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FRACTALES

 

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Fractales

Théorie et Pratique

 

Glossaire

Général

 

 

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Fractales

 

Propriétés

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Sommaire de cette page

>>> Propriétés des fractales

>>> Dimension topologique

>>> Dimension d'homothétie

>>> Dimension fractale

>>> Valeurs fractales

>>> Coefficient d'étirement

 

 

 


 

 

FRACTALES

 

*    Principale propriété: dimension non entière … fractionnaire!

*    Oui, mais toujours, la dimension peut être aussi entière ou irrationnelle.

Voir Entier  / Fractions

  

  

PROPRIÉTÉS DES FRACTALES

 

*           Une fractale ou un objet fractal.

*           Dimension non entière.

*           Dimension strictement supérieure à la dimension topologique.

*           Non-différentiable (impossible de définir la tangente).

*           Apparition d'infinis (longueur infinie par exemple).

 

 

*           Certaines fractales, dits à homothétie interne, peuvent être construites à partir d'algorithmes simples

*       ensemble triadique de Cantor,

*       ensemble de von Koch,

*       courbe, éponge et tapis de Sierpinski,

*       etc.

 

 

 

  

DIMENSIONS

 

DIMENSION TOPOLOGIQUE

 

*           Ce sont des valeurs entières:

0 – Point

1 – Courbe

2 – Surface

3 – Volume

4 – Hyper volume

 

DIMENSION D'HOMOTHÉTIE

 

 

           Dimension 1                      Dimension 2                        Dimension 3

           Segment doublé                Carré doublé                      Cube doublé

           Facteur 2 = 21                 Facteur 4 = 22                  Facteur 8 = 23

 

          

*           Le facteur d'agrandissement (d'homothétie) est égal à

2Dimension Topologique

C'est encore une valeur entière

 

 

Voir Duplication du cube

 

 

DIMENSION FRACTALE

 

Exemple

*           Par rapport à la ligne classique dont la dimension est 1, le flocon est plus froufrouteux. Il remplit plus l'espace, mais pas autant que l'espace d'une surface de dimension 2.

La dimension fractale du flocon est 1,26.

 

 koch.gif

 

*           Celle d'une côte au bord de la mer est comprise entre 1,15 et 1,25.

 

 

Définition

 

Dimension fractale: log p / log q

Avec q facteur d'agrandissement

p nombre de fractales obtenues.

 

Exemple

 

*           Dans le cas du flocon, le segment initial est remplacé par 4 autres (log 4) de longueur 1/3 (1/log 3).

Dimension fractale:   log 4 / log 3 = 1,26

Voir Logarithmes

 

Définition précise

 

*           La définition précise de la dimension fractale (Hausdorff - Besicovitch) est complexe:

 

Valeur de d pour laquelle le volume de dimension d change de l'infini à zéro.

 

*           Ses créateurs avaient créé cette dimension pour s'amuser et se moquer des mathématiques. L'arroseur arrosé! La nature a plus d'un tour dans son sac.

 

Approche de cette définition

 

*           Une courbe fractale a une dimension supérieure à 1, comme si elle avait une épaisseur.

*           Imaginons qu'elle soit tracée par un stylo dont la bille à un certain diamètre. En utilisant un stylo plus fin, surprise, on découvre un tracé en dessous qui ressemble au premier.

*           Stylo encore plus fin: encore la même courbe… jusqu'à un diamètre nul.

*           La longueur de la courbe grandit au fur et à mesure que le diamètre de la bille diminue. L'agrandissement se fait selon une loi en puissance: l'exposant est la dimension fractale.

 

Dimension fractale D

 

*           En mesurant la courbe avec une "règle" X fois plus courte, la longueur s'accroît de XD.

 

 

 

VALEURS de dimensions fractales

Objet

Dimension

Formule

*    Cantor

0,6309297534

log 2 / log 3

*    Flocon (Koch)

1,261859507

log 4 / log 3

*    Enveloppe d'un mouvement brownien plan

1, 333

4/3

*    Côte

1,33?    (<1,5)

 Constat

*    Triangle de Sierpinski

1,584962501

log 3 / log 2

*    Fougères

1,7

 

*    Molécule protéine

1,7

 

*    Tapis de Sierpinski 

1,7227

log 16 / log 5

*    Pentagones de Dürer

1,86171596

log 6 / log ( 2 / (3-5) )

*    Carpette de Sierpinski

1,892789260

log 8 / log 3

*    Courbe de Peano

*    Courbe de Hilbert

2

Pas réellement des fractales

*    Papier froissé

2,5

 

*    Fougères 3D

2,5

 

*    Éponge de Menger

*    Éponge de Sierpinski

2,726833027

log 20 / log 3

 

 

 

 

 

FEIGENBAUM – Coefficient d'étirement

 

2,502 908…   et 4,669 201 66…   = Valeurs de Feigenbaum

 

Valeur d'étirement des figures fractales.

*    Facteur d'échelle de transformation des figures fractales.  Feigenbaum 1975

 

Dans le cas de certaines courbes fractales,

*    comme la courbe logistique , après un nombre d'itérations suffisant (1024, par exemple), le dessin suivant sera le même sauf qu'il faudra amplifier les l (axe x) d'un facteur 2,502908 et celui des x (en fait axe des y) d'un facteur 4,66920166.

 

 

Cette propriété est valable

*    pour toutes les fonctions continues dont le graphe n'a qu'un seul maximum. Ces deux valeurs sont universelles comme Pi.

 

Keith Briggs du département mathématiques de l'université de Melbourne détient le record du calcul de décimales:

4,6692016091 0299067185 3203820466 2016172581 8557747576 8632745651 3430041343 3021131473 7138689744 0239480138 1716598485 5189815134 4086271420 2793252231 2442988890 8908599449 3546323671 3411532481 7142199474 5564436582 3793202009 5610583305 7545861765 2222070385 4106467494 9428498145 339172620 0568755665 9523398756 0382563722 5

 

 

 


 

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