NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Types de TRIANGLES

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

 

Géométrie

 

Types

Quelconque

Rectangle

Isocèle

Équilatéral

Obtusangle

Homologique

Calabi

Sphérique

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle équilatéral

>>> Formes

>>> Typiques (côté unité)

>>> Caractéristiques

>>> Hauteur

>>> Aire

>>> Construction

>>> Demi-triangle Équilatéral

>>> Déplacements

>>> Remplir le triangle équilatéral

>>> Carré et triangle équilatéral

>>> Théorème de Morley

>>> Quatre triangles équilatéraux

>>> Cercle inscrit

 

 

 

 

 

TRIANGLE ÉQUILATÉRAL (1/2)

 

Propriétés générales en première partie; et

Propriétés spécifiques en deuxième partie.

 

 

 

TRIANGLE ÉQUILATÉRAL

 

Triangle dont les trois côtés sont égaux (de même longueur).

*    C'est un triangle isocèle particulier.

*    Les trois angles sont égaux et valent 60°.

 

*    Faces des trois polyèdres réguliers: tétraèdre, octaèdre et icosaèdre.

 

Autres noms: triangle équiangle ou triangle isoplure (Renaissance)

 

Formes

Triangles équilatéraux en situation

 

Un pavage de triangles équilatéraux et un cercle de rayon égal au côté des triangles

 

Le cercle englobe et touche au maximum

18 triangles équilatéraux

 

Voir Pavage du disque

 

Triangles équilatéraux jumeaux qui jouent à cache-cache

 

 

Typique, de côté unité

 

 

*    Triangle équilatéral de hauteur unité.

*    Formé de deux triangles rectangles 30-60 accolés.

 

*    Six tels triangles ayant tous un sommet commun forment un hexagone régulier.

Voir Polygones et calcul de Pi / Nombre 0,866 …

 

 

CARACTÉRISTIQUES du triangle équilatéral

Nom

Triangle équilatéral

Famille

Polygone à 3 côtés

Sommets

3

Côtés

Trois côtés égaux (isométriques)

Périmètre

3c

Angles

60 ° soit  /3

Hauteur

Aire

Voir Nombre 0,433…

Cercle inscrit et circonscrit

 

Aire du cercle circonscrit  / aire du cercle inscrit = 4; l'aire de la couronne (rose) vaut trois fois celle du cercle inscrit.

Voir Propriété amusante sur cette figure

 

Propriétés

Les droites caractéristiques issues d'un même sommet sont confondues:

Hauteurs,

Médianes,

Médiatrices,

Bissectrices.

 

Elles ont le même point de concours:

Centre de gravité,

Orthocentre,

Centre du cercle inscrit,

Centre du cercle exinscrit.

 

Ce point est situé au 2/3 de distance à partir du sommet:

*    3/3 =  0, 5773…c     d'un côté et

*    3/6 =  0, 2886…c    de l'autre.

Voir Arbre de distribution

 

Elles constituent trois axes de symétrie du triangle.

 

 

Calculs

HAUTEUR

h ² = c ² – d ²

d = c / 2

h ² = c ² – (c/2) ²

      = c ² – c ² / 4

      = 3/4 c ²

h = 3/2 c

AIRE

A = ½ h . c = ½ (3/2 c ) c = 3/4 c 2

3/2 = 0, 866 025 …

3/4 = 0, 433 012 …

Voir Construction de l'heptagone

 

 

 

CONSTRUCTION

 

 

Construction rapide

 

*    Cercle et un de ses diamètres (bleus).

*    Perpendiculaire en milieu de rayon (rouge).

*    Intersection avec le cercle  deux des sommets du triangle équilatéral.

 

(Cf: cos 60° = 1/2) >>>

 

 

 

 

 

 

 

 

Règle et compas

 

*    Prendre un compas et choisir l'ouverture et ne plus en changer.

 

*    Dessinez un cercle.

*    Reportez l'ouverture du compas sur le cercle à partir d'un point quelconque.

*    Poursuivre cette opération à partir des points d'intersections obtenus.

*    Le cercle est divisé en six.

 

 

 

 

 

 

*    Prendre un point sur deux pour dessiner un triangle équilatéral.

 

 

 

 

C'est aussi une méthode pour construire un angle de 60° ou un hexagone.

 

 

 

 

 

Compas à ouverture fixe et les cinq cercles

 

*    À partir d'un segment AB, dessinez les cinq cercles dans l'ordre indiqué. Les cercles 4 et 5 se coupent au troisième sommet du triangle équilatéral.

Voir Les 6 cercles plus un

 

 

Le saviez-vous? Le nombre 1/3 se cache dans le triangle équilatéral

 

Cette simple construction avec deux triangles équilatéraux permet de trouver un des points situé au 1/3 du segment bleu.

 

Voir Trisection du segment

 

 

 

http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/Dissecti/Trissect_fichiers/image076.jpg

 

 

 

DEMI-TRIANGLE Équilatéral

 

 

Certaines équerres sont en forme de demi-triangle équilatéral; en fait un triangle rectangle.

Les angles à la base valent 30° et 60°.

30°

 

 

 

 

60°

 

 

 

Déplacements du triangle équilatéral

 

Il existe six déplacements qui laissent le triangle équilatéral identique à lui-même.

 

*    Identité

*    Rotation 120°

*    Rotation 240° (ou -120°)

*    Symétries par rapport à chacune des trois médiatrices.

 

 

Remplir le triangle équilatéral

 

Un triangle équilatéral (jaune)  et son clone quatre fois plus petit (vert). Combien de petits triangles au minimum pour recouvrir complètement le grand. Seuls les glissements son autorisés, pas de rotation.

 

Solution

Première idée: placer trois triangles dans les angles et en mettre un quatrième au centre. Contraire à la demande, il ne faut pas les retourner.

Il faut trois autres triangles (roses) pour couvrir le trou central.

 

 

Triangle équilatéral dans un carré

 

Un triangle équilatéral de côté unité et un carré de côté a.

Quelle est la valeur minimale de a pour y inscrire le triangle équilatéral?

 

 

Voie Site: Triangles équilatéraux dans carré (amusement)

 

 

Triangle équilatéral dans tout triangle

 

Il existe au moins un triangle équilatéral dans chaque triangle quelconque. Il se niche à l'intersection des trisectrices.

 

Frank Morley (1860-1937), mathématicien anglais qui a enseigné aux États-Unis.

 

Théorème de Morley (1899)

 

Les points d'intersection des paires de trisectrices adjacentes des angles d'un triangle sont les sommets d'un triangle équilatéral.


 

 

Les trisectrices extérieures sous-tendent également des triangles équilatéraux. En comptant bien, il est possible de révéler 27 triangles équilatéraux!

 

Rappel: Trisectrice en A => les angles BAC', C'AB' et B'AC sont égaux (isométriques).

 

 

Voir Démonstrations en Le théorème de Frank Morley de Thérèse Eveilleau

Voir Démonstration visuelle de Conway (animation)

Voir Trisection du segment avec des triangles équilatéraux

 

 

 

Quatre triangles équilatéraux

– Théorème de Napoléon

*      Un triangle quelconque (bleu).

*      Les trois triangles équilatéraux (roses) construits sur chacun des côtés.

*      Leur centre de gravité (intersection des pointillés).

*      Le triangle (jaune) dont les sommets sont ces trois centres de gravité est équilatéral.

 

Théorème

Dans un triangle quelconque, on relie les centres de gravité des s triangles équilatéraux construits sur les côté et pointant à l'extérieur. Le triangle obtenu est équilatéral.

 

 

Démonstration pas trop compliquée mais fastidieuse en utilisant la méthode vectorielle.

*    La méthode s'applique également pour les triangles équilatéraux construits en interne.

*    Donc, deux triangles équilatéraux Napoléon.

*    Leur centre est identique et c'est le centre du triangle original.

*    L'aire du plus grand triangle Napoléon est égale à celle du petit plus celle du triangle original.

*    Les droites joignant un sommet du triangle Napoléon à un sommet éloigné du triangle original sont concourantes.

Voir Napoléon

 

 

Cercle inscrit dans le triangle équilatéral

 

Le centre du cercle inscrit est aussi le centre de gravité du triangle équilatéral.

R = GE = GD

 

Or le point G est au deux tiers de la médiane CD.

GD = CD/3

 

Bilan:

R = GE = GD = CE

H = 3R

 

 

La droite médiane, hauteur et médiatrice d'un triangle équilatéral est partagée en trois parties égales par le cercle inscrit et chacune est égale au rayon du cercle.

 

 

Application

 

Quelle est la taille L du triangle équilatéral ABC en fonction du rayon r du petit cercle?

 

Il s'agit de l'application de la propriété indiquée ci-dessus aux trois triangles équilatéraux: ABC, A'B'C et A''B''C.

 

 

 

Application en usinage

 

Avec un foret d’usinage mécanique ordinaire (angle de la pointe à 60°), on perce un trou conique dans une pièce en métal, le trou ainsi fait est capable de recevoir une bille en acier de telle façon qu’elle affleure la surface de la pièce.

On demande quel est le poids de la bille sachant que la densité de l'acier de la bille est de d = 2,45.

 

 

 

Solution

La figure montre que la bille est logée telle qu'une section soit inscrite dans un triangle équilatéral. Son rayon est lié au diamètre de taille L (côté du triangle) par la relation:

Volume de la sphère:

Masse de la bille

 

 

 

Foret, pièce métallique usinée et bille dans le trou conique

 

Note: calcul du coefficient

 

Exemple numérique avec un foret de 20 mm

 

Triangle équilatéral en plein exercice artistique

 

Les trois seuls pavages réguliers du plan

Le triangle équilatéral est impliqué dans un des pavages réguliers et dans six des pavages semi-régulier du plan.

Voir Pavage du plan

 

 

 

 

 

Suite

*    Triangle équilatéral – 2/2 – Propriétés spécifiques

*    Triangle équilatéral avec point à distances: 3, 4 et 5

 

Aussi

*    Bissection du triangle équilatéral

*    Carré maximum dans le triangle équilatéral

*    Constructions élémentaires: triangle équilatéral

*    Deltaèdre

*    Flocon de neige – Courbe de Koch

*    Groupe de symétrie S3

*    Médianes

*    Nombres triangulaires

*    Relations métriques

*    Résolution de x3 – 1 = 0

*    Sceau de Salomon – Hexagramme – Étoile de David

*    TriangleIndex

*    Triangle équilatéral dans le carré – Construction

*    Triangle équilatéral et flocon de neige

*    Triangle équilatéral et nombre d'or

*    Triangle équilatéral et Ptolémée

*    Triangle équilatéral et trapèze

*    Triangle et conjugués convergent vers équilatéral

*    Triangles équilatéraux de Padovan

*    Trisection du segment avec des triangles équilatéraux

*    Types de triangles

Voir

*    Allumettes

*    Angle

*    Carrés

*    Cercles

*    Cuboctaèdre

*    Droite

*    Égalités des triangles

*    Hexagone

*    Hexagramme, étoile de David

*    Jeux

*    Polygones

*    Probabilité d'obtenir un triangle obtusangle

*    Quadrupler le triangle

*    Résolution du triangle quelconque

*    Symétries

*    Triangle de Pythagore

*    Types de triangles

Site

*    Théorème de Morley y.c. démonstration et identification des 27 triangles équilatéraux

*    Mysteries of the equilateral triangle – Brain J. Mc Cartin2010  - Pdf 246 pages.

*    John Conway's Proof of Morley's TheoremMathematicasVisuales – Demonstration animée

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