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Fonction EXPONENTIELLE Sœur
cousine (bijection
réciproque) de la fonction logarithme. Exponentiel vient de exposant. Pour débuter en douceur >>> |
Anglais : Exponential function
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Exponentielle et logarithme
Table de valeurs
Voir Valeur de e Exponentielle et hyperbole
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Ordre de grandeur
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Rectangle du bas: (e – 1) x 1/e = 1 – 1/e Triangle ½ (e – 1) (1 – 1/e) = ½ (e – e/e – 1 + 1/e) = e/2 – 1 + 1/2e Aire totale 1 – 1/e + e/2 – 1 + 1/2e = e/2 – 1/2e Calcul numérique 2,718/2 – ½ x 2,718 = 1,175 ... |
L'aire du
polygone jaune vaut 1,175 … L'aire
cherchée est légèrement inférieure. |
Calcul par tranches (ou en escaliers)
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Le principe consiste à ajouter la surface
de toutes les tranches rectangulaires. En augmentant la finesse des tranches,
on approchera de plus en plus de l'aire cherchée. Un calcul sur tableur convient très bien. Attention
à bien prendre la quantité de tranches qui convient. Le calcul donne les valeurs suivantes Pas de
0,1 Pas de
0,01 Pas de 0,001 |
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Le calcul par intégrale
consiste simplement à pousser le raisonnement précédent à la limite. Pour cela,
une fois pour toute, on détermine quelle est la fonction qui représentera
l'aire située sous une courbe donnée. Par exemple pour 1/x c'est ln(x).
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Voir Infinitésimaux
/ Dérivée / Primitive / Exemple de calcul
/ Aire du pétale de parabole
Bilan
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Nous
avons fait la connaissance avec e = 2,718…, une constante particulière qui
égale à exponentielle de 1. Mais
pourquoi avoir choisi une hyperbole et les logarithmes? |
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Fonction exponentielle: fonction qui est sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0. Évidemment une
primitive de ex est également ex. |
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Seule fonction telle que: |
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f(1) = e e1 = e |
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Seule fonction égale à sa dérivée |
f'(x) = f(x) avec f(0) = 1 |
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Fonctions réciproques: |
Logarithme y = ln x |
Exponentielle x = e y |
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Définition: |
On appelle fonction
exponentielle la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien |
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Conséquences |
log (exp(A)) = A |
exp(log(A)) = A |
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Humour sur le thème: la dérivée d'une exponentielle est la
fonction elle-même
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Sur
un bateau les fonctions sont à la
manœuvre. Rien y fait, on dérive
inexorablement. Toutes les fonctions sont traumatisées par leur destin sauf l'exponentielle qui crâne: "m'en fout, pour
moi ça ne change rien!". Autres
du même style 1.
Logarithme et Exponentielle sont dans un bateau. Logarithme: Je crois qu'on
dérive. Exponentielle: Ah bon ! Logarithme: Si, si, je
t'assure, on dérive ! Exponentielle: ça ne me
fait rien. 2. Logarithme et
Exponentielle sont dans une soirée. Logarithme danse, boit, rit.
Exponentielle reste assise seule sur une chaise. Logarithme: viens t'amuser,
ne reste pas comme ça, il faut que tu t'intègres ! Exponentielle: Ouais, j'ai
essayé, mais ça ne change rien. 3. Logarithme et
Exponentielle sont au restaurant. l'addition arrive Exponentielle: ras le bol,
c'est toujours moi qui paye. Logarithme: c'est normal,
parce que Logarithme Népérien. |
Voir Pensées & humour
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La croissance
de la fonction exponentielle est redoutable. Tôt ou tard, elle dépasse la croissance
des fonctions polynomiales. Cette remarque est essentielle pour l'estimation
de la quantité de calculs pour résoudre un problème. Autrement-dit, la durée
d'exécution d'un programme de calculs. Si la quantité s'exprime par un
polynôme, le temps de calcul sera raisonnable; par contre, si elle croît de
façon exponentielle, la capacité de calcul peut être vite dépassée. Voir Problèmes P et NP. |
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Notez la symétrie des deux
courbes en rouge, et le passage des
courbes en 1 et e. |
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Amusement
- Top 10 des raisons donnant
e meilleur que pi |
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Notez la
mauvaise foi du point 3: les deux constantes ont chacune une infinité de
décimales. |
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Voir Constante
Pi
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Suite |
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Voir |
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Livre |
Méthod'S
mathématiques Terminale S – Bruno Clément – ellipses – 2012 |
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