NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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FRACTALES

 

Débutants

Général

Généralités

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Fractales

 

Débutant

Introduction

Réflexions

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Je me vois sans fin

>>> Elle rit dans sa boite

>>> Elle a la cote, la côte

>>> Qu'il est chou ce chou-fleur!

>>> La rose des sables

>>> C'est de l'art qui se répète

>>> Questions

>>> Jeu

 

 

 

FRACTALES

C'est quoi en un mot?

 

Une fractale, c'est … une fraction particulière? Non. Mais il y a un peu de cela, en tout cas à l'origine de leur histoire.

 

Pour chacun d'entre-nous, ce sont de jolies images colorées.

Source image: weed's fractal gallery

 

Pour le mathématicien, c'est un peu plus complexe. Comme pour une voiture ou une montre, comprendre la structure interne des fractales nécessite des compétences particulières.

Une fractale est un objet mathématique qui n'existe pas en tant que tel dans la réalité, comme c'est le cas lorsqu'on matérialise un point ou une droite. Contrairement à ceux-ci, sa dimension n'est pas entière.

 

Comment approcher ce concept? Voici une page qui essaie de le faire en utilisant des analogies.

 

 

Je me vois sans fin

 

*         Dans la salle de bain, tenez un petit miroir portatif derrière votre tête et regardez-vous dans le grand miroir.

*         Positionnez le petit miroir pour voir votre portrait dans le grand miroir.

*         Si vous ajustez le petit miroir, vous aller voir votre portrait une nouvelle fois au loin, puis encore une fois plus loin.

*         Voir quatre fois votre trombine sera déjà bien avec un tel dispositif.

 

 

*         Vous pourrez voir plus d'images si vous utilisez deux grands miroirs. Par exemple, celui de la salle de bain et celui de la porte-miroir qui lui fait face. Une telle situation se présente parfois dans les hôtels.

 

Conclusion

 

*         Vison d'images qui se répliquent sans fin, de plus en plus petites du fait de la distance de vision.

*         Le nième miroir montre la même image que celle d'origine, mais à une échelle réduite. Toutes les images sont similaires, auto-similaires.

 

 

 

Elle rit dans sa boite

 

*      La fameuse boîte de Vache qui rit est un bel exemple de répétition d'images. Aussi loin que l'on zoome sur la boite, il y aura toujours une boucle d'oreille avec une vache qui rit.

*      Cette opération de duplication sans fin s'appelle une mise en abyme.

 

Voir Abîme et abyme

vachequirit-300x262 vache seule VOIR.jpg

 

Un exemple simple de mise en abyme

 

Un exemple plus graphique et plus récent

 

dany.jpg

 

 

 

Elle a la cote, la côte

 

*      Voici la côte du Finistère.

*      Comment mesurer la longueur de cette côte? Il faut définir une unité de mesure.

 

*      Choisissons la longueur du trait rouge sur la figure et reportons cette mesure unitaire le long e la ligne de côte.

*      Avec cette unité, la courbe de la côte est très approximée, notamment dans les baies ou le long des pointes.

 

*      Avec une unité plus petite, nous passerions plus près de la ligne de côte et nous mesurerions une longueur plus grande.

*      En choisissant encore plus petit, la ligne mesurée serait encore plus longue.

*      Quand faut-il s'arrêter? Il y aura toujours des micro-baies et des micro-pointes.

*      Une norme est nécessaire.

 

Note: en ce qui concerne la côte, le problème se complique avec les marées: Faut-il faire les mesures à marée haute ou marée basse? En fait, c'est la ligne d'estran ou trait de côte qui est adopté.

 

 

 

Longueur de la côte française: 3 240 km

Record: Canada avec plus de 200 000 km

Voir  Trait de côte

 

 

Qu'il est chou ce chou-fleur!

 

*      Le chou-fleur est l'objet naturel permettant le mieux d'introduire la notion de fractale.

*      Voyez les grosses mottes blanches formées elles-mêmes de petites formes, à l'intérieur desquelles se retrouvent de petites formes boursouflées.

*      Le chou-fleur est  formé d'un certain nombre de parties semblables au tout.

*      Le chou-fleur peut être fragmenté en parties semblables.

 

Chou fleur.jpg

 

La rose des sables

 

*    Comment le vent joue avec le sable pour nous offrir ces merveilles à la structure fractale.

 

 

P1060358

 

 

C'est de l'art qui se répète

 

*      Certains dessins de Escher sont bien connus pour présenter des motifs répétée et imbriqués.

*      Ici, des oiseaux blancs et des oiseaux blancs.

*      Effet répétitif sans fin dans l'espace

 

 

 

 

Plus fort:

 

*      Escher s'est inspiré des travaux d'Henri Poincaré pour illustrer la mise en abyme.

 

escher1_1_.jpg

 

Escher poisson  en abyme.jpg

 

 

 

Questions

 

*      Une image rebondit-elle sans fin sur deux miroirs parallèles?

 

*      Que fait le son émis par un haut-parleur et réinjecté immédiatement dans le micro? Un son strident insupportable, l'effet Larsen.

 

*      Que se passe-t-il si l'on remplace chaque fragment de courbe par la courbe elle-même? Une courbe fractale comme le flocon de Koch. Et un dessin par un lui-même plus petit?  Sierpinski donne de nombreux exemples comme sa carpette.

 

*      Et, si nous retirions des portions de courbes? Un tel procédé conduit aux poussières de Cantor ou aux éponges de Menger

 

*      Que peut donner la sortie d'une fonction mathématique si on réinjecte le résultat de sortie vers l'entrée: des objets mathématiques complexes: des fractales comme celles de Mandelbrot.

 

 

 

 

Pour jouer

 

*      Vous pouvez vous amuser à dessiner des objets fractals en choisissant une forme quelconque.
Vous la réduisez et la reportez sur les bords de la première.
Vous répétez cette opération autant de fois que vous voulez.

 

Voir Pentagones de Dürer

 

 

Quelques fractales typiques

 

 

 

 

 

Suite

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*      Kalles Fraktaler 2 – Le générateur de fractales gratuit  sans doute  le plus puissant – Utilisez la roulette de souris pour zoomer autant que vous voulez.

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