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Divisibilité dans 2n nombres Propriétés fascinantes de divisibilité d'une suite de
nombres de 1 à 2n. |
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Données Dans l'ensemble
des nombres entiers {1, 2, … , 2n}, choix au
hasard de n + 1 nombres. Affirmation Il y en a
toujours un qui en divise un autre. |
Exemple n
= 4; 2n = 8 {1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Choix de cinq nombres 3,
5, 6, 7, 8. Ici: 3 divise 6. |
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Notons que, du
fait du choix de l'intervalle, il a y autant de nombres pairs que de nombres
impairs. |
Observation dans l'exemple 4
nombres pairs. 4
nombres impairs. |
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Note importante Dans cette
affirmation le nombre 1 est bien à considérer comme un diviseur. |
Exemple n
= 2 {1,
2, 3, 4} Choix de trois nombres 1,
2, 3. Ici: 1 divise 2 et 3. |
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Principe L'idée va consister à travailler sur la
parité des nombres choisis.
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Démonstration Sélection de n + 1 nombres.
Mise sous une forme
particulière, en séparant la partie paire de la partie impaire
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a1 a2 … an+1 ai = 2k
bi avec bi impair Remarque: si b est déjà impair,
alors k vaut 0 comme par exemple 7 = 20 x 7 = 1
X 7 |
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Nous venons de former n + 1 nombres impairs
Ils sont tous dans
l'intervalle de départ, car plus petits que 2n.
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b1 b2 … bn+1 bi |
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Or dans cet intervalle, il n'y
a que: (voir
l'observation liminaire)
Selon le principe des tiroirs, en tirant n + 1 nombres impairs parmi n, il en existe toujours deux qui sont égaux.
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n nombres impairs bn = bm |
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En revenant vers les nombres
initiaux en a.
Note: on positionne les
nombres dans un sens tel que q soit positif. |
an / 2k
= am / 2h an = (2k / 2h) am an = 2q am |
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En tenant compte de la puissance
de 2, on peut affirmer qu'un des nombres initiaux en divise un autre.
Le diviseur étant une puissance de
deux.
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an |
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Voir |
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Aussi |
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