NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de l'arithmétique

 

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Nombres

DIVISIONS

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

CALCUL 

Initiation

Avancé

Décimales

Polynôme

Complexes

Polynômes inverses

Polynômes – Exercices

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Identité revue

>>> Série infinie

>>> Quotient sans effectuer la division

 

 

 

 

DIVISION des POLYNÔMES

 

Vous savez divisez les nombres.

 

Alors, vous savez diviser les polynômes !

 

En prime, trouvez le quotient sans diviser … >>>

Voir Bases de l'algèbre

 

 

 

APPROCHE

Cas simple de division par un monôme

*    Comment diviser 3a + 1 par a?

Posez la division comme d'habitude avec les nombres.

  3a  + 1

a

 

 

 

Dans 3a, combien de fois a: fastoche 3 fois!

*    Effectuez la division.

  3a  + 1

a

 

- 3a

3

3 fois a donne 3a que je retranche

   0    + 1

 

 

*    Dans ce cas, le reste ne contient plus de a.

La division est terminée

  3a  + 1

a

 

- 3a

3

Dans 1, combien de fois a: eh bien pas possible

           1

 

La division est terminée

 

Résultat:

3a + 1 / a = 3, reste 1

Vérification:

3 x a + 1 = 3a + 1

 

*    Comment diviser 3a² + 5 a +  1 par a.

  3a² + 5a + 1

a

 

 -3a²

3a

Dans 3a², combien de fois a: c'est 3a

Car 3a x a = 3a²

    0  + 5a + 1

 

Reste 5a + 1; mieux vaut écrire tout le reste

En abaissant tout le polynôme restant

*    Deuxième niveau de la division.

Le reste est 1 et la division est finie.

  3a² + 5a + 1

a

 

 -3a²

3a + 5

Dans 5a, il va 5 fois a

           5a + 1

 

 

         - 5a

 

On retranche ces 5a

             0 + 1

 

Reste 1; divisons terminée

 

Résultat:

3a² + 5 a + 1 / a = 3a + 5, reste 1

Vérification:

3a x a + 5 x a + 1 = 3a² + 5a + 1

 

 

 

IDENTITÉ – Revue via la division

*    Divisez

a² + 2ab + b² par a + b.

  a² + 2ab + b²

a + b

 

- (a²  + ab)

a

En a², il va a fois a

Il faut soustraire a (a + b) = a² + ab

  0   + ab + 

 

 

*    Deuxième étape.

Nous retrouvons bien l'identité remarquable classique.
Et, heureusement!

  a² + 2ab + b²

a + b

 

- (a²  + ab)

a + b

En ab, il va b fois a

  0    + ab + 

 

 

        - (ab + b²) 

 

Soustraction de b(a + b) = ab + b²

            0  +  0

 

Reste 0; division terminée

Aucun reste

 

Résultat:

( a² + 2ab + b² ) / ( a + b ) = a + b, reste 0

Vérification:

(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²

 

 

Remarque

Pour effectuer la division d'un polynôme par un autre,
ordonnez les polynômes par degré décroissant de la même variable.


Exemple (on choisit arbitrairement x comme variable principale).
5x3 + 12x² – 3x – 10 à diviser par 2x² + x + 3
5x3y + 12x²y² – 3x – y - 10
à diviser par 2x² + xy + 3

 

 

SÉRIE INFINIE

Lançons-nous! et faisons une découverte miraculeuse

*    Idée!
Divisez le nombre 1
par un polynôme. Essayons avec le polynôme
    P = (1 – x)²

En développant
    P = 1 – 2x + x²

   1

1 – 2x + x²

 

- (1 – 2x + x²)

1

En 1, il va 1 fois 1

   0 + 2x – x²

 

 

*    Deuxième étape

   1

1 – 2x + x²

 

- (1 – 2x + x²)

1 + 2x

 

          2x – x²

 

En 2x, il va 2x fois 1

      - (2x – 4x² + 2x3)

 

Soustraction de 2x (1-2x+x²)

           0  + 3x² - 2x3

 

Apparaît un terme du 3e degré

*    Poursuivons

   1

1 – 2x + x²

 

- (1 – 2x + x²)

1 + 2x + 3x²

En 3x², il va 3x² fois 1

          2x – x²

 

 

      - (2x – 4x² + 2x3)

 

 

           0  + 3x² - 2x3

 

 

               - (3x² - 6x3 + 3x4)

 

 

                    0  + 4x3 - 3x4

 

 

*    Encore une étape, pour bien comprendre.

   1

1 – 2x + x²

- (1 – 2x + x²)

1 + 2x + 3x² + 4x3

          2x – x²

 

      - (2x – 4x² + 2x3)

 

           0  + 3x² - 2x3

 

               - (3x² - 6x3 + 3x4)

 

                    0  + 4x3 - 3x4

 

                        - (4x3 - 8x4 + 4x5)

 

                             0  + 5x4 - 4x6 

 

*    Voyez le résultat de la division: suite des nombres entiers

*    Et, avec un petit brin d'imagination, une formule générale.

Formule que vous pouvez vérifier en poursuivant les calculs.

 

1

= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5+ 7x6 + …

(1 – x)²

 

La division engendre la suite

de tous les nombres entiers

dans l'ordre et jusqu'à l'infini

Voir Fonction génératrices des nombres

 

Même calcul en résumé

 

 

 

Quotient sans effectuer la division

Comment trouver le développement d'une fraction polynomiale sans effectuer la division ?

Polynôme générique

En multipliant

Développement sans les termes en x3 et au-delà.

En effet, le membre de gauche n'a pas de tels termes.

Égalité des coefficients

Les coefficients suivants du développement sont nuls.

En reprenant leur valeur en ai , on calcule la valeur de chacun des ai .

Le développement cherché

 

Pour information, le développement complet en ai

Notez que les coefficients ne sont complets que jusqu'à x5. Vous remarquerez que, cependant, ils ont tous la même allure.

Calcul sans limite

Maple donne directement le résultat en utilisant l'instruction series. Ici, jusqu'à la puissance 9:

Le O(x10) indique que la suite est en puissance de 10 et plus.

Voir Développements limités / Démonstrations semblables

 

 

 

Suite

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*    Factorisation des polynômes du 3e degré

*    Reste de la division d'un polynôme

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*    Fractions – Initiation

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