NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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EXPOSANTS

 

Débutants

Général

PUISSANCES

& RACINES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Racines carrées

 

Puissances et racines

 

Analyse

 

Puissance

Comparaison

Puissance de 2

Racine

Racine carrée

Continue

Racine de 2

Racine cubique

Racine treizième

Dev. limité

Constantes en racines

 

Sommaire de cette page

>>> Racines carrées – Index

>>> Racines carrées – Définition et notations

>>> Tables de quelques racines

>>> Exemples de calculs

>>> Fonctions

>>> Valeurs

>>> Applications

>>> Publicité

>>> Anglais

 

 

 

 

RACINE CARRÉE 

 

Voir Fonctions réciproques

 

 

C'est l'histoire d'un neuf qui se promenait.  Il traverse une forêt. Il en ressort transformé en trois! Que s'est-il passé?

Nul doute, il est tombé sur une racine!

Stromae sort un album intitulé racine carrée en août 2013. Il indique que racine renvoie aux origines numériques et carré, car il aime les formes géométriques. Il ajoute: je fais de la musique comme si je faisais des maths.

Stromae (né en 1985) est le verlan de Maestro. Son vrai nom est Paul Van Haver.

Voir Pensées & humour

 

 

 

 

SOMMET EUROPÉEN des 22 et 23 juin 2007: où il est question de racine carrée

 

Le (mini-) Traité (et non la Constitution) est signé. De nombreuses concessions ont été faites à tel ou tel des 27 pays de l'Union. La Pologne souhaitait représenter le pays selon la racine carrée de sa population. Elle visait ainsi à minimiser la représentativité de l'Allemagne.

 

 

Superficie

Population

population

Allemagne

357 027 km²

82,5 Mha

9,08

Pologne

312 685

38,6

6,21

Rapport

1,14

2,14

1,46 = 2,14

 

À superficie voisine, la population allemande est plus que deux fois celle de la Pologne.

En utilisant la racine carrée de la population le différentiel redescendrait à environ 1,5.

 

Voir Europe  / Pensées & humour

 

 

 

RACINES CARRÉESINDEX

 

Puissances et racines

>>> Carrés (Nombres - )

>>> Puissances et racines – Index

>>> Racines nièmes

>>> Racine d'une équation

 

Racines carrées – Définition et propriétés

>>> Racine carrée – Introduction et notations

>>> Racine carrées – Glossaire

>>> Racine carrées – DicoMots Maths

>>> Racines carrée continues

 

Racines carrées – Valeurs

>>> Table de racines carrées de 1 à 10

>>> Table des racines de 1 à 10 jusqu'à 100

>>> Racine de -1 (Imaginaire)

>>> Racine de 2

>>> Racine de 2 – Spectre

>>> Racine de 2 – DicoNombre

>>> Racine de 2 – En géométrie

>>> Racine de 2 et de 62 - Motifs

>>> Racine de 3

>>> Racine de 5

>>> Racine de 8

 

Autres racines

>>> Racine cubique: calcul à la main

>>> Racine 13e – Calcul mental

>>> Racines de l'unité (complexes)

 

Calcul de la racine carrée

>>> Babylone (Algorithme de - )

>>> Brahmagupta (Approximation de -)

 

>>> Calcul à la main (comme la division à la française)

>>> Calcul à la main (explications géométriques)

>>> Calcul à la main (explications, fondements)

>>> Calcul avec Maple

 

 

>>> Calcul avec radicaux

>>> Calcul mental

>>> Calculs - Index

>>> Carrés parfaits (Racine mentale des -)

>>> Construction géométrique

>>> Cubique (Fonction d'approximation)

>>> Décimales des racines carrées

>>> Développements limités

>>> Dichotomie (Méthode par - )

>>> Écarts (Méthode des -)

>>> Fraction avec dénominateur sans radical

>>> Fractions continues et calcul des racines

>>> Goutte à goutte (Méthode du -)

>>> Héron (Méthode de - ) – Algorithme de Babylone

>>> Impairs (Méthode du goutte à goutte)

>>> Newton (Méthode de - )

>>> Racine des nombres en 9999…

>>> Racines consécutives – Énigme

 

>>> Sommes de racines presque entières

 

 

 

 

 

RACINE CARRÉE

Notation

 

2a   ou simplement   a : racine carrée de a

 

4 :  racine carrée  de   4 = 2, car 2 x 2 = 4

81: racine carrée de 81 = 9, car 9 x 9 = 81

 

Notation fractionnaire         a = a 1/2

Notation sans exposant     a = a^1/2

 

Définition

La racine carrée d’un nombre a est un nombre dont le carré vaut a:

r  =  a

r² =  a . a

À retenir!!!

Un nombre est égal au produit

de sa racine par sa racine.

 

J'ai un doute, je me conforte en prenant un exemple numérique.

 

 

9 . 9 = 9

en effet:

  3  .   3 = 9

Maths

L’application:

 

est une bijection  de:

 

dont la réciproque est notée:  

Existence

 

Tout nombre réel possède deux racines opposées:

-      l'une positive: la racine ou racine principale;

-      l'autre négative et de même valeur.

 

Exemple

 

4 = +2

Car 2 x 2 = 4

 

4 = – 2

Car (–2)( –2) = 4

 

 

Général

 

a = +r

a = r

 

Notation

 a =  r

Deux racines ou une?

Lorsqu'on parle des racines carrées de 25, il y en a deux.

Racines carrées de 25 =

- 5 et  + 5

Par contre, le radical, indique que l'on s'intéresse à la racine carrée principale, celle positive

25

= 5

Cette distinction est subtile et rarement respectée. Elle est présente chez les Anglo-saxons

 

 

 Calcul symbolique

Le logiciel Maple propose deux façons de calculer la racine carrée:

*    Arithmétique: La valeur positive est donnée directement par sqrt (4 ) = 2 ou par 41/2 = 2.

*    Algébrique: La fonction RootOf donne les deux valeurs positives et négatives.

Voir Calcul des racines énièmes avec root et surd – Pièges!

Voir Racine carrée et notation symbolique de i (imaginaire)

selon que l'on admet la racine négative d'un nombre ou non.

 

 

 

Table des racines de n et de 1/n aux puissances 1 à 5

Exemple de lecture: la racine carrée de 3 est 1,7321 et celle de 1/3 est 0,5774.
Notez que la racine carrée du carré de n est égale au nombre n. Normal!

Voir Tables

 

 

 

 

Irrationnel

Sauf si le nombre est un carré parfait, la racine est un nombre irrationnel.                                          Voir Démonstration

Calcul

 

Fractions continues

Noté: [1 ; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2...]

 

 

Voir Autres valeurs / Équation de Pell

Curiosité

Observation

Considérons la valeur entière de la racine des nombres successifs:

 

1      2      3      4      5      6      7      8      9      10    11    12    13    14    15    16

1,00 1,41 1,73 2,00 2,24 2,45 2,65 2,83 3,00 3,16 3,32 3,46 3,61 3,74 3,87 4,00

1      1      1      2      2      2      2      2      3      3      3      3      3      3      3      4

               3                                    5                                                   7        

 

Observez le passage à la valeur entière suivante. La taille des marches de l'escalier est la suite des nombres impairs!

 

Explication

Le passage à la nouvelle valeur entière apparaît lorsqu'on atteint un carré parfait.

Or, d'un carré parfait au suivant, on peut écrire la relation suivante

(a +1)² – a² = a² + 2a + 1 – a² = 2a + 1

Cette différence représente exactement les nombres impairs successifs.

 

 

 

Racines carrées -  Exemples de calculs

 

Sous le radical

   

Et aussi son opposé: 

Valable pour la suite de ces exemples

 

Piège!

                            

= 2 x 14142 … = 2,8284…                       2,2360 …               1,4142… + 1, 7320… = 3,1462 …

  Proche de Pi       

 

Fractions

 

Les quatre opérations

                   

           

 

 

 

Dénominateur sans radical

 

 

Puissances

 

Identités remarquables

 

Détection d'identités remarquables

Voir Application au calcul de tg (Pi/8)

 

 

Calcul numérique

 

Voir Racines en équations / Racines en fractions /  Radicaux et Maple

Voir aussi Pièges de calcul / Fractions / Puissances / Identités / Calculs avec des racines cubiques

 

 

 

 

Construction de 2a – Descartes

 

*    Sur une droite, on dessine AH = a
et HB = 1, avec a < 1.

*    Diamètre du cercle = 1 + a

*    Pythagore: OC² = r² + HO²

                               r² = OC² - HO²

 

*    Soit la valeur de r²

 

4r² = (1 + a )² - (1 – a)²

      = 1 + 2a + a² - 1 + 2a – a²

      = 4a

r = a

 

Exemple:  (ne soyez pas surpris que r soit plus grand que a)

 

 

OC est le rayon = (1 + a) / 2

 

OH = OA – a

       = (1 + a) / 2 – a = (1 – a ) / 2

 

Voir Autre construction

 

 

FONCTION y = 2x

 

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/RacinCar_fichiers/image035.jpg

 

 

 

 

Rouge y = x

 

Verte   y = ½  x

 

Bleue  y = 2x

 

Jaune  y = ¼ x

 

 

 

 

 

Notez

x = 2x

pour x = 1

 

½ x = 2x

pour x = 4

 

¼ x = 2x

pour x = 16 (hors figure)

 

 

 

VALEURS de    2a

   a  = 2       = 1, 414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641573

          3       = 1, 732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806979451933016908800037081146186757248576

          4       = 2                                

          5       = 2, 236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637804899414414408378782275

          6       = 2, 449489742783178098197284074705891391965947480656670128432692567250960377457315026539859433104640235

          7       = 2, 645751311064590590501615753639260425710259183082450180368334459201068823230283627760392886474543611

          8       = 2, 828427124746190097603377448419396157139343750753896146353359475981464956924214077700775068655283145

          9       = 3                                

       10        = 3, 162277660168379331998893544432718533719555139325216826857504852792594438639238221344248108379300295

       11        = 3, 316624790355399849114932736670686683927088545589353597058682146116484642609043846708843399128290651

       12        = 3, 464101615137754587054892683011744733885610507620761256111613958903866033817600074162292373514497151

 

 

 

APPLICATIONS

 

 

Géométrie

 

 

Théorème de Pythagore:

 

d =

 

-       hypoténuse du triangle rectangle, ou

-       diagonale du rectangle.

 

 

 

 

 

 

 

 

Côté du carré connaissant son aire:

a = A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Construction de a

(règle et compas)

 

x² + y² = (1 + a

x² = a² + h²

y² = 1² + h²

 

a² + h² + 1² + h² = (1 + a

a² + 2h² + 1 = a² + 2a + 1

2h² = 2ª

h² = a

h = a

 

 

 

 

 

Tracer BH et prolonger d'une unité en C.

Dessiner le cercle de diamètre BC (via la médiatrice).

Perpendiculaire en H coupe le cercle en A.

Voir Constructions géométriques élémentaires

 

 

 

 

Publicité

 

*  La publicité  pour la calculette "Casio FX 92 collège 2D+" montre un calcul de racines carrées sur l'écran:

Racine.jpg

 

 

*  Vérifions par nous-mêmes.

*  Cherchons un des facteurs de 847: 2, 3 et 5 Non! Essayons tout de suite 11: 8 + 7 - 4 = 11 Bingo: 847 / 11 = 77 qui est encore divisible par 11. Soit 847 = 7 x 11 x 11.

*  Voyons le calcul des racines:

 

 

 

 

ENGLISH CORNER

Words

Racine

Racine carrée

Root

Square root

Radical

Surd

Definition

A square root of a number x is a number whose square is x

Square: the result of multiplying the number by itself.

Theorem

Square roots of integers that are not perfect squares are always irrational numbers.

Abbreviation

Sqrt(x)

 

 

 

 

Suite

*    Racine carrées et nombres en 99…98

*    Racine de deux

*    Racine de trois

*    Racine des nombres en 9999…

*    Racine et leurs décimales

*    Calcul des racines carrées

*    Approximation de racines (Brahmagupta)

*    Tracas de débutant

Voir

*    Racines

*    Nombres carré

*    Puissances

*    Constantes

*    Imaginaires

*    Pi

*    Nombre d'Or

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