NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de l'arithmétique

 

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DIVISIONS

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

CALCUL 

Initiation

Avancé

Décimales

Polynôme

Complexes

Polynômes inverses

Polynômes – Exercices

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Identité revue

>>> Série infinie

 

 

 

 

DIVISION des POLYNÔMES

 

Vous savez divisez les nombres.

 

Alors, vous savez diviser les polynômes !

Voir Bases de l'algèbre

 

 

 

APPROCHE

Cas simple de division par un monôme

*    Comment diviser 3a + 1 par a?

Posez la division comme d'habitude avec les nombres.

  3a  + 1

a

 

 

 

Dans 3a, combien de fois a: fastoche 3 fois!

*    Effectuez la division.

  3a  + 1

a

 

- 3a

3

3 fois a donne 3a que je retranche

   0    + 1

 

 

*    Dans ce cas, le reste ne contient plus de a.

La division est terminée

  3a  + 1

a

 

- 3a

3

Dans 1, combien de fois a: eh bien pas possible

           1

 

La division est terminée

 

Résultat:

3a + 1 / a = 3, reste 1

Vérification:

3 x a + 1 = 3a + 1

 

*    Comment diviser 3a² + 5 a +  1 par a.

  3a² + 5a + 1

a

 

 -3a²

3a

Dans 3a², combien de fois a: c'est 3a

Car 3a x a = 3a²

    0  + 5a + 1

 

Reste 5a + 1; mieux vaut écrire tout le reste

En abaissant tout le polynôme restant

*    Deuxième niveau de la division.

Le reste est 1 et la division est finie.

  3a² + 5a + 1

a

 

 -3a²

3a + 5

Dans 5a, il va 5 fois a

           5a + 1

 

 

         - 5a

 

On retranche ces 5a

             0 + 1

 

Reste 1; divisons terminée

 

Résultat:

3a² + 5 a + 1 / a = 3a + 5, reste 1

Vérification:

3a x a + 5 x a + 1 = 3a² + 5a + 1

 

 

 

IDENTITÉ – Revue via la division

*    Divisez

a² + 2ab + b² par a + b.

  a² + 2ab + b²

a + b

 

- (a²  + ab)

a

En a², il va a fois a

Il faut soustraire a (a + b) = a² + ab

  0   + ab + 

 

 

*    Deuxième étape.

Nous retrouvons bien l'identité remarquable classique.
Et, heureusement!

  a² + 2ab + b²

a + b

 

- (a²  + ab)

a + b

En ab, il va b fois a

  0    + ab + 

 

 

        - (ab + b²) 

 

Soustraction de b(a + b) = ab + b²

            0  +  0

 

Reste 0; division terminée

Aucun reste

 

Résultat:

( a² + 2ab + b² ) / ( a + b ) = a + b, reste 0

Vérification:

(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²

 

 

Remarque

Pour effectuer la division d'un polynôme par un autre,
ordonnez les polynômes par degré décroissant de la même variable.


Exemple (on choisit arbitrairement x comme variable principale).
5x3 + 12x² – 3x – 10 à diviser par 2x² + x + 3
5x3y + 12x²y² – 3x – y - 10
à diviser par 2x² + xy + 3

 

 

SÉRIE INFINIE

Lançons-nous! et faisons une découverte miraculeuse

*    Idée!
Divisez le nombre 1
par un polynôme. Essayons avec le polynôme
    P = (1 – x)²

En développant
    P = 1 – 2x + x²

   1

1 – 2x + x²

 

- (1 – 2x + x²)

1

En 1, il va 1 fois 1

   0 + 2x – x²

 

 

*    Deuxième étape

   1

1 – 2x + x²

 

- (1 – 2x + x²)

1 + 2x

 

          2x – x²

 

En 2x, il va 2x fois 1

      - (2x – 4x² + 2x3)

 

Soustraction de 2x (1-2x+x²)

           0  + 3x² - 2x3

 

Apparaît un terme du 3e degré

*    Poursuivons

   1

1 – 2x + x²

 

- (1 – 2x + x²)

1 + 2x + 3x²

En 3x², il va 3x² fois 1

          2x – x²

 

 

      - (2x – 4x² + 2x3)

 

 

           0  + 3x² - 2x3

 

 

               - (3x² - 6x3 + 3x4)

 

 

                    0  + 4x3 - 3x4

 

 

*    Encore une étape, pour bien comprendre.

   1

1 – 2x + x²

- (1 – 2x + x²)

1 + 2x + 3x² + 4x3

          2x – x²

 

      - (2x – 4x² + 2x3)

 

           0  + 3x² - 2x3

 

               - (3x² - 6x3 + 3x4)

 

                    0  + 4x3 - 3x4

 

                        - (4x3 - 8x4 + 4x5)

 

                             0  + 5x4 - 4x6 

 

*    Voyez le résultat de la division: suite des nombres entiers

*    Et, avec un petit brin d'imagination, une formule générale.

Formule que vous pouvez vérifier en poursuivant les calculs.

 

1

= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5+ 7x6 + …

(1 – x)²

 

La division engendre la suite

de tous les nombres entiers

dans l'ordre et jusqu'à l'infini

Voir Fonction génératrices des nombres

 

 

 

Suite

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*    Calcul de xk / (xk -1)

*    Nombres cubains

*    Identités avec les polynômes

*    Complexes

*    Base de l'algèbre

*    Factorisation des polynômes du 3e degré

*    Reste de la division d'un polynôme

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Très utile

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