Racine carrée

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RACINE CARRÉE

Le carré de 9 est 81:

La racine carrée de 81 est 9:

SOMMET EUROPÉEN des 22 et 23 juin 2007: où il est question de racine carrée

Le (mini-) Traité (et non la Constitution) est signé. De nombreuses concessions ont été faites à tel ou tel des 27 pays de l'Union. La Pologne souhaitait représenter le pays selon la racine carrée de sa population. Elle visait ainsi à minimiser la représentativité de l'Allemagne.

	Superficie	Population	population
Allemagne	357 027 km²	82,5 Mha	9,08
Pologne	312 685	38,6	6,21
Rapport	1,14	2,14	1,46 = 2,14

À superficie voisine, la population allemande est plus que deux fois celle de la Pologne.

En utilisant la racine carrée de la population le différentiel redescendrait à environ 1,5.

Voir Europe / Pensées & humour

RACINE CARRÉE
Notation	²a ou simplement a : racine carrée de a 4 : racine carrée de 4 = 2, car 2 x 2 = 4 81: racine carrée de 81 = 9, car 9 x 9 = 81 Notation fractionnaire a = a ^1/2 Notation sans exposant a = a^1/2
Définition	La racine carrée d’un nombre a est un nombre dont le carré vaut a:		r = a r² = a . a
Maths	L’application: est une bijection de: dont l’inverse est noté:		x \|→ x² 3⁺ → 3⁺ x \|→ x
Existence	Tout nombre réel possède deux racines opposées: - l'une positive: la racine ou racine principale; - l'autre négative et de même valeur.	*Exemple* 4 = +2 *Car* 2 x 2 = 4 4 = -2 *Car* (-2)(-2) = 4	*Général* a = +r a = - r *Notation* a = ±r

Irrationnel

Sauf si le nombre est un carré est parfait, la racine est un nombre irrationnel. – Voir Démonstration

Calcul

a . b = (a . b)

a / b = a / b) avec b ≠ 0

Fractions continues

Noté: [1 ; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2...]

Voir Autres valeurs

Curiosité

Observation

Considérons la valeur entière de la racine des nombres successifs:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1,00 1,41 1,73 2,00 2,24 2,45 2,65 2,83 3,00 3,16 3,32 3,46 3,61 3,74 3,87 4,00

1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4

3 5 7

Observez le passage à la valeur entière suivante. La taille des marches de l'escalier est la suite des nombres impairs!

Explication

Le passage à la nouvelle valeur entière apparaît lorsqu'on atteint un carré parfait.

Or d'un carré parfait au suivant, on peut écrire la relation suivante

(a +1)² - a² = a² + 2a + 1 - a² = 2a + 1

Cette différence représente exactement les nombres impairs successifs.

Construction de ²a – Descartes

Sur une droite, on dessine AH = a et HB = 1, avec a < 1.

Diamètre du cercle = 1 + a

Pythagore: OC² = r² + HO²

r² = OC² - HO²

Soit la valeur de r²

4r² = (1 + a )² - (1 – a)²

= 1 + 2a + a² - 1 + 2a – a²

= 4a

r = a

OC est le rayon = (1 + a) / 2

OH = OA – a

= (1 + a) / 2 – a = (1 – a ) / 2

Voir Autre construction

FONCTION y = ²x

Rouge y = x

Verte y = ½ x

Bleue y = ²x

Jaune y = ¼ x

Notez

x = ²x

pour x = 1

½ x = ²x

pour x = 4

¼ x = ²x

pour x = 16 (hors figure)

VALEURS de ²a

a = 2 = 1, 414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641573

3 = 1, 732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806979451933016908800037081146186757248576

4 = 2

5 = 2, 236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637804899414414408378782275

6 = 2, 449489742783178098197284074705891391965947480656670128432692567250960377457315026539859433104640235

7 = 2, 645751311064590590501615753639260425710259183082450180368334459201068823230283627760392886474543611

8 = 2, 828427124746190097603377448419396157139343750753896146353359475981464956924214077700775068655283145

9 = 3

10 = 3, 162277660168379331998893544432718533719555139325216826857504852792594438639238221344248108379300295

11 = 3, 316624790355399849114932736670686683927088545589353597058682146116484642609043846708843399128290651

12 = 3, 464101615137754587054892683011744733885610507620761256111613958903866033817600074162292373514497151

APPLICATIONS

Géométrie

Théorème de Pythagore:

d =

- hypoténuse du triangle rectangle, ou

- diagonale du rectangle.

Côté du carré connaissant son aire:

a = A

Construction de a

(règle et compas)

x² + y² = (1 + a)²

x² = a² + h²

y² = 1² + h²

a² + h² + 1² + h² = (1 + a)²

a² + 2h² + 1 = a² + 2a + 1

2h² = 2ª

h² = a

h = a

Tracer BH et prolonger d'une unité en C.

Dessiner le cercle de diamètre BC (via la médiatrice).

Perpendiculaire en H coupe le cercle en A.

Publicité

La publicité pour la calculette "Casio FX 92 collège 2D+" montre un calcul de racines carrées sur l'écran:

Vérifions par nous-mêmes.

Cherchons un des facteurs de 847: 2, 3 et 5 Non! Essayons tout de suite 11: 8 + 7 - 4 = 11 Bingo: 847 / 11 = 77 qui est encore divisible par 11. Soit 847 = 7 x 11 x 11.

Voyons le calcul des racines: