdre Diagonales du cube et triangle équilatéral Diagramme triangulé pour énigmes de transvasement Flocon de neige – Courbe de Koch Groupe de symétrie S3 Médianes Nombres triangulaires Problème du carré et des deux triangles équilatéraux Problème du rectangle et des deux triangles équilatéraux Rectangles dans un triangle équilatéral – Énigme Bissection du triangle équilatéral Rectangle et deux triangles équilatéraux Relations métriques Résolution de x^3 – 1 = 0 Sceau de Salomon – Hexagramme – Étoile de David Triangle – Index Triangle de Reuleaux Triangle équilatéral avec point à distances: 3, 4 et 5 Triangle équilatéral dans le carré – Construction Triangle équilatéral dans une feuille A4 - Construction Triangle équilatéral des points de Lagrange Triangle équilatéral entier à distances internes entières Triangle équilatéral et carré – Défi Triangle équilatéral et flocon de neige Triangle équilatéral et nombre d'or Triangle équilatéral et Ptolémée Triangle équilatéral et trapèze Triangle et conjugués convergent vers équilatéral Triangle Napoléon Triangles équilatéraux de Padovan Trisection du segment avec des triangles équilatéraux Types de triangles
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Sites	Théorème de Morley – y.c. démonstration et identification des 27 triangles équilatéraux Mysteries of the equilateral triangle – Brain J. Mc Cartin – 2010 – Pdf 246 pages. John Conway's Proof of Morley's Theorem – MathematicasVisuales – Demonstration animée
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