NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

Débutants

Général

Développements

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Puissances

Fonctions

Dévelop. (1 + x)a

 

Sommaire de cette page

>>> Développement de (1+x)a

>>> Exemples de calculs

>>> Applications: exemple de calcul de racines carrées

>>> Généralisation: calcul des racines carrées

>>> Bilan

 

 

 

Développements limités

permettant un calcul rapide des racines

 

 

Développement de  (1 + x)a

 

 

 

*    Ce développement limité n'est valable que si:

*       x est petit autour de 0,

*       a est une constante (et non pas une variable),

*       le dernier terme o(x) témoigne de la différence avec la valeur exacte. Il diminue avec la quantité de termes calculés.

 

*    Notez que l'on retrouve l'égalité classique pour le carré avec a = 2

Tous les termes suivants sont nuls du fait de la présence de (a – 2) = 0 au numérateur.

 

 

Exemple de calculs

 

Exemple de calcul avec x = 0, 01 pour les puissances de 2 à 10
 

 

*    En jaune le résultat atteint exactement; en rouge la valeur exacte (limitée à 10 chiffres).

 

Exemple de calcul avec x = 0, 1 pour les racines de 2 à 10 (puissances ½ à 1/10)

 

 

*    La racine de 1,1 est exactement 1, 048808848. En calculant cinq termes (n = 5), la valeur de T5 est égale à 1,048808867 qui s'écarte de la valeur exacte de 19 milliardièmes par excès.

 

 

 

Exemple de calcul de racines carrées

 

*    Prenons un nombre N dont nous voulons calculer la racine carrée.

Un carré proche

 

N

 

C
 

 

= 50

 

= 49

*    Expression de N

50

= 49 + 1

*    Sa racine
Nous obtenons une forme en 1 + x avec x petit.

 

*    Développement limité
et calcul

 


 7  x 1,010204

 7, 071428

*    À comparer à la valeur exacte

Écart

= 7, 071067814 …

= 0, 00036 …

*    En ajoutant un deuxième terme au développement (ce qui devinent un peu plus compliqué pour un calcul rapide)

 

= 7(1,010204 – 0,000052)

= 7, 071064

*    Un calcul plus précis donne successivement du premier au cinquième terme ajouté.

 

7, 071428571

7, 071064140

7, 071067859

7, 071067811

7, 071067812

Voir Calcul des racines  - Index

 

 

 

Généralisation: calcul des racines carrées

 

*    Prenons un nombre N dont nous voulons calculer la racine carrée.

Un carré proche C².

 

N
 

 

= C² + n

*    Expression de N

*    La racine est une forme en 1 + x Son développement limité.

*    Si n est un peu grand, le deuxième terme est nécessaire.

 

 

 

Tableau pour les nombres de 1 à 100

 

*    Calcul des racines avec approximation T1 et T2 pour tous les nombres de 1 à 100.
Les écarts E1 et E2 sont exprimés en millièmes. En rouge les écarts supérieurs à 10/1000 = 1/100

 

*    Prudence de mise lorsque n est voisin de C. L'écart est alors conséquent.

Exemple pour 55 dont la racine est 7,416: T1 = 7,428 et E1 = 12,4 / 1000 = 0,0124 soit un ratio de 0,17%; avec T2 = 7,4155, E2 = 0,75 / 1000 et le ratio devient: 0,01%.


 

 

 

Bilan

 

On retient les valeurs approchées de

 

 

et d'une manière générale avec N  = C² + n:

 

 

ou encore sous forme d'encadrement:

 

Exemple avec 50 = 7,071067 …

 

 

 

4

 

 

 

 

 

Suite

*         Développements limités

*         Développements et racines carrées

Voir

*         Exponentielles

*         Racine

*         Racine carrée

DicoNombre

*         Nombre 50

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