NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/02/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Fonction EXPONENTIELLE

Sœur cousine (réciproque) de la fonction logarithme.

Exponentiel vient de exposant.

Pour débuter en douceur >>>

Anglais : Exponential function

EXPONENTIELLE – Approche
Exponentielle et logarithme Pour quelle valeur de e trouve-t-on: ln e = 1 La valeur est comprise entre 2 et 3: e = 2,718 … Table de valeurs Voir Valeur de e Exponentielle et hyperbole Aire en marron est égale à 1. Pour s'en convaincre, plusieurs méthodes de calcul: un calcul d'ordre de grandeur (primaire) un calcul par tranches (secondaire - collège) un calcul d'intégrale (secondaire lycée)

Ordre de grandeur

Rectangle du bas: (e – 1) x 1/e = 1 – 1/e Triangle ½ (e – 1) (1 – 1/e) = ½ (e – e/e – 1 + 1/e) = e/2 – 1 + 1/2e Aire totale 1 – 1/e + e/2 – 1 + 1/2e = e/2 – 1/2e Calcul numérique 2,718/2 – ½ x 2,718 = 1,175 ...

L'aire du polygone jaune vaut 1,175 … L'aire cherchée est légèrement inérieure.

Calcul par tranches (ou en escaliers)

Le principe consiste à ajouter la surface de toutes les tranches rectangulaires. En augmentant la finesse des tranches, on approchera de plus en plus de l'aire cherchée. Un calcul sur tableur convient très bien. Attention à bien prendre la quantité de tranches qui convient. Le calcul donne les valeurs suivantes Pas de 0,1 A = 0,962… Pas de 0,01 A = 0,9974… Pas de 0,001 A = 0,99958…

Calcul par intégrale

Le calcul par intégrale consiste simplement à pousser le raisonnement précédent à la limite. Pour cela, une fois pour toute, on détermine quelle est la fonction qui représentera l'aire située sous une courbe donnée. Par exemple pour 1/x c'est ln(x).

Voir Infinitésimaux / Dérivée

Bilan

Nous avons fait la connaissance avec e = 2,718…, une constante particulière qui égale à exponentielle de 1.

Mais pourquoi avoir choisi une hyperbole et les logarithmes?

Définition
Fonction exponentielle: fonction qui est sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0.
Seule fonction telle que:		f(1) = e e^1 = 1
Fonctions réciproques:	Logarithme y = ln x	Exponentielle x = e^y
Définition:	On appelle fonction exponentielle la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien

PROPRIÉTÉS

COURBES SYMÉTRIQUES
Notez la symétrie des deux courbes en rouge, et le passage des courbes en 1 et e.

Amusement - Top 10 des raisons donnant e meilleur que pi
Notez la mauvaise foi du point 3: les deux constantes ont chacune une infinité de décimales.

Voir Constante Pi

Suite	Valeur de la constante "e"
Voir	Cercle Constantes Courbe de charge d'un condensateur Exposants et puissances Exposants et puissances – Index Logarithmes Nombre d'or Pi Théorie des nombres
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