NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

Débutants

Exponentielle

EXPONENTIELLE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Arithmétique

Algèbre

Analyse

 

Introduction

Valeur

Fractions

Analogies

Propriétés

Formules

Dénombrements

Base

Dévelop ex

Doublement

Calcul des coefficients

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définition

>>> Propriétés

>>> Courbes symétriques

>>> Curiosités

 

 

 

 

Fonction EXPONENTIELLE

 

Sœur cousine (bijection réciproque) de la fonction logarithme.

Exponentiel vient de exposant.

Pour débuter en douceur >>>

 Anglais : Exponential function

 

 

EXPONENTIELLE – Approche

 

Exponentielle et logarithme

 

*    Pour quelle valeur de e trouve-t-on:      ln e = 1

*    La valeur est comprise entre 2 et 3:           e  = 2,718 …

 

Table de valeurs

Voir Valeur de e

 

Exponentielle et hyperbole

 

 

 

*    Aire en marron est égale à 1. Pour s'en convaincre, plusieurs méthodes de calcul:

*      un calcul d'ordre de grandeur (primaire)

*      un calcul par tranches (secondaire - collège)

*      un calcul d'intégrale (secondaire lycée)

 

Ordre de grandeur

 

Rectangle du bas:

(e – 1) x 1/e = 1 – 1/e

 

Triangle

½ (e – 1) (1 – 1/e)

= ½ (e – e/e – 1 + 1/e)

= e/2 – 1 + 1/2e

 

Aire totale

1 – 1/e + e/2 – 1 + 1/2e

= e/2 – 1/2e

 

Calcul numérique

2,718/2 – ½ x 2,718

= 1,175 ...

 

 

L'aire du polygone jaune vaut 1,175 …

L'aire cherchée est légèrement inférieure.

 

Calcul par tranches (ou en escaliers)

Le principe consiste à ajouter la surface de toutes les tranches rectangulaires. En augmentant la finesse des tranches, on approchera de plus en plus de l'aire cherchée.

Un calcul sur tableur convient très bien. Attention à bien prendre la quantité de tranches qui convient.

 

Le calcul donne les valeurs suivantes

Pas de     0,1  A = 0,962…

Pas de   0,01  A = 0,9974…

Pas de 0,001  A = 0,99958…

 

 

Calcul par intégrale

 

Le calcul par intégrale consiste simplement à pousser le raisonnement précédent à la limite. Pour cela, une fois pour toute, on détermine quelle est la fonction qui représentera l'aire située sous une courbe donnée. Par exemple pour 1/x c'est ln(x).

 

Voir Infinitésimaux / Dérivée / Primitive / Exemple de calcul

 

Bilan

Nous avons fait la connaissance avec e = 2,718…, une constante particulière qui égale à exponentielle de 1.

Mais pourquoi avoir choisi une hyperbole et les logarithmes?

 

 

 

Définition

 

 

Fonction exponentielle: fonction qui est sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0.

 

Évidemment une primitive de ex est également ex.

 

 

Seule fonction telle que:

 

f(1) = e

 

e1 = e

Seule fonction égale à sa dérivée

f'(x) = f(x)

avec f(0) = 1

Fonctions réciproques:

Logarithme

 

y = ln x

Exponentielle

 

x = e y

Définition:

On appelle fonction exponentielle

la bijection réciproque de

la fonction logarithme népérien

 

 

 

PROPRIÉTÉS

 

Calculs numériques

La croissance de la fonction exponentielle est redoutable. Tôt ou tard, elle dépasse la croissance des fonctions polynomiales.

Cette remarque est essentielle pour l'estimation de la quantité de calculs pour résoudre un problème. Autrement-dit, la durée d'exécution d'un programme de calculs. Si la quantité s'exprime par un polynôme, le temps de calcul sera raisonnable; par contre, si elle croît de façon exponentielle, la capacité de calcul peut être vite dépassée. Voir Problèmes P et NP.

 

Suite >>>

 

COURBES SYMÉTRIQUES

Notez la symétrie des deux courbes en rouge,

et le passage des courbes en 1 et e.

 

 

 

Amusement - Top 10 des raisons

donnant e meilleur que pi

Notez la mauvaise foi du point 3: les deux constantes ont chacune une infinité de décimales.

Voir Constante Pi

 

 

 

 

Suite

*    Valeur de la constante "e"

*    Base des logarithmes

*    Courbe en cloche

*    Nombre d'or des exponentielles

*    Calcul des coefficients d'une exponentielle

Voir

*    Cercle

*    Constantes

*    Courbes élémentaires

*    Courbe de charge d'un condensateur

*    Exposants et puissances

*    Exposants et puissances  Index

*    Logarithmes

*    Morphisme

*    Nombre d'or

*    Oméga (constante)

*    Pi

*    Théorie des nombres

Livre

Méthod'S mathématiques Terminale S – Bruno Clément – ellipses – 2012

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Exponent.htm